1. Les puissances comptent des multiplications

Pour $q\ne0$, $q^0=1$. Pour un entier $n\ge1$, $q^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $q$. Par exemple : $$3^4=81,\qquad (-2)^3=-8,\qquad (-2)^4=16.$$ Le signe fait partie du nombre entre parenthèses : $(-2)^4=16$, alors que $-2^4=-(2^4)=-16$.

2. Un pourcentage devient un multiplicateur

Augmenter une quantité $U$ de $t\,\%$ revient à calculer $$U+\frac t{100}U=\left(1+\frac t{100}\right)U.$$ Une hausse de $6\,\%$ multiplie donc par $1{,}06$ ; une baisse de $6\,\%$ multiplie par $0{,}94$. Une hausse puis une baisse de $6\,\%$ multiplient par $1{,}06\times0{,}94=0{,}9964$ : elles ne s’annulent pas.

3. Soustraire une expression entière

$$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1.$$ Si l’expression comporte plusieurs termes, conserve ses parenthèses : $$(2n+5)-(2n-3)=2n+5-2n+3=8.$$

Dans ce chapitre, $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$. Une suite peut commencer au rang $0$, au rang $1$, ou à un autre rang précisé dans l’énoncé.

Ici, le quatrième terme est $u_3=14$. Le terme de rang $4$ est $u_4=17$.

Prenons $u_0=2$. On obtient successivement : $$\begin{aligned} u_1&=0{,}5u_0+4=0{,}5\times2+4=5,\\ u_2&=0{,}5u_1+4=0{,}5\times5+4=6{,}5,\\ u_3&=0{,}5u_2+4=0{,}5\times6{,}5+4=7{,}25. \end{aligned}$$ Chaque résultat devient l’entrée du calcul suivant. La relation ne signifie pas $u_n=0{,}5n+4$.

Choisir le bon mode de calcul

Une formule explicite donne un accès direct à un rang éloigné. Une récurrence impose en général de parcourir les étapes intermédiaires. Une même suite peut parfois être décrite des deux façons ; il faut justifier le lien entre les écritures.

Pour représenter $(u_n)$, on place les points de coordonnées $(n;u_n)$. Voici les premiers termes de $u_n=(n-2)^2+4$ :

• Le point $(2;4)$ signifie que le terme de rang $2$ vaut $4$.

• Les points ne sont pas reliés : aucun terme $u_{2{,}5}$ n’est défini ici.

• Les valeurs descendent jusqu’au rang $2$, puis remontent. Le minimum vaut $4$ et il est atteint au rang $2$.

Dans notre exemple, la parabole de $f(x)=(x-2)^2+4$ décroît jusqu’à $2$ puis croît. On retrouve le comportement des termes. Le graphique suggère ce résultat ; l’étude de la fonction ou une différence de termes le prouve.

Avec une fraction : mettre au même dénominateur

Pour $v_n=2-\dfrac1{n+1}$, $$v_{n+1}-v_n=-\frac1{n+2}+\frac1{n+1} =\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)} =\frac1{(n+1)(n+2)}>0.$$ Le dénominateur est strictement positif pour $n\ge0$. La suite $(v_n)$ est donc strictement croissante.

Pourquoi la condition de signe est indispensable

Considérons maintenant $v_n=-7\times0{,}6^n$. Les premiers termes sont $-7$, $-4{,}2$, $-2{,}52$ : ils augmentent, bien que le quotient soit encore $0{,}6$. $$v_{n+1}-v_n=-7\times0{,}6^n(0{,}6-1)=2{,}8\times0{,}6^n>0.$$ La différence donne directement la bonne conclusion, sans diviser par un nombre négatif.

Avec $u_0=9$ et $r=4$, on obtient $9,13,17,21,\ldots$ ; avec $r=-4$, on soustrait $4$ à chaque passage.

Pourquoi ? Pour $n>p$, de $u_p$ à $u_n$, on effectue $n-p$ passages, donc $n-p$ additions de $r$. Pour $n<p$, on remonte les passages en soustrayant $r$ : la même formule reste valable.

Variations : elles se lisent sur $r$

La différence $u_{n+1}-u_n$ vaut $r$ : si $r>0$, la suite est strictement croissante ; si $r<0$, strictement décroissante ; si $r=0$, constante.

Construire un modèle avec une phrase précise

Un atelier dispose de $120$ pièces au début du suivi. Chaque jour, son stock augmente au total de $18$ pièces. Si $s_n$ est le stock après $n$ jours, $$s_0=120,\qquad s_{n+1}=s_n+18,\qquad s_n=120+18n.$$ L’hypothèse porte sur la variation nette du stock, après entrées et sorties. Elle doit être adaptée à la période étudiée.

Démonstration. Écrivons la somme $S$ dans les deux sens, puis additionnons les colonnes : $$\begin{aligned} S&=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_q,\\ S&=u_q+u_{q-1}+\cdots+u_p. \end{aligned}$$ Chaque paire vaut $u_p+u_q$, car l’un des termes gagne $r$ lorsque l’autre perd $r$. Il y a $q-p+1$ paires, donc $2S=(q-p+1)(u_p+u_q)$.

Un résultat à connaître et à comprendre

Les nombres $1,2,\ldots,n$ forment une suite arithmétique. Ils sont $n$ et leurs extrémités sont $1$ et $n$. Ainsi, pour $n\ge1$, $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$ Par exemple, $1+\cdots+40=40\times41/2=820$.

Pourquoi ? Pour aller du rang $p$ au rang $n>p$, on multiplie $n-p$ fois par $q$. Pour remonter les rangs, on divise par $q$, ce qui exige $q\ne0$.

Deux cas particuliers à traiter directement

Si $u_0=0$, tous les termes suivants sont nuls, quelle que soit la raison. Si $q=0$, alors $u_1=u_2=\cdots=0$, mais $u_0$ reste le terme initial donné. On n’a pas besoin d’écrire $0^0$.

Pour $u_n=u_0q^n$ avec $q>0$, tous les termes ont le signe de $u_0$ et $$u_{n+1}-u_n=u_0q^n(q-1).$$ Le facteur $q^n$ est strictement positif. Le signe de la différence est donc celui du produit $u_0(q-1)$.

Si $u_0=0$, la suite est constante et nulle.

Si $q<0$ : les signes alternent

Lorsque $u_0\ne0$ et $q<0$, deux termes successifs sont de signes opposés. La suite n’est pas monotone : le sens d’évolution change d’un passage au suivant. Par exemple, pour $u_n=2(-0{,}5)^n$ : $$2,\quad-1,\quad0{,}5,\quad-0{,}25,\quad0{,}125,\ldots$$ Si $q=0$, étudie séparément la liste $u_0,0,0,\ldots$ : elle est décroissante si $u_0>0$ et croissante si $u_0<0$, sans être strictement monotone.

Démonstration. Posons $T=1+q+\cdots+q^{N-1}$. Alors $qT=q+q^2+\cdots+q^N$. En soustrayant, les termes intermédiaires disparaissent : $$T-qT=1-q^N\quad\Longrightarrow\quad(1-q)T=1-q^N.$$ On divise par $1-q$, qui est non nul puisque $q\ne1$.

Deux écritures équivalentes

Pour $q>1$, la forme $a(q^N-1)/(q-1)$ évite deux nombres négatifs. Elle est égale à la précédente, car on change le signe du numérateur et celui du dénominateur.

Ajouter et multiplier ne se permutent pas

Si, chaque semaine, la réserve perd $15\,\%$ puis reçoit $20\,\mathrm{L}$, $$V_{n+1}=0{,}85V_n+20.$$ Si elle reçoit d’abord $20\,\mathrm{L}$, puis perd $15\,\%$ de l’ensemble, $$V_{n+1}=0{,}85(V_n+20)=0{,}85V_n+17.$$ Les deux protocoles n’ont pas le même effet. Ces relations ne décrivent généralement ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.

Le modèle a un domaine d’emploi

Un pourcentage constant est une hypothèse. Pour une population d’objets entiers, une formule peut donner une valeur non entière : on précise s’il s’agit d’une estimation, d’une moyenne ou d’une valeur à arrondir selon le contexte. On n’arrondit pas automatiquement à chaque passage.

Une suite géométrique : parcourir les termes

Soit $v_n=500\times0{,}75^n$. On cherche le premier rang tel que $v_n<120$. Une boucle calcule les termes successifs jusqu’à ce que la condition soit vérifiée.

n = 0
v = 500
while v >= 120:
    v = 0.75 * v
    n = n + 1
print(n, v)

On obtient $n=5$ et $v_5=118{,}65234375$. Au rang précédent, $v_4=158{,}203125$. La suite est strictement décroissante : le premier rang cherché est donc $5$.

Calculer $u_N$ à partir de $u_0$

Pour $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n+1$, il faut exactement $N$ passages pour obtenir $u_N$.

N = 5
u = 3
for k in range(N):
    u = 2 * u + 1
print(u)

La liste des termes est $3,7,15,31,63,127$ ; le programme affiche $u_5=127$. En Python, range(N) fournit $0,1,\ldots,N-1$ : il y a bien $N$ tours.

Additionner de $u_0$ à $u_N$

Pour la même suite, on conserve en plus une variable $S$, qui contient la somme déjà calculée.

N = 5
u = 3
S = u
for k in range(N):
    u = 2 * u + 1
    S = S + u
print(S)

Le premier terme est ajouté avant la boucle. Chacun des cinq tours ajoute ensuite un nouveau terme. On obtient $S=246$.

• Les termes $6\times0{,}7^n$ se rapprochent de $0$ sans l’atteindre : on dit que la suite tend vers $0$.

• Les termes $6-6\times0{,}7^n$ se rapprochent de $6$ par valeurs inférieures : la suite tend vers $6$.

L’idée d’une limite finie est la suivante : pour des rangs assez grands, les termes restent aussi proches que souhaité d’un même nombre. Nous utilisons ici cette idée sans formalisation technique.

D’autres suites ne se stabilisent pas

Pour $u_n=4n+1$, les valeurs finissent par dépasser n’importe quel seuil fixé : la suite tend vers $+\infty$. Pour $v_n=-2n$, elles passent sous n’importe quel seuil : elle tend vers $-\infty$. La suite $w_n=(-1)^n$ alterne entre $1$ et $-1$ : elle n’a ni limite finie ni limite infinie.

Cette page est un prolongement accompagné. On étudie $u_0=4$ et $$u_{n+1}=0{,}5u_n+6.$$ Le terme « $+6$ » empêche de reconnaître directement une suite géométrique. On cherche une valeur $\ell$ qui resterait inchangée après un passage : $$\ell=0{,}5\ell+6\quad\Longrightarrow\quad\ell=12.$$

Revenir à la question initiale

Pour calculer $u_5$, on utilise maintenant la formule explicite : $$u_5=12-8\times0{,}5^5=11{,}75.$$ La suite $(v_n)$ est strictement croissante car son premier terme est négatif et sa raison est entre $0$ et $1$. Ajouter $12$ ne change pas le sens de variation : $(u_n)$ est strictement croissante. Ses termes se rapprochent de $12$ par valeurs inférieures.

Cinq questions avant de rendre une solution

1. Mon premier terme est-il $u_0$, $u_1$ ou un autre terme ?

2. Ai-je confondu le nombre de passages et le nombre de termes ?

3. La raison est-elle additive ou multiplicative ? Est-elle constante ?

4. La condition qui autorise ma méthode est-elle vérifiée ?

5. Ai-je interprété le résultat avec le bon rang, la bonne date et la bonne unité ?