CHAPITRE / Première

PremièreMathématiques

La fonction exponentielle

Comprendre la croissance exponentielle, calculer avec eˣ et modéliser une évolution.

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38 exercices — cherche avant d’ouvrir chaque correction.

MODE D’EMPLOI

Apprendre, puis s’entraîner

Comprendre une méthode permet de l’adapter à une situation nouvelle.

Comment avancer dans ce chapitre

Lis une notion, puis refais l’exemple sans regarder les lignes suivantes. Les questions « À toi de jouer » servent à vérifier immédiatement une idée. Leurs réponses sont données juste après : masque-les le temps de chercher.

Comprendre les mots

Les définitions nomment les objets et donnent le sens des symboles.

Choisir une démarche

Les savoir-faire montrent comment reconnaître la situation, choisir un outil et terminer le calcul.

Repérer une confusion

Une erreur expliquée est plus utile qu’une règle mémorisée sans condition.

Vérifier

Une valeur cohérente, une unité correcte ou une vérification par substitution aide à détecter une erreur. Ce contrôle complète le raisonnement.

Les trois temps de l’entraînement

Les exercices 1 à 10 installent les bases ; 11 à 24 demandent de choisir et combiner les méthodes ; 25 à 32 proposent des problèmes et des lectures critiques ; 33 à 36 sont de vrais problèmes de synthèse en plusieurs questions. Termine par les deux évaluations chronométrées.

Le déclic

Lorsque tu corriges un exercice, explique à voix haute pourquoi chaque étape est possible. Refaire seulement les nombres ne suffit pas à comprendre la méthode.

I · PRÉREQUIS

Préparer le terrain

Une nouvelle fonction, des outils déjà connus.

Trois réflexes à conserver

Une puissance se traite avant une multiplication : $3a^2=3\times a^2$ , alors que $(3a)^2=9a^2$ . Les parenthèses changent donc le calcul. Pour $a\ne0$ , $a^pa^q=a^{p+q}$ et $a^p/a^q=a^{p-q}$ lorsque $p,q$ sont entiers. Nous allons retrouver des règles analogues avec un exposant réel. Enfin, le signe de $f'(x)$ renseigne sur les variations de $f$ , tandis que le signe de $f(x)$ situe la courbe au-dessus ou au-dessous de l’axe horizontal.

Factoriser pour lire un signe

$3(x+1)A-2A=A[3(x+1)-2]=A(3x+1)$ . Si $A>0$ , cette expression a le signe de $3x+1$ . Le facteur positif ne disparaît pas de l’expression : il n’influence simplement pas son signe.

Deux façons de décrire une évolution

Une suite donne des valeurs à des instants séparés : jour $0$ , jour $1$ , jour $2$ … Une fonction peut aussi fournir une valeur entre deux instants. L’exponentielle permettra de relier une évolution continue à une suite géométrique.

Diagnostic rapide

Simplifie $a^3a^{-1}$ pour $a\ne0$ . Dérive $(x+2)(x-1)$ . Résous $-3x+6>0$ .

Réponse pour te vérifier

$a^2$ ; dérivée $(x-1)+(x+2)=2x+1$ ; $x<2$ , car diviser par $-3$ inverse le sens de l’inégalité.

I · COMPRENDRE

Une fonction égale à sa dérivée

La hauteur et la pente portent la même valeur.

Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est elle-même et dont l’image de $0$ vaut $1$ . On la note $\exp$ : $\exp'(x)=\exp(x),\qquad \exp(0)=1.$ L’existence et l’unicité sont admises. Elles ne se déduisent pas d’un simple dessin.

Au point d’abscisse $a$ , la courbe a pour hauteur $\exp(a)$ et sa tangente pour pente $\exp(a)$ . En particulier, au point $(0;1)$ , la pente vaut $1$ .

Le nombre e e et la notation e x e^x

On appelle $e$ le nombre $\exp(1)$ . Sa valeur approchée est $e\simeq2{,}71828$ . Pour tout réel $x$ , on écrit $e^x=\exp(x)$ . Ainsi $e^0=1$ et $e^1=e$ .

Dans $e^x$ , $e$ est un nombre fixe et $x$ est la variable. Dans $x^e$ , les rôles sont différents : ce n’est pas la même fonction. La notation $e^x$ est définie aussi pour les réels non entiers.

Une première tangente

Pour $f(x)=e^x$ , on connaît $f(0)=1$ et $f'(0)=1$ . La tangente en $0$ a donc pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)=x+1$ .

Lire la définition

Que valent $f(1)$ et $f'(1)$ ? La pente en $1$ vaut-elle $1$ ?

Réponse pour te vérifier

$f(1)=e$ et $f'(1)=e$ . La pente vaut environ $2{,}718$ , pas $1$ .

I · COMPRENDRE

Positivité, croissance et lecture

Un exposant négatif ne donne pas une valeur négative.

Les deux propriétés essentielles

Pour tout réel $x$ , $e^x>0$ . Comme la dérivée de $e^x$ vaut $e^x$ , elle est strictement positive : la fonction exponentielle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Lire le dessin. La courbe bleue passe par $(0;1)$ . Pour $x<0$ , elle reste au-dessus de l’axe horizontal et en dessous de la hauteur $1$ . Pour $x>0$ , elle est au-dessus de $1$ . La droite orange est une tangente ; ses valeurs ne sont pas celles de l’exponentielle sauf au point de contact.

Deux signes différents

$e^{-2}>0$ , alors que $-e^2<0$ . Le signe « moins » est dans l’exposant dans le premier cas ; il est devant l’exponentielle dans le second.

Comparer sans calculatrice

Classe $e^{-3}$ , $1$ , $e^{0{,}5}$ et $e^2$ .

Réponse pour te vérifier

$0<e^{-3}<1<e^{0{,}5}<e^2$ , car les exposants sont dans le même ordre.

I · SAVOIR-FAIRE 1

Transformer une expression

Regarder l’opération avant de choisir une règle.

Règles algébriques

Pour tous réels $a,b$ et tout entier $n$ : $e^{a+b}=e^ae^b,\quad e^{-a}=\frac1{e^a},\quad e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b},\quad (e^a)^n=e^{na}.$ La relation de produit est admise. L’inverse en découle : $e^ae^{-a}=e^0=1$ . Les divisions sont possibles car l’exponentielle ne s’annule pas.

Écrire une seule exponentielle

Pour $A=\dfrac{e^{2x+1}e^{x-4}}{e^{x+2}}$ , on additionne les exposants du numérateur puis on retranche tout celui du dénominateur : $A=e^{(2x+1)+(x-4)-(x+2)}=e^{2x-5}.$ Pour $B=(e^{-2x})^3/e^x$ , on obtient $B=e^{-6x-x}=e^{-7x}$ .

Une somme ne se regroupe pas de cette façon

$e^a+e^b$ ne vaut pas $e^{a+b}$ . Pour $a=b=0$ , le membre de gauche vaut $2$ et celui de droite $1$ . En revanche, on peut factoriser : $e^{x+2}+3e^x=e^x(e^2+3)$ . C’est la distributivité ordinaire.

Choisir la bonne règle

Simplifie $e^{3x}/e^{x-1}$ , puis factorise $e^{2x}-e^x$ .

Réponse pour te vérifier

$e^{2x+1}$ ; puis $e^x(e^x-1)$ . Le deuxième calcul concerne une différence, pas un quotient.

I · SAVOIR-FAIRE 2

Résoudre une équation

L’exponentielle conserve l’information sur son exposant.

Injectivité

La stricte croissance donne, pour tous réels $u,v$ : $e^u=e^v\iff u=v$ . En particulier, $e^u=1\iff u=0$ .

Mettre les deux membres sous la même forme

$e^{3x-2}=e^{x+4}\iff3x-2=x+4\iff x=3$ . Pour $e^{x^2-2x}=1$ , on écrit $1=e^0$ : $x^2-2x=0$ , donc $x(x-2)=0$ . Les solutions sont $0$ et $2$ .

Si l’équation est un produit nul

$(x+3)e^{2x}=0$ : le facteur exponentiel est toujours strictement positif. Seul $x+3$ peut être nul ; la solution est $-3$ .

Ce que l’on ne peut pas supprimer

$e^x+e^2=e^3$ ne donne pas $x+2=3$ . On ne retire pas « les $e$ » à travers une somme. De même, $e^x=2$ ne donne pas $x=2$ . Une approximation numérique peut être cherchée ; les logarithmes ne sont pas nécessaires dans ce chapitre.

Existence avant calcul

Résous $4e^{x-1}=0$ et $e^{2x+1}=e^{-x}$ .

Réponse pour te vérifier

La première n’a aucune solution, par positivité. La seconde donne $2x+1=-x$ , donc $x=-1/3$ .

I · SAVOIR-FAIRE 3

Résoudre une inéquation

Comparer les exposants, puis résoudre sans perdre le sens.

Ordre conservé

$e^u<e^v\iff u<v$ , et de même pour $\le$ , $>$ ou $\ge$ . Cette règle vient de la stricte croissance de l’exponentielle.

Un exposant affine

$e^{1-2x}\ge e^{x+4}\iff1-2x\ge x+4\iff-3x\ge3\iff x\le-1$ . Le sens change à la dernière étape parce que l’on divise par un nombre négatif, pas parce que l’on utilise l’exponentielle.

Un exposant du second degré

$e^{x^2}\le e^4\iff x^2\le4$ . On obtient $-2\le x\le2$ , soit $[-2;2]$ . Les deux contraintes doivent être satisfaites ensemble.

Un produit avec une exponentielle

Le signe de $(x-2)e^{-x}$ est celui de $x-2$ . Ainsi $(x-2)e^{-x}<0\iff x<2$ . Il est inutile de chercher un zéro à $e^{-x}$ .

Deux situations différentes

Résous $e^{x^2}>e^9$ , puis $-2e^x\le-2e$ .

Réponse pour te vérifier

$x<-3$ ou $x>3$ ; pour la seconde, diviser par $-2$ donne $e^x\ge e$ , donc $x\ge1$ .

I · SAVOIR-FAIRE 4

Dériver une exponentielle affine

Le coefficient de x x reste dans la dérivée.

Formule utile

Pour $a,b$ réels, la fonction $f(x)=e^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=ae^{ax+b}$ .

Justification. Pour $a\ne0$ , la relation algébrique permet d’écrire le taux : $\frac{e^{a(x+h)+b}-e^{ax+b}}h=e^{ax+b}\frac{e^{ah}-1}h =ae^{ax+b}\frac{e^{ah}-1}{ah}.$ Quand $h\to0$ , $ah\to0$ et le dernier quotient tend vers $\exp'(0)=1$ . Si $a=0$ , la fonction est constante et sa dérivée vaut $0$ , ce qui convient aussi.

Repérer le coefficient avant de dériver

Pour $f(x)=7e^{-3x+2}$ , le facteur $7$ reste et l’exposant fournit $-3$ : $f'(x)=-21e^{-3x+2}$ . La dérivée est négative, donc $f$ décroît. Pour $g(x)=5-2e^{-x}$ : $g'(x)=-2(-e^{-x})=2e^{-x}>0$ ; $g$ croît.

Positivité n’est pas croissance de toute expression

$e^{-x}$ est positive, mais sa dérivée est $-e^{-x}<0$ : elle décroît. C’est le signe de la dérivée complète qu’il faut examiner.

Trois dérivées

Dérive $e^{4x}$ , $3e^{2-x}$ et $e^2$ .

Réponse pour te vérifier

$4e^{4x}$ ; $-3e^{2-x}$ ; $0$ , car $e^2$ est une constante.

I · SAVOIR-FAIRE 5

Dériver un produit ou un quotient

Les règles de dérivation continuent de s’appliquer.

Produit : deux contributions

Soit $f(x)=(x+2)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ . Avec $u=x+2$ , $u'=1$ , $v=e^{-x}$ et $v'=-e^{-x}$ : $f'(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}=e^{-x}[1-(x+2)]=(-x-1)e^{-x}.$ Les parenthèses après le signe moins évitent de transformer $-x-2$ en $-x+2$ .

Quotient : annoncer le domaine

Soit $g(x)=\dfrac{e^x}{x+2}$ , définie pour $x\ne-2$ . Sur chacun des deux intervalles du domaine : $g'(x)=\frac{e^x(x+2)-e^x}{(x+2)^2}=\frac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}.$ L’exponentielle et le carré du dénominateur sont strictement positifs. Le signe dépend donc de $x+1$ , mais la coupure en $-2$ reste indispensable.

Une autre écriture peut simplifier

$h(x)=\dfrac{x^2}{e^x}=x^2e^{-x}$ . La dérivation du produit donne $h'(x)=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$ , sans calcul de quotient.

Ne pas oublier un terme

Dérive $(2x-1)e^x$ .

Réponse pour te vérifier

$2e^x+(2x-1)e^x=(2x+1)e^x$ . La dérivée du produit n’est pas $2e^x$ seule.

I · SAVOIR-FAIRE 6

Des variations à une borne

Terminer l’étude par une information utilisable.

Considérons $f(x)=e^x-x$ sur $[-2;2]$ . La fonction est dérivable et $f'(x)=e^x-1$ . Comme $1=e^0$ , la stricte croissance donne $f'(x)<0$ si $x<0$ , $f'(0)=0$ et $f'(x)>0$ si $x>0$ .

Le minimum vaut $f(0)=1$ . Ainsi, sur cet intervalle, $f(x)\ge1$ : c’est plus précis que dire seulement $f(x)>0$ . Le raisonnement sur le signe de la dérivée reste valable sur $\mathbb{R}$ . On en déduit pour tout réel $x$ : $\boxed{e^x\ge1+x},\qquad\text{avec égalité seulement si }x=0.$

Interprétation graphique

La courbe de l’exponentielle se situe au-dessus de sa tangente en $0$ . Le dessin suggère cette propriété ; l’étude de $e^x-x$ la démontre.

Réutiliser la borne

Que peux-tu affirmer de $e^x-x+4$ ? Peut-elle être nulle ?

Réponse pour te vérifier

Elle est au moins égale à $5$ pour tout réel $x$ . Elle ne peut donc jamais être nulle.

I · SAVOIR-FAIRE 7

Choisir un optimum

La quantité étudiée peut monter puis descendre.

Un modèle donne $P(t)=12t\,e^{-0{,}5t}$ pour $t\in[0;8]$ , où $t$ est le temps en heures et $P(t)$ une production horaire en unités par heure. Ici, la formule porte sur les valeurs numériques dans ces unités.

Étudier le produit entier

$P'(t)=12e^{-0{,}5t}-6t e^{-0{,}5t}=6(2-t)e^{-0{,}5t}$ . L’exponentielle est strictement positive ; le signe est celui de $2-t$ . La fonction croît jusqu’à $t=2$ , puis décroît. Le maximum vaut $P(2)=24e^{-1}\simeq8{,}83$ unités par heure.

Vérifier

Les deux facteurs de $P$ varient en sens opposés. Leurs variations prises séparément ne suffisent pas pour conclure sur leur produit.

Une contrainte supplémentaire

Si le fonctionnement s’arrête à $1$ h, quand le maximum sur $[0;1]$ est-il atteint ?

Réponse pour te vérifier

À $1$ h, car la fonction est encore croissante sur tout l’intervalle autorisé.

I · MODÉLISER

Croissance et décroissance

À durées égales, le même facteur multiplicatif.

Un modèle exponentiel s’écrit $Q(t)=Q_0e^{kt}$ . Le temps $t$ et le coefficient $k$ doivent être choisis de façon que $kt$ soit sans dimension. Par exemple, si $t$ est en h, $k$ est en $\mathrm{h^{-1}}$ . Pour une même durée $h$ : $\frac{Q(t+h)}{Q(t)}=\frac{Q_0e^{k(t+h)}}{Q_0e^{kt}}=e^{kh}\quad(Q_0\ne0).$ Ce rapport ne dépend pas du moment de départ. Les différences ne sont en général pas constantes. Pour $Q_0>0$ , la dérivée vérifie $Q'(t)=kQ(t)$ : le modèle croît si $k>0$ , décroît si $k<0$ et reste constant si $k=0$ .

Un taux continu n’est pas un pourcentage par période

Si $Q(t)=80e^{0{,}12t}$ avec $t$ en jours, le facteur en un jour est $e^{0{,}12}\simeq1{,}1275$ . L’augmentation est d’environ $12{,}75\,\%$ , pas exactement $12\,\%$ . La valeur $0{,}12$ exprime le taux instantané relatif du modèle : $Q'(t)=0{,}12Q(t)$ , avec les unités adaptées.

Retrouver une suite géométrique

Aux instants entiers, $u_n=Q(n)=Q_0(e^k)^n$ . C’est une suite géométrique de premier terme $Q_0$ et de raison $e^k$ .

Domaine et limites du modèle

Une formule ajustée sur une période ne garantit pas une évolution identique indéfiniment. On précise l’intervalle de temps sur lequel on l’utilise.

Une décroissance

Pour $Q(t)=50e^{-0{,}2t}$ , calcule $Q(0)$ et le facteur multiplicatif en cinq unités de temps.

Réponse pour te vérifier

$Q(0)=50$ ; le facteur est $e^{-1}\simeq0{,}368$ . La diminution est d’environ $63{,}2\,\%$ .

I · NUMÉRIQUE

Trouver un seuil sans logarithme

Encadrer la réponse puis annoncer la précision.

On cherche quand $C(t)=60e^{-0{,}3t}$ devient inférieure à $20$ , avec $t\in[0;10]$ en minutes. La fonction est strictement décroissante, car $C'(t)=-18e^{-0{,}3t}<0$ . On trouve $C(3)\simeq24{,}39$ et $C(4)\simeq18{,}07$ . Le seuil est entre $3$ et $4$ minutes. Pour préciser : $C(3{,}66)\simeq20{,}012$ et $C(3{,}67)\simeq19{,}952$ . Il est entre $3{,}66$ et $3{,}67$ minutes.

Une dichotomie

from math import exp

def concentration(t):
    return 60 * exp(-0.3*t)

a, b = 3.0, 4.0
while b - a > 0.01:
    m = (a + b) / 2
    if concentration(m) > 20:
        a = m
    else:
        b = m
print(a, b)

On conserve un intervalle où la valeur $20$ est franchie. Le test doit tenir compte de la décroissance : une concentration encore trop grande signifie que le temps est trop petit.

Vérifier

Le résultat est un encadrement, pas une valeur exacte. Si l’on demande la première minute entière pour laquelle $C(t)<20$ , la réponse est $4$ .

Un piège d’arrondi

Pourquoi annoncer seulement « $3{,}66$ min » ne garantit-il pas que $C(t)<20$ ?

Réponse pour te vérifier

À $3{,}66$ min, la concentration est encore légèrement supérieure à $20$ . Il faut distinguer arrondi du seuil et temps garantissant la condition.

I · NUMÉRIQUE

Construire une approximation

La méthode d’Euler relie pente et pas.

Pour $y=e^x$ , on sait $y'=y$ et $y(0)=1$ . Sur un petit pas $h$ , la tangente suggère $y(x+h)\simeq y(x)+hy(x)$ . On construit donc les valeurs approchées $x_{n+1}=x_n+h,\qquad y_{n+1}=(1+h)y_n,\qquad x_0=0,\ y_0=1.$ Les $y_n$ forment une suite géométrique. Pour arriver en $x=1$ en $N$ pas, on choisit $h=1/N$ ; alors $y_N=(1+1/N)^N$ .

$N$	$h$	$y_N$ approché	$e-y_N$ approché
10	0,1	2,59374	0,12454
100	0,01	2,70481	0,01347
1000	0,001	2,71692	0,00136

def euler(N):
    h = 1 / N
    y = 1.0
    for _ in range(N):
        y = y + h*y
    return y

Ici $N$ doit être un entier strictement positif. Les résultats illustrent l’amélioration numérique quand le pas diminue ; ce tableau seul n’est pas une démonstration de convergence.

Calculer à la main

Avec $h=0{,}5$ , donne les deux premières valeurs après $y_0=1$ .

Réponse pour te vérifier

$y_1=1{,}5$ et $y_2=2{,}25$ . C’est une approximation de $e$ , pas sa valeur exacte.

II · EXERCICES

S’entraîner avec méthode

Justifie les propriétés utilisées avant de calculer.

Reconnaître ce que l’on calcule

Bases

Pour $f(x)=e^x$ , donne les valeurs exactes de $f(0)$ , $f(1)$ et $f'(0)$ . Compare ensuite $e^{-2}$ et $-e^2$ . Explique le rôle du signe moins.

Voir la correction détailléeExercice 1

Des calculs expliqués — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Par définition, $f(0)=1$ et $f(1)=e$ . Comme $f'=f$ , $f'(0)=1$ . Ici l’image et la pente ont la même valeur, mais elles désignent des objets différents. $e^{-2}=1/e^2>0$ ; $-e^2<0$ . Le signe moins dans un exposant donne ici un inverse ; devant l’expression, il donne son opposé.

Réduire une écriture

Bases

Écris sous la forme d’une seule exponentielle : $A=e^{3x-1}e^{2-x}$ ; $B=e^{4x}/e^{x+3}$ ; $C=(e^{-x+2})^3e^{2x}$ .

Voir la correction détailléeExercice 2

Des calculs expliqués — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

On additionne les exposants d’un produit, on les soustrait dans un quotient et on les multiplie dans une puissance : $A=e^{3x-1+2-x}=e^{2x+1},\quad B=e^{4x-(x+3)}=e^{3x-3}.$ Pour $C$ , l’exposant vaut $3(-x+2)+2x=-x+6$ . Donc $C=e^{-x+6}$ . Les parenthèses protègent les signes.

Vérifier

Avec $x=0$ , l’écriture initiale de $C$ vaut $(e^2)^3=e^6$ ; la forme obtenue donne aussi $e^6$ . Un test numérique ne prouve pas l’identité, mais il détecte ici une erreur de signe.

Factoriser une somme

Bases

Factorise $e^{x+1}+2e^x$ , puis $e^{2x}-3e^x$ . Un élève écrit $e^x+e^x=e^{2x}$ . Donne un contre-exemple.

Voir la correction détailléeExercice 3

Des calculs expliqués — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Puisque $e^{x+1}=e^xe$ , la première expression vaut $e^x(e+2)$ . La seconde vaut $e^x(e^x-3)$ . Pour $x=0$ , l’affirmation de l’élève donne $2=1$ , ce qui est faux. La bonne écriture est $e^x+e^x=2e^x$ ; la règle qui additionne les exposants concerne un produit.

Comparer exactement

Bases

Range dans l’ordre croissant $e^{-1}$ , $e^{1/2}$ , $1$ , $e^2$ et $e^{-3}$ . Justifie sans valeurs approchées. Encadre $e^{0{,}7}$ entre deux de ces nombres.

Voir la correction détailléeExercice 4

Des calculs expliqués — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

L’exponentielle est strictement croissante. On classe donc les exposants $-3<-1<0<1/2<2$ , avec $1=e^0$ : $e^{-3}<e^{-1}<1<e^{1/2}<e^2.$ Comme $1/2<0{,}7<2$ , on a $e^{1/2}<e^{0{,}7}<e^2$ . Un ordre sur les exposants fournit un ordre exact sur les valeurs.

II · EXERCICES

Entraînement · 5 à 8

Justifie les propriétés utilisées avant de calculer.

Étudier un signe

Bases

Détermine le signe de $A(x)=(2x-6)e^{-x}$ , puis de $B(x)=-4e^{2x+1}$ . Où ces expressions s’annulent-elles ?

Voir la correction détailléeExercice 5

Corrections · 5 à 8 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Le facteur $e^{-x}$ est strictement positif pour tout réel $x$ . $A$ a donc le signe de $2x-6=2(x-3)$ : négatif pour $x<3$ , nul pour $x=3$ , positif pour $x>3$ . Dans $B$ , le coefficient $-4$ est négatif et l’exponentielle positive : $B(x)<0$ partout. Elle ne s’annule jamais.

Revenir aux exposants

Bases

Résous dans $\mathbb{R}$ : $e^{5x-1}=e^{2x+8}$ ; $e^{3-2x}=1$ ; $e^{x+2}e^{x-1}=e^7$ .

Voir la correction détailléeExercice 6

Corrections · 5 à 8 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Par injectivité : $5x-1=2x+8$ , d’où $x=3$ . Ensuite $1=e^0$ , donc $3-2x=0$ et $x=3/2$ . Enfin, le produit vaut $e^{2x+1}$ . L’équation donne $2x+1=7$ , soit $x=3$ . Chaque équivalence utilise deux exponentielles égales, après simplification éventuelle.

Vérifier

En remplaçant $x$ par $3$ , les deux membres des première et troisième équations coïncident ; dans la deuxième, l’exposant devient bien nul.

Réinvestir le second degré

Bases

Résous $e^{x^2-3x}=e^4$ , puis $e^{x^2}=e^{2x}$ . Donne les ensembles de solutions.

Voir la correction détailléeExercice 7

Corrections · 5 à 8 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

La première équivaut à $x^2-3x-4=0$ . On reconnaît $(x-4)(x+1)=0$ , donc $S=\{-1;4\}$ . La seconde équivaut à $x^2-2x=0$ , soit $x(x-2)=0$ . Donc $S=\{0;2\}$ . Il peut y avoir deux solutions en $x$ même si l’exponentielle est injective : ce sont les exposants polynomiaux qui prennent la même valeur.

Repérer une impossibilité

Bases

Résous $e^{2x}=-1$ , $e^{x-4}=0$ et $(x^2+1)e^x=0$ . Explique le point commun des trois raisonnements.

Voir la correction détailléeExercice 8

Corrections · 5 à 8 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Une exponentielle est strictement positive : les deux premières équations n’ont donc aucune solution. Pour la troisième, $x^2+1\ge1>0$ et $e^x>0$ ; leur produit est strictement positif. Il n’est jamais nul. Dans chaque cas, l’étude du signe permet de conclure avant toute manipulation compliquée.

II · EXERCICES

Entraînement · 9 à 12

Justifie les propriétés utilisées avant de calculer.

Comparer puis isoler

Bases

Résous $e^{2-3x}\le e^{x+6}$ , puis $-3e^x>-3e^2$ . Écris les intervalles obtenus.

Voir la correction détailléeExercice 9

Corrections · 9 à 12 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Par croissance, $2-3x\le x+6\iff-4x\le4\iff x\ge-1$ . Donc $[-1;+\infty[$ . Pour la seconde, on divise d’abord par $-3$ : $e^x<e^2$ . Le sens est inversé par cette division. Puis la croissance donne $x<2$ , soit $]-\infty;2[$ .

Vérifier

À la borne $x=-1$ , les exposants de la première inégalité valent tous deux $5$ : la borne est incluse. À $x=2$ , la seconde inégalité devient une égalité, interdite par le signe strict.

Un intervalle ou deux morceaux ?

Bases

Résous $e^{x^2}\le e^9$ , puis $(x-1)(x+2)e^x>0$ . Dans chaque cas, précise si les contraintes se combinent avec « et » ou avec « ou ».

Voir la correction détailléeExercice 10

Corrections · 9 à 12 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

La première donne $x^2\le9$ , donc $x\ge-3$ et $x\le3$ : $[-3;3]$ . Dans la seconde, $e^x>0$ . Le produit $(x-1)(x+2)$ est positif à l’extérieur des racines $-2$ et $1$ . On obtient $x<-2$ ou $x>1$ , soit $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$ . Les racines sont exclues car l’inégalité est stricte.

Vérifier

Le nombre $0$ vérifie la première inégalité, mais pas la seconde : cela confirme qu’un « et » dans la première question ne doit pas être réutilisé mécaniquement dans la seconde.

Une somme de fonctions

Bases

Dérive $f(x)=3e^x-2x^2+7$ , $g(x)=e^x+e^{-x}$ et $h(x)=e^3x$ . Pour $h$ , précise ce qui est constant.

Voir la correction détailléeExercice 11

Corrections · 9 à 12 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Les fonctions sont dérivables sur $\mathbb{R}$ . On dérive terme à terme : $f'(x)=3e^x-4x,\qquad g'(x)=e^x-e^{-x}.$ Dans $h(x)=e^3\times x$ , $e^3$ est une constante. Ainsi $h'(x)=e^3$ . Ne pas confondre cette écriture avec $e^{3x}$ , dont la dérivée vaut $3e^{3x}$ .

Garder le coefficient intérieur

Bases

Dérive $u(x)=4e^{3x-2}$ , $v(x)=6-5e^{-2x}$ et $w(x)=e^{1-x}/3$ . Détermine le sens de variation de chacune.

Voir la correction détailléeExercice 12

Corrections · 9 à 12 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

$u'(x)=4\times3e^{3x-2}=12e^{3x-2}>0$ : $u$ croît sur $\mathbb{R}$ . $v'(x)=-5\times(-2)e^{-2x}=10e^{-2x}>0$ : $v$ croît aussi. $w'(x)=-(1/3)e^{1-x}<0$ : $w$ décroît. Le signe de l’exposant n’est pas un critère de variation ; c’est le coefficient de la dérivée qui intervient.

Vérifier

Les trois exponentielles restent strictement positives. Les signes annoncés proviennent donc uniquement des coefficients $12$ , $10$ et $-1/3$ .

II · EXERCICES

Entraînement · 13 à 16

Justifie les propriétés utilisées avant de calculer.

Réparer deux dérivées

Application

Un élève écrit $(e^{-4x})'=e^{-4x}$ et $((x+3)e^x)'=e^x$ . Corrige chaque résultat en expliquant l’oubli.

Voir la correction détailléeExercice 13

Corrections · 13 à 16 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

La première dérivée est $-4e^{-4x}$ . Le coefficient de $x$ dans l’exposant doit multiplier l’exponentielle. Pour la seconde, les deux facteurs varient : $((x+3)e^x)'=1\times e^x+(x+3)e^x=(x+4)e^x.$ Le résultat proposé a omis la contribution de la dérivée du second facteur.

Un produit et son minimum

Application

On considère $f(x)=(x-2)e^x$ sur $[-2;3]$ .

Calcule et factorise $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'$ puis les variations de $f$ .
Donne la valeur exacte du minimum et les valeurs aux extrémités.
Explique pourquoi le zéro de $f$ et l’abscisse du minimum sont différents.

Voir la correction détailléeExercice 14

Corrections · 13 à 16 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. La règle du produit donne $f'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x.$

2. Comme $e^x>0$ , la dérivée a le signe de $x-1$ : elle est négative avant $1$ , nulle en $1$ , positive après. Ainsi $f$ décroît sur $[-2;1]$ puis croît sur $[1;3]$ .

3. Le minimum est $f(1)=-e$ . Aux extrémités, $f(-2)=-4e^{-2}$ et $f(3)=e^3$ .

4. Le signe de $f$ change en $2$ parce que $f(2)=0$ , tandis que ses variations changent en $1$ parce que $f'(1)=0$ avec changement de signe. Zéro d’une fonction et extremum sont deux notions différentes.

Vérifier

Le point critique $1$ appartient à l’intervalle. La dérivée y change de $-$ vers $+$ : il s’agit bien d’un minimum, sans qu’il soit nécessaire de comparer des valeurs décimales.

Un quotient, un domaine

Application

Soit $f(x)=e^x/(x+1)$ .

Détermine son domaine de définition.
Calcule et simplifie $f'(x)$ sur ce domaine.
Étudie les variations sur chacun des intervalles du domaine. Aucune limite n’est demandée.
Détermine le minimum de $f$ sur $]-1;+\infty[$ et explique pourquoi aucune flèche ne doit traverser $-1$ .

Voir la correction détailléeExercice 15

Corrections · 13 à 16 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. Il faut $x+1\ne0$ , donc $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

2. Sur le domaine, la règle du quotient donne $f'(x)=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}.$

3. Le facteur $e^x$ et le carré du dénominateur sont positifs : $f'$ a le signe de $x$ . Ainsi $f$ décroît sur $]-\infty;-1[$ et sur $]-1;0]$ , puis croît sur $[0;+\infty[$ .

4. Sur $]-1;+\infty[$ , le minimum vaut $f(0)=1$ . On ne réunit pas les deux intervalles décroissants en franchissant $-1$ , car la fonction n’y est pas définie ; aucune flèche de variation ne peut traverser cette coupure.

Vérifier

Le carré $(x+1)^2$ ne change jamais le signe de la dérivée, mais il rappelle que $x=-1$ reste exclu. Une étude qui tracerait une seule flèche à travers $-1$ serait donc incorrecte.

Deux exponentielles, une borne

Application

Pour $f(x)=e^x+e^{-x}$ :

Calcule $f'$ et montre qu’elle a le signe de $x$ .
Dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Déduis une borne exacte valable sur $\mathbb{R}$ .
Résous $f(x)=2$ et justifie l’unicité de la solution.

Voir la correction détailléeExercice 16

Corrections · 13 à 16 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. $f'(x)=e^x-e^{-x}$ . Par croissance, $e^x>e^{-x}\iff x>-x\iff x>0.$ La dérivée est donc négative pour $x<0$ , nulle en $0$ , positive pour $x>0$ .

2. La fonction décroît sur $]-\infty;0]$ , puis croît sur $[0;+\infty[$ .

3. Son minimum vaut $f(0)=2$ . Donc $f(x)\ge2$ pour tout réel $x$ , avec égalité seulement en $0$ .

4. L’équation $f(x)=2$ demande précisément l’égalité dans cette borne. Elle a donc l’unique solution $x=0$ .

II · EXERCICES

Entraînement · 17 à 20

Justifie les propriétés utilisées avant de calculer.

Une tangente à construire

Application

Pour $f(x)=e^{2x}$ :

Calcule $f(0)$ et $f'(0)$ .
Détermine l’équation de la tangente en $0$ .
Choisis l’abscisse à utiliser pour approcher $e^{0{,}04}$ , puis donne cette approximation.
Compare avec $e^{0{,}04}\simeq1{,}04081$ et commente l’écart.

Voir la correction détailléeExercice 17

Corrections · 17 à 20 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. $f'(x)=2e^{2x}$ ; donc $f(0)=1$ et $f'(0)=2$ .

2. La tangente en $0$ est $y=f'(0)x+f(0)=2x+1$ .

3. Pour obtenir $e^{0{,}04}=f(0{,}02)$ , on utilise $x=0{,}02$ , pas $0{,}04$ . Ainsi $f(0{,}02)\simeq1+2\times0{,}02=1{,}04.$

4. La valeur calculée est $1{,}04081$ : l’écart vaut environ $0{,}00081$ . L’approximation linéaire est cohérente parce que l’abscisse utilisée est proche de $0$ .

Vérifier

La droite $y=2x+1$ passe par $(0;1)$ et possède la pente $2=f'(0)$ . Ces deux vérifications valident l’équation de la tangente avant de l’utiliser.

Une comparaison de courbes

Application

À l’aide de $e^u\ge1+u$ pour tout réel $u$ , compare $e^{2x}$ et $1+2x$ . Déduis le signe de $H(x)=e^{2x}-2x+3$ . Peut-on avoir $H(x)=0$ ?

Voir la correction détailléeExercice 18

Corrections · 17 à 20 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

On applique la propriété à $u=2x$ : $e^{2x}\ge1+2x$ , avec égalité seulement si $x=0$ . En retranchant $2x$ puis en ajoutant $3$ , on obtient $H(x)\ge4$ . La fonction est donc strictement positive, avec minimum $4$ en $0$ . L’équation $H(x)=0$ n’a pas de solution. La borne $4$ est plus informative qu’un simple signe positif.

Vérifier

L’égalité dans $e^u\ge1+u$ exige $u=0$ . Ici $u=2x$ , donc elle se produit seulement pour $x=0$ ; on vérifie alors $H(0)=4$ .

Une dérivée nulle en un point

Application

Soit $f(x)=(x^2+2x+2)e^{-x}$ . Calcule $f'$ et explique pourquoi une tangente horizontale en $0$ ne donne pas ici un extremum.

Voir la correction détailléeExercice 19

Corrections · 17 à 20 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

On utilise la règle du produit : $f'(x)=(2x+2)e^{-x}-(x^2+2x+2)e^{-x}=-x^2e^{-x}.$ La dérivée est négative pour $x\ne0$ et nulle seulement en $0$ . La fonction décroît de part et d’autre de $0$ ; elle ne change pas de sens de variation. La tangente y est horizontale ( $f(0)=2$ ), mais ce point n’est pas un extremum.

Conclure à une borne précise

Application

On considère $f(x)=(x^2+4x+6)e^{-x}$ sur $[0;3]$ .

Calcule $f'(x)$ et factorise-la par $e^{-x}$ .
Montre que $f'(x)<0$ sur l’intervalle.
Dresse le tableau de variations en calculant les valeurs aux bornes.
Encadre $f(x)$ par deux nombres exacts pour tout $x\in[0;3]$ .

Voir la correction détailléeExercice 20

Corrections · 17 à 20 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. La règle du produit donne $f'(x)=[2x+4-(x^2+4x+6)]e^{-x}=-(x^2+2x+2)e^{-x}.$

2. Or $x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$ et $e^{-x}>0$ . Donc $f'(x)<0$ sur $[0;3]$ .

3. La fonction est strictement décroissante : elle passe de $f(0)=6$ à $f(3)=27e^{-3}$ .

4. Pour tout $x\in[0;3]$ , $27e^{-3}\le f(x)\le6.$

Vérifier

Comme la fonction décroît sur tout $[0;3]$ , la plus grande valeur se trouve à la borne gauche et la plus petite à la borne droite. Le sens des deux inégalités est ainsi contrôlé.

II · EXERCICES

Entraînement · 21 à 24

Justifie les propriétés utilisées avant de calculer.

Un quotient toujours défini

Application

Pour $f(x)=e^x/(e^x+2)$ :

Justifie que le domaine est $\mathbb{R}$ .
Calcule $f'$ puis détermine son signe.
Donne le sens de variation de $f$ .
Montre directement que $0<f(x)<1$ pour tout réel $x$ .

Voir la correction détailléeExercice 21

Corrections · 21 à 24 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. $e^x+2>2>0$ : le dénominateur ne s’annule jamais. Le domaine est donc $\mathbb{R}$ .

2. La règle du quotient donne $f'(x)=\frac{e^x(e^x+2)-e^xe^x}{(e^x+2)^2}=\frac{2e^x}{(e^x+2)^2}>0.$

3. La dérivée est strictement positive : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

4. Le numérateur est positif et strictement plus petit que le dénominateur positif. Ainsi $0<\frac{e^x}{e^x+2}<1.$ Ces inégalités ne sont jamais des égalités.

Retrouver deux paramètres

Application

On cherche $f(x)=ae^x+b$ , où $a,b$ sont réels. Sa courbe passe par $(0;5)$ et sa tangente en $0$ a pour pente $2$ . Détermine $a,b$ et l’équation de cette tangente.

Voir la correction détailléeExercice 22

Corrections · 21 à 24 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Le passage par le point donne $f(0)=a+b=5$ . La dérivée est $f'(x)=ae^x$ ; la pente donne $f'(0)=a=2$ . D’où $b=3$ et $f(x)=2e^x+3$ . La tangente est $y=f'(0)x+f(0)=2x+5$ . Les deux données jouent des rôles distincts : l’une fixe une hauteur, l’autre une pente.

Identifier un modèle

Application

Une quantité est modélisée par $Q(t)=Q_0e^{kt}$ , avec $t$ en heures. On connaît $Q(0)=40$ unités et $Q(2)=40e^{-0{,}6}$ unités.

Détermine $Q_0$ .
Utilise la seconde donnée pour déterminer $k$ avec son unité.
Calcule le facteur d’évolution en trois heures et le pourcentage d’évolution correspondant.
Contrôle la cohérence du signe de $k$ avec l’évolution obtenue.

Voir la correction détailléeExercice 23

Corrections · 21 à 24 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. $Q(0)=Q_0e^0=Q_0$ , donc $Q_0=40$ unités.

2. Ensuite $40e^{2k}=40e^{-0{,}6}$ donne $2k=-0{,}6$ par injectivité, donc $k=-0{,}3\,\mathrm{h^{-1}}.$

3. En trois heures, le facteur est $e^{3k}=e^{-0{,}9}\simeq0{,}407$ . La quantité est multipliée par environ $0{,}407$ , soit une diminution d’environ $59{,}3\,\%$ .

4. Le coefficient $k$ est négatif et le facteur est compris entre $0$ et $1$ : ces deux informations décrivent bien une diminution.

Vérifier

$k$ est négatif et le facteur sur trois heures est compris entre $0$ et $1$ : une diminution était attendue. De plus $Q(2)=40e^{-0{,}6}$ est bien retrouvé.

Comparer deux évolutions

Application

Sur $[0;10]$ , deux modèles donnent $A(t)=30e^{0{,}2t}$ et $B(t)=30e^{0{,}05t+1}$ .

Compare $A(0)$ et $B(0)$ .
Résous exactement $A(t)=B(t)$ .
Détermine lequel des deux modèles est le plus grand avant puis après cet instant.
Vérifie le classement initial avec les valeurs de la première question.

Voir la correction détailléeExercice 24

Corrections · 21 à 24 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. $A(0)=30$ tandis que $B(0)=30e>30$ . Le modèle $B$ est initialement le plus grand.

2. Le facteur $30$ est positif. L’égalité se ramène à $0{,}2t=0{,}05t+1\iff0{,}15t=1\iff t=\frac{20}{3}\simeq6{,}67.$

3. De même, $A(t)>B(t)\iff0{,}15t>1\iff t>\frac{20}{3}.$ Avant cet instant, $B$ est plus grand ; après, $A$ est plus grand.

4. À $t=0$ , le classement obtenu donne bien $A(0)<B(0)$ . On conserve l’instant exact $20/3$ pour découper correctement l’intervalle.

Vérifier

À $t=0$ , $A(0)=30$ alors que $B(0)=30e>30$ : le classement annoncé avant le croisement est cohérent.

II · EXERCICES

Entraînement · 25 à 28

Justifie les propriétés utilisées avant de calculer.

Un pourcentage par jour

Approfondir

Un modèle donne $N(t)=300e^{0{,}08t}$ , avec $t$ en jours. Calcule le facteur d’évolution quotidien et le pourcentage correspondant. Justifie pourquoi $N(t+1)-N(t)$ n’est pas constant.

Voir la correction détailléeExercice 25

Corrections · 25 à 26 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

Le rapport $N(t+1)/N(t)=e^{0{,}08}\simeq1{,}083287$ est constant. Le pourcentage quotidien vaut donc $100(e^{0{,}08}-1)\simeq8{,}33\,\%$ . La différence vaut $N(t)(e^{0{,}08}-1)$ . Le second facteur est constant, mais $N(t)$ augmente : les accroissements augmentent aussi. Le coefficient $0{,}08$ du modèle n’est donc pas exactement une augmentation de $8\,\%$ par jour.

Vérifier

Le facteur $e^{0{,}08}$ est supérieur à $1$ , conformément à la croissance du modèle. Un pourcentage exact de $8\,\%$ correspondrait au facteur $1{,}08$ , différent de $e^{0{,}08}$ .

La moitié, à quel moment ?

Approfondir

Pour $Q(t)=90e^{-0{,}4t}$ , $t\ge0$ en heures, on donne $Q(1{,}73)\simeq45{,}052$ et $Q(1{,}74)\simeq44{,}872$ . Encadre le temps de demi-diminution et donne la première heure entière où $Q<45$ .

Voir la correction détailléeExercice 26

Corrections · 25 à 26 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

$Q'(t)=-36e^{-0{,}4t}<0$ , donc $Q$ décroît strictement. Les deux valeurs encadrent $45$ : le temps où la quantité vaut la moitié de $90$ est entre $1{,}73$ et $1{,}74$ h. La première heure entière satisfaisant la condition est $2$ h : $Q(1)=90e^{-0{,}4}\simeq60{,}33>45$ et $Q(2)=90e^{-0{,}8}\simeq40{,}44<45$ . Un temps approché et le premier entier admissible sont deux réponses différentes.

Vérifier

La décroissance stricte garantit qu’après le franchissement il n’y aura pas de retour au-dessus de $45$ . C’est pourquoi le contrôle des deux entiers $1$ et $2$ suffit.

Retrouver la suite

Approfondir

Pour $u_n=12e^{-0{,}25n}$ et $n\in\mathbb N$ , montre que la suite est géométrique. Donne son premier terme, sa raison et son sens de variation. Peut-elle atteindre exactement zéro ?

Voir la correction détailléeExercice 27

Corrections · 27 à 28 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

On a $u_0=12$ et $u_{n+1}=12e^{-0{,}25n-0{,}25}=e^{-0{,}25}u_n.$ La raison est $q=e^{-0{,}25}\simeq0{,}7788$ , comprise entre $0$ et $1$ . Comme les termes sont positifs, la suite est strictement décroissante. Pour chaque entier $n$ , $12e^{-0{,}25n}>0$ . La suite peut devenir très petite, mais aucun terme n’est exactement nul.

Quatre pas d’Euler

Approfondir

On approche $e^x$ entre $0$ et $1$ avec quatre pas de taille $h=1/4$ . Calcule $y_0$ à $y_4$ avec $y_{n+1}=y_n+hy_n$ . Compare $y_4$ à $e\simeq2{,}71828$ .

Voir la correction détailléeExercice 28

Corrections · 27 à 28 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

On part de $y_0=1$ . Chaque étape multiplie par $1+h=1{,}25$ : $y_1=1{,}25,\quad y_2=1{,}5625,\quad y_3=1{,}953125,\quad y_4=2{,}44140625.$ L’erreur $e-y_4$ vaut environ $0{,}27688$ . Ces valeurs suivent les tangentes successives approximatives, pas la courbe exacte. Le calcul donne aussi $y_4=(1+1/4)^4$ , ce qui permet de contrôler les quatre multiplications.

II · EXERCICES

Entraînement · 29 à 32

Justifie les propriétés utilisées avant de calculer.

Une boucle de seuil

Approfondir

Écris un programme qui donne le premier entier $n\ge0$ tel que $20e^{0{,}3n}\ge100$ . Donne sa réponse et vérifie les deux entiers autour du seuil.

Voir la correction détailléeExercice 29

Corrections · 29 à 30 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

On augmente $n$ tant que la quantité est insuffisante :

from math import exp
n = 0
while 20*exp(0.3*n) < 100:
    n = n + 1
print(n)

Le programme renvoie $6$ . En effet, à $n=5$ , on obtient environ $89{,}63<100$ , et à $n=6$ , environ $120{,}99\ge100$ . La croissance garantit que tous les entiers antérieurs à $5$ échouent aussi. Le test strict dans la boucle correspond bien à la condition finale large.

Vérifier

Le rang précédent échoue et le rang annoncé réussit : cette double vérification établit que $6$ est bien le premier entier convenable.

Conserver un encadrement

Approfondir

Pour résoudre numériquement $e^x=3$ , on part de $a=1$ , $b=2$ et $m=(a+b)/2$ . Si $e^m<3$ , faut-il remplacer $a$ ou $b$ par $m$ ? Fais deux étapes ; on donne $e^{1{,}5}\simeq4{,}482$ et $e^{1{,}25}\simeq3{,}490$ .

Voir la correction détailléeExercice 30

Corrections · 29 à 30 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

L’exponentielle croît : si $e^m<3$ , le seuil est à droite de $m$ , donc on remplace $a$ par $m$ . Sinon, on remplace $b$ par $m$ . Première étape : $m=1{,}5$ , avec $e^m>3$ , donc nouvel intervalle $[1;1{,}5]$ . Deuxième étape : $m=1{,}25$ , encore avec $e^m>3$ , donc $[1;1{,}25]$ . On conserve une valeur inférieure à $3$ au bord gauche et une valeur supérieure à $3$ au bord droit. Il serait incorrect d’utiliser le test du cours sur une fonction décroissante sans l’adapter.

Vérifier

Après chaque étape, $e^a<3<e^b$ reste vrai. Cet invariant est le contrôle essentiel d’une dichotomie.

Une réponse maximale

Approfondir

Un indicateur est modélisé par $R(t)=(t+1)e^{-t/2}$ sur $[0;6]$ .

Calcule et factorise $R'(t)$ .
Étudie son signe puis les variations de $R$ .
Détermine la valeur exacte du maximum et une valeur approchée.
Détermine la tangente en $0$ .
Explique pourquoi la décroissance de $e^{-t/2}$ ne suffisait pas à conclure sur $R$ .

Voir la correction détailléeExercice 31

Corrections · 31 à 32 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. La dérivée du produit vaut $R'(t)=e^{-t/2}-\frac12(t+1)e^{-t/2}=\frac{1-t}{2}e^{-t/2}.$

2. L’exponentielle est positive, donc $R'$ a le signe de $1-t$ . Ainsi $R$ croît sur $[0;1]$ , puis décroît sur $[1;6]$ .

3. Le maximum vaut $R(1)=2e^{-1/2}\simeq1{,}2131$ .

4. $R(0)=1$ et $R'(0)=1/2$ , donc la tangente en $0$ est $y=1+t/2$ .

5. Le produit associe le facteur $t+1$ , croissant, et le facteur $e^{-t/2}$ , décroissant. Observer seulement le second ne permet pas de savoir lequel des deux effets domine ; le signe de la dérivée tranche la question.

Bilan : dérivée, borne et tangente

Approfondir

Soit $f(x)=(x^2-2x+2)e^x$ sur $[0;3]$ .

Calcule $f'$ en détaillant la factorisation.
Étudie les variations et donne les valeurs extrêmes.
Donne la tangente en $0$ puis situe la courbe par rapport à elle sur l’intervalle.
Un élève conclut : « $f'(0)=0$ , donc $f$ est constante ». Réponds-lui précisément.

Voir la correction détailléeExercice 32

Corrections · 31 à 32 — Repère la règle, le calcul et le contrôle.

1. La règle du produit donne $f'(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=[2x-2+x^2-2x+2]e^x=x^2e^x.$

2. Cette dérivée est positive pour $x>0$ et nulle en $0$ . La fonction est strictement croissante sur $[0;3]$ . Son minimum vaut $f(0)=2$ et son maximum $f(3)=5e^3$ .

3. La tangente en $0$ est $y=f'(0)x+f(0)=2$ . Comme $f(x)\ge2$ sur l’intervalle, la courbe est au-dessus de cette droite, avec égalité seulement en $0$ .

4. Une dérivée nulle en un point donne une tangente horizontale en ce point. Pour conclure qu’une fonction est constante sur un intervalle, il faudrait une dérivée nulle en tout point de cet intervalle. Ici, elle est strictement positive dès que $x>0$ .

II · PROBLÈMES DE SYNTHÈSE

Quatre parcours de contrôle

Modéliser, choisir les outils, calculer puis interpréter.

Suivre l’élimination d’une substance

Synthèse · 9 questions

Dans une expérience, la masse d’une substance présente dans un échantillon est modélisée par $C(t)=120e^{-0{,}18t},\qquad 0\le t\le12,$ où $t$ est exprimé en heures et $C(t)$ en milligrammes.

Calcule $C(0)$ et interprète cette valeur avec son unité.
Calcule $C'(t)$ , étudie son signe puis donne le sens de variation de $C$ .
Montre que, d’une heure à la suivante, la masse est multipliée par $e^{-0{,}18}$ . À l’aide de $e^{-0{,}18}\simeq0{,}8353$ , donne le pourcentage de diminution horaire.
Pour $n\in\mathbb N$ et $0\le n\le12$ , on pose $u_n=C(n)$ . Justifie que $(u_n)$ est géométrique et précise son premier terme et sa raison.
Calcule $C(4)$ et $C(8)$ au dixième de milligramme.
On donne $C(7{,}70)\simeq30{,}009$ et $C(7{,}71)\simeq29{,}955$ . Encadre au centième d’heure l’instant où la masse passe sous $30\,\mathrm{mg}$ .
Détermine la première heure entière à laquelle la masse est strictement inférieure à $30\,\mathrm{mg}$ . Justifie avec deux valeurs consécutives.
Détermine la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ , puis utilise-la pour approcher $C(0{,}1)$ .
La tangente obtenue devient négative pour des temps assez grands. Explique pourquoi cela ne contredit ni le modèle ni son utilité locale.

Voir la correction détailléeExercice 33

Problème 33 — élimination — Relier variation continue, évolution horaire et franchissement d’un seuil.

1. À l’instant initial, $C(0)=120e^0=120\,\mathrm{mg}.$ L’échantillon contient donc initialement $120\,\mathrm{mg}$ de substance.

2. La dérivée est $C'(t)=120\times(-0{,}18)e^{-0{,}18t}=-21{,}6e^{-0{,}18t}.$ Une exponentielle étant strictement positive, $C'(t)<0$ sur $[0;12]$ . La masse est donc strictement décroissante pendant l’expérience.

3. Pour tout $t$ tel que $t$ et $t+1$ appartiennent à l’intervalle, $\frac{C(t+1)}{C(t)}=\frac{120e^{-0{,}18(t+1)}}{120e^{-0{,}18t}}=e^{-0{,}18}\simeq0{,}8353.$ En une heure, environ $83{,}53\,\%$ de la masse précédente subsiste. La diminution est donc d’environ $100(1-0{,}8353)=16{,}47\,\%.$ Ce pourcentage porte sur la masse présente au début de chaque heure ; la perte en milligrammes n’est pas constante.

4. Aux instants entiers, $u_n=C(n)=120e^{-0{,}18n}=120\left(e^{-0{,}18}\right)^n.$ La suite est géométrique, de premier terme $u_0=120$ et de raison $q=e^{-0{,}18}\simeq0{,}8353$ .

5. À la calculatrice, $C(4)=120e^{-0{,}72}\simeq58{,}4\,\mathrm{mg},\qquad C(8)=120e^{-1{,}44}\simeq28{,}4\,\mathrm{mg}.$ Les valeurs diminuent et restent positives, conformément à l’étude précédente.

6. La fonction est continue et strictement décroissante. Or $C(7{,}70)>30\quad\text{et}\quad C(7{,}71)<30.$ L’unique instant $\tau$ où $C(\tau)=30$ vérifie donc $7{,}70<\tau<7{,}71\,\mathrm{h}.$ Juste après cet instant, la masse est sous le seuil.

7. On contrôle les deux heures consécutives qui entourent le franchissement : $C(7)\simeq34{,}0\,\mathrm{mg}>30\,\mathrm{mg},\qquad C(8)\simeq28{,}4\,\mathrm{mg}<30\,\mathrm{mg}.$ La première heure entière répondant à la consigne est donc $8\,\mathrm{h}$ .

8. On a $C(0)=120$ et $C'(0)=-21{,}6$ . La tangente en $0$ est $y=120-21{,}6t.$ Pour $t=0{,}1$ , elle donne $C(0{,}1)\simeq117{,}84\,\mathrm{mg}$ . La valeur du modèle est $117{,}859\,\mathrm{mg}$ environ : l’écart est inférieur à $0{,}02\,\mathrm{mg}$ .

9. La droite devient négative dès que $120-21{,}6t<0$ , soit $t>50/9\simeq5{,}56$ . Ce n’est pas la courbe du modèle : c’est seulement son approximation au voisinage de $0$ . Le modèle exponentiel, lui, reste strictement positif. Une tangente peut être très précise localement et absurde si on la prolonge trop loin.

Vérifier

Trois descriptions concordent : $C'<0$ , la raison de la suite est comprise entre $0$ et $1$ , et les valeurs calculées diminuent.

Comparer deux populations

Synthèse · 9 questions

Deux populations sont modélisées pendant quinze années par $A(t)=80e^{0{,}12t}\qquad\text{et}\qquad B(t)=80e^{0{,}04t+0{,}8},$ où $t\in[0;15]$ et les effectifs sont exprimés en milliers.

Calcule $A(0)$ et $B(0)$ , puis indique la population initialement la plus grande.
Détermine le facteur d’évolution annuel de chaque modèle. Lequel possède le plus fort taux de croissance relatif ?
Calcule $A'(t)$ et $B'(t)$ , puis justifie que les deux fonctions sont croissantes.
Résous exactement $A(t)=B(t)$ sans utiliser de logarithme.
Compare $A(t)$ et $B(t)$ avant puis après l’instant trouvé.
Montre que $\dfrac{A(t)}{B(t)}=e^{0{,}08t-0{,}8}$ . Comment ce quotient confirme-t-il le résultat précédent ?
Calcule les deux effectifs au bout de quinze ans, au millier près, et interprète l’écart.
Pour les instants entiers, montre que les suites $a_n=A(n)$ et $b_n=B(n)$ sont géométriques. Donne leurs raisons.
Un élève affirme : « puisque les deux populations augmentent, elles ne peuvent pas se croiser ». Identifie son erreur et rédige une réponse mathématique.

Voir la correction détailléeExercice 34

Problème 34 — deux populations — Comparer des croissances relatives sans confondre valeur initiale et rythme.

1. $A(0)=80$ et $B(0)=80e^{0{,}8}\simeq178$ . La population $B$ est donc initialement la plus grande : son avance vient du terme $0{,}8$ dans l’exposant.

2. Sur une année, $\frac{A(t+1)}{A(t)}=e^{0{,}12}\simeq1{,}1275, \qquad \frac{B(t+1)}{B(t)}=e^{0{,}04}\simeq1{,}0408.$ Les taux relatifs sont donc d’environ $12{,}75\,\%$ et $4{,}08\,\%$ . Le modèle $A$ croît relativement plus vite.

3. Les dérivées sont $A'(t)=9{,}6e^{0{,}12t}>0, \qquad B'(t)=3{,}2e^{0{,}04t+0{,}8}>0.$ Les deux effectifs augmentent sur $[0;15]$ . Cela ne dit pas encore lequel est le plus grand.

4. Les facteurs $80$ sont égaux et positifs. Par injectivité de l’exponentielle, $A(t)=B(t)\iff0{,}12t=0{,}04t+0{,}8 \iff0{,}08t=0{,}8\iff t=10.$ Les deux modèles donnent le même effectif au bout de dix ans.

5. De la même manière, $A(t)>B(t)\iff0{,}08t>0{,}8\iff t>10.$ Ainsi $B$ domine avant dix ans, les effectifs sont égaux à dix ans, puis $A$ domine.

6. En divisant les deux expressions positives, $\frac{A(t)}{B(t)}=e^{0{,}12t-(0{,}04t+0{,}8)}=e^{0{,}08t-0{,}8}.$ Ce quotient est inférieur à $1$ avant $10$ , égal à $1$ en $10$ , puis supérieur à $1$ . Il encode exactement le même classement.

7. Au bout de quinze ans, $A(15)=80e^{1{,}8}\simeq484, \qquad B(15)=80e^{1{,}4}\simeq324.$ Les effectifs étant en milliers, le modèle $A$ dépasse alors le modèle $B$ d’environ $160\,000$ individus.

8. Pour les instants entiers, $a_n=80\left(e^{0{,}12}\right)^n, \qquad b_n=80e^{0{,}8}\left(e^{0{,}04}\right)^n.$ Les suites sont géométriques, de raisons respectives $e^{0{,}12}$ et $e^{0{,}04}$ .

9. Deux fonctions croissantes peuvent se croiser si celle qui part plus bas possède un rythme relatif supérieur. Ici, l’égalité exacte donne $t=10$ : l’élève confond croissance de chaque fonction et comparaison des deux fonctions.

Vérifier

À $t=0$ , on retrouve $A<B$ ; à $t=15$ , on obtient $A>B$ . Le changement de classement autour de $t=10$ est cohérent.

Régler la réponse d’un capteur

Synthèse · 9 questions

Après une impulsion, le signal d’un capteur est modélisé sur $[0;12]$ par $R(t)=te^{-t/3},$ où $t$ est exprimé en secondes.

Calcule $R(0)$ et $R(12)$ , puis décris ce que ces valeurs suggèrent.
Calcule $R'(t)$ et factorise l’expression obtenue.
Étudie le signe de $R'$ et dresse le tableau de variations complet de $R$ .
Détermine l’instant du maximum et sa valeur exacte, puis une valeur approchée au millième.
Détermine l’équation de la tangente en $0$ et utilise-la pour approcher $R(0{,}12)$ .
Calcule la valeur réelle de $R(0{,}12)$ au millième et mesure l’écart avec l’approximation précédente.
Le dispositif ne peut enregistrer qu’aux instants pairs. À l’aide de $e^{-2/3}\simeq0{,}5134$ , compare $R(2)$ et $R(4)$ , puis choisis le meilleur instant disponible.
Un technicien observe seulement que $e^{-t/3}$ décroît et conclut que $R$ décroît. Explique précisément l’erreur.
Rédige une conclusion en distinguant optimum continu et choix discret.

Voir la correction détailléeExercice 35

Problème 35 — le capteur — Un facteur décroissant ne suffit pas à décider du sens d’un produit.

1. $R(0)=0$ . Douze secondes plus tard, $R(12)=12e^{-4}\simeq0{,}220.$ Le signal part de zéro et redevient faible après douze secondes ; ces valeurs ne localisent pas son maximum.

2. La règle du produit donne $R'(t)=e^{-t/3}-\frac{t}{3}e^{-t/3} =\left(1-\frac t3\right)e^{-t/3} =\frac{3-t}{3}e^{-t/3}.$

3. Le facteur exponentiel est strictement positif. La dérivée a donc le signe de $3-t$ : positive avant $3$ , nulle en $3$ , négative après.

4. Le maximum est atteint pour $t=3\,\mathrm{s}$ et vaut $R(3)=3e^{-1}=\frac3e\simeq1{,}104.$

5. $R'(0)=1$ et $R(0)=0$ . La tangente en $0$ est donc $y=t$ . Elle fournit l’approximation $R(0{,}12)\simeq0{,}12$ .

6. Le modèle donne $R(0{,}12)=0{,}12e^{-0{,}04}\simeq0{,}115.$ L’écart avec la tangente vaut environ $0{,}005$ . Il reste faible parce que $0{,}12$ est proche du point de contact $0$ .

7. D’après les variations, parmi les instants pairs, seuls $2$ et $4$ peuvent être les meilleurs candidats : le signal croît jusqu’à $3$ , puis décroît. Or $\frac{R(4)}{R(2)}=\frac{4e^{-4/3}}{2e^{-2/3}}=2e^{-2/3}\simeq2\times0{,}5134=1{,}0268>1.$ Ainsi $R(4)>R(2)$ : le meilleur instant pair est $4\,\mathrm{s}$ .

8. Le facteur $e^{-t/3}$ décroît, mais le facteur $t$ croît. On ne peut pas déduire le sens de variation d’un produit en observant un seul de ses facteurs. Le calcul de $R'$ mesure l’effet combiné.

9. Sans contrainte, le réglage optimal est $t=3\,\mathrm{s}$ et le signal vaut $3/e$ . Avec des mesures uniquement aux instants pairs, $3$ est interdit ; la comparaison des candidats voisins conduit à $t=4\,\mathrm{s}$ . L’optimum d’un modèle continu ne doit pas être arrondi sans contrôle.

Étudier un modèle de saturation

Bilan · 10 questions

Le pourcentage de réalisation d’un processus est modélisé sur $[0;6]$ par $P(t)=\frac{100}{1+e^{2-t}}.$

Justifie que $P$ est définie sur $[0;6]$ et que $0<P(t)<100$ .
Calcule exactement $P(2)$ et interprète cette valeur.
Calcule $P'(t)$ avec la règle du quotient, puis simplifie le numérateur.
Étudie le signe de $P'$ et les variations de $P$ sur $[0;6]$ .
Calcule $P(0)$ et $P(6)$ au dixième, puis rédige le bilan d’évolution.
Détermine l’équation de la tangente en $t=2$ et utilise-la pour approcher $P(2{,}04)$ .
Vérifie que $P(2+h)+P(2-h)=100$ pour tout réel $h$ tel que les deux temps appartiennent à l’intervalle.
Résous exactement $P(t)\ge50$ sur $[0;6]$ .
On donne $P(4{,}19)\simeq89{,}935$ et $P(4{,}20)\simeq90{,}025$ . Encadre au centième l’instant de franchissement de $90\,\%$ .
Une hausse de $25$ points par unité de temps est annoncée pour toute la durée. Explique l’origine possible de ce nombre et corrige l’affirmation.

Voir la correction détailléeExercice 36

Problème 36 — saturation — Relier quotient, dérivée, symétrie et seuil.

1. Comme $e^{2-t}>0$ , le dénominateur $1+e^{2-t}$ est strictement supérieur à $1$ : il ne s’annule jamais. De plus, $0<\frac{100}{1+e^{2-t}}<100.$ La fonction est définie sur $[0;6]$ et ses valeurs restent entre $0$ et $100$ .

2. $P(2)=100/(1+e^0)=50$ . Au temps $2$ , le processus est réalisé à $50\,\%$ .

3. Posons $v(t)=1+e^{2-t}$ . Alors $v'(t)=-e^{2-t}$ et $P'(t)=\frac{0\times v(t)-100v'(t)}{v(t)^2} =\frac{100e^{2-t}}{(1+e^{2-t})^2}.$

4. Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs. Donc $P'(t)>0$ sur $[0;6]$ : le pourcentage augmente strictement pendant toute la durée étudiée.

5. On trouve $P(0)=\frac{100}{1+e^2}\simeq11{,}9, \qquad P(6)=\frac{100}{1+e^{-4}}\simeq98{,}2.$ Le modèle passe donc d’environ $11{,}9\,\%$ à $98{,}2\,\%$ , sans atteindre $100\,\%$ .

6. Puisque $P(2)=50$ et $P'(2)=\frac{100}{(1+1)^2}=25,$ la tangente est $y=25(t-2)+50=25t$ . Elle donne $P(2{,}04)\simeq51$ . La valeur réelle est environ $50{,}9999$ : l’approximation locale est excellente.

7. Pour un réel $h$ admissible, $P(2+h)=\frac{100}{1+e^{-h}}=\frac{100e^h}{1+e^h}, \qquad P(2-h)=\frac{100}{1+e^h}.$ Leur somme vaut $100(e^h+1)/(1+e^h)=100$ . Les valeurs prises à égale distance de $2$ se complètent donc à $100\,\%$ .

8. Le dénominateur est positif. On peut transformer l’inégalité sans changer son sens : $P(t)\ge50 \iff100\ge50(1+e^{2-t}) \iff e^{2-t}\le1=e^0 \iff2-t\le0.$ Sur l’intervalle, la solution est $[2;6]$ .

9. La fonction est strictement croissante et les valeurs données encadrent $90$ . L’unique instant $\tau$ tel que $P(\tau)=90$ vérifie $4{,}19<\tau<4{,}20.$

10. Le nombre $25=P'(2)$ est le rythme instantané lorsque le processus vaut $50\,\%$ , pas une hausse constante : $P'(4)\simeq10{,}5$ . La tangente orange distingue le rythme local de l’évolution globale.

Vérifier

$P$ croît et reste sous $100$ , conformément à $P'>0$ et au graphique.

IV · ÉVALUATIONS

Se préparer au contrôle

Cherche sans la correction, puis analyse précisément les points perdus.

Contrôle ciblé — produit et extremum

25 min · 10 points

On considère $f(x)=(2x+1)e^{-x}$ sur $[0;4]$ .

Calcule $f(0)$ et $f(4)$ . 1 pt
Montre que $f'(x)=(1-2x)e^{-x}$ . 2 pts
Étudie le signe de $f'$ puis dresse le tableau de variations de $f$ . 3 pts
Détermine le maximum exact de $f$ et une valeur approchée au millième. 1,5 pt
Détermine la tangente en $0$ et utilise-la pour approcher $f(0{,}02)$ . 1,5 pt
La valeur calculée est $f(0{,}02)\simeq1{,}019407$ . Commente la précision et rappelle pourquoi la tangente ne donne qu’une approximation locale. 1 pt

Voir la correction détailléeExercice E1

Contrôle E1 — produit et extremum — Une copie complète isole le facteur positif avant de conclure sur le signe.

1. $f(0)=1$ et $f(4)=9e^{-4}\simeq0{,}165$ .

2. Les deux facteurs dépendent de $x$ . Par la règle du produit, $f'(x)=2e^{-x}+(2x+1)(-e^{-x}) =[2-(2x+1)]e^{-x}=(1-2x)e^{-x}.$

3. Comme $e^{-x}>0$ , $f'(x)$ a le signe de $1-2x$ . Cette expression est positive si $x<1/2$ , nulle en $1/2$ , puis négative.

4. Le maximum est atteint pour $x=1/2$ et vaut $f(1/2)=2e^{-1/2}\simeq1{,}213.$

5. $f(0)=1$ et $f'(0)=1$ . La tangente en $0$ a pour équation $y=x+1$ . Elle donne $f(0{,}02)\simeq1{,}02$ .

6. L’écart avec $1{,}019407$ vaut environ $0{,}000593$ , soit moins de $6\times10^{-4}$ . La précision est bonne parce que $0{,}02$ est proche de $0$ ; loin du contact, la droite n’épouse plus nécessairement la courbe.

Contrôle de synthèse — refroidissement

50 min · 20 points

La température d’un objet placé dans une pièce à $20\,\mathrm{^{\circ}C}$ est modélisée par $T(t)=20+60e^{-0{,}3t},\qquad 0\le t\le6,$ où $t$ est exprimé en heures.

Calcule $T(0)$ et interprète les deux constantes $20$ et $60$ du modèle. 2 pts
Calcule $T'(t)$ et démontre que la température diminue pendant les six heures. 3 pts
On pose $u_n=T(n)-20$ . Montre que $(u_n)$ est géométrique et donne sa raison. 3 pts
À l’aide de $e^{-0{,}3}\simeq0{,}7408$ , donne le pourcentage de diminution horaire de l’écart à la température de la pièce. 2 pts
On donne $T(2{,}31)\simeq50{,}004$ et $T(2{,}32)\simeq49{,}915$ . Encadre au centième d’heure l’instant où la température passe sous $50\,\mathrm{^{\circ}C}$ . 3 pts
Détermine la première heure entière pour laquelle $T(t)<50\,\mathrm{^{\circ}C}$ et vérifie les deux entiers utiles. 2 pts
Détermine la tangente à la courbe en $0$ et utilise-la pour approcher $T(0{,}1)$ . 3 pts
Un élève affirme : « l’objet perd $18\,\mathrm{^{\circ}C}$ chaque heure ». Explique d’où vient $18$ , puis corrige cette interprétation. 2 pts

Voir la correction détailléeExercice E2

Contrôle E2 — refroidissement — Distinguer température, écart à la pièce et rythme instantané.

1. $T(0)=20+60=80\,\mathrm{^{\circ}C}$ . Le nombre $20$ représente la température de la pièce et $60$ l’écart initial entre l’objet et la pièce : $80-20=60$ .

2. La dérivée est $T'(t)=60\times(-0{,}3)e^{-0{,}3t}=-18e^{-0{,}3t}.$ Elle est strictement négative sur $[0;6]$ ; la température diminue donc pendant les six heures.

3. L’écart à la pièce aux heures entières est $u_n=T(n)-20=60e^{-0{,}3n}=60\left(e^{-0{,}3}\right)^n.$ La suite est géométrique, de premier terme $u_0=60$ et de raison $q=e^{-0{,}3}$ .

4. Comme $q\simeq0{,}7408$ , il subsiste environ $74{,}08\,\%$ de l’écart précédent chaque heure. L’écart diminue donc d’environ $25{,}92\,\%$ par heure.

5. La fonction est strictement décroissante. Comme $T(2{,}31)>50\quad\text{et}\quad T(2{,}32)<50,$ l’unique instant $\tau$ où $T(\tau)=50$ vérifie $2{,}31<\tau<2{,}32\,\mathrm{h}$ .

6. On contrôle les deux entiers voisins : $T(2)=20+60e^{-0{,}6}\simeq52{,}93\,\mathrm{^{\circ}C}, \qquad T(3)=20+60e^{-0{,}9}\simeq44{,}39\,\mathrm{^{\circ}C}.$ La première heure entière où la température est sous $50\,\mathrm{^{\circ}C}$ est donc $3\,\mathrm{h}$ .

7. $T(0)=80$ et $T'(0)=-18$ . La tangente en $0$ est $y=80-18t.$ Elle donne $T(0{,}1)\simeq78{,}2\,\mathrm{^{\circ}C}$ . Le modèle donne environ $78{,}23\,\mathrm{^{\circ}C}$ , ce qui confirme la qualité de l’approximation à court terme.

8. Le nombre $18$ est l’opposé de $T'(0)$ : il représente un rythme instantané initial de $18\,\mathrm{^{\circ}C\cdot h^{-1}}$ . Il ne s’agit pas d’une perte répétée identique chaque heure. Par exemple, la baisse est d’environ $15{,}55\,\mathrm{^{\circ}C}$ pendant la première heure, puis $11{,}52\,\mathrm{^{\circ}C}$ pendant la deuxième. Le refroidissement ralentit à mesure que l’objet se rapproche de la température de la pièce.

Vérifier

La température baisse mais reste supérieure à $20\,\mathrm{^{\circ}C}$ : $T(t)=20+$ une quantité strictement positive.

BILAN

Ce que tu dois savoir refaire

Une propriété choisie vaut mieux qu’une formule appliquée au hasard.

Définir	$\exp'=\exp$ , $\exp(0)=1$ ; $e=\exp(1)$ ; $e^x=\exp(x)$ .
Calculer	Produit : additionner les exposants. Quotient : soustraire les exposants. Une somme se factorise si c’est possible.
Comparer	$e^x>0$ ; $e^u=e^v\iff u=v$ ; $e^u<e^v\iff u<v$ .
Dériver	$(e^{ax+b})'=ae^{ax+b}$ ; conserver aussi les règles du produit et du quotient.
Étudier	Factoriser la dérivée, isoler les facteurs positifs, étudier le signe restant, construire les variations et conclure.
Modéliser	$Q_0e^{kt}$ : rapport constant sur des durées égales ; aux instants entiers, suite géométrique de raison $e^k$ .
Approcher	Tangente près du contact ; encadrement numérique d’un seuil ; méthode d’Euler pour construire des valeurs approchées.

Reprendre le bon obstacle

Calculs et règles : exercices 1 à 4. Équations et signes : 5 à 10. Dérivées : 11 à 15. Bornes et tangentes : 16 à 22. Modèles et calcul numérique : 23 à 30. Premières synthèses : 31 et 32. Pour un entraînement complet en plusieurs étapes : problèmes 33 à 36. Termine par l’évaluation 1 pour les automatismes, puis par l’évaluation 2 en conditions de contrôle.

Les quatre confusions à éviter

$e^{-x}$ n’est pas $-e^x$ ; $e^a+e^b$ n’est pas $e^{a+b}$ ; une exponentielle positive n’impose pas qu’une fonction composée croisse ; une dérivée nulle en un point n’impose pas une fonction constante.

Comment avancer dans ce chapitre

Comprendre les mots

Choisir une démarche

Repérer une confusion

Vérifier

Les trois temps de l’entraînement

Le déclic

Trois réflexes à conserver

Factoriser pour lire un signe

Deux façons de décrire une évolution

Diagnostic rapide

Fonction exponentielle

Le nombre e e et la notation e x e^x

Une première tangente

Lire la définition

Les deux propriétés essentielles

Deux signes différents

Comparer sans calculatrice

Règles algébriques

Écrire une seule exponentielle

Une somme ne se regroupe pas de cette façon

Choisir la bonne règle

Injectivité

Mettre les deux membres sous la même forme

Si l’équation est un produit nul

Ce que l’on ne peut pas supprimer

Existence avant calcul

Ordre conservé

Un exposant affine

Un exposant du second degré

Un produit avec une exponentielle

Deux situations différentes

Formule utile

Repérer le coefficient avant de dériver

Positivité n’est pas croissance de toute expression

Trois dérivées

Produit : deux contributions

Quotient : annoncer le domaine

Une autre écriture peut simplifier

Ne pas oublier un terme

Interprétation graphique

Réutiliser la borne

Étudier le produit entier

Vérifier

Une contrainte supplémentaire

Un taux continu n’est pas un pourcentage par période

Retrouver une suite géométrique

Domaine et limites du modèle

Une décroissance

Une dichotomie

Vérifier

Un piège d’arrondi

Calculer à la main

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Vérifier

Reprendre le bon obstacle

Les quatre confusions à éviter

Ressources liées