Lire $f(a)$ et $f(a+h)$

Pour $f(x)=x^2-3x+2$, calculer $f(2)$ signifie remplacer chaque $x$ par $2$ : $f(2)=4-6+2=0$. Calculer $f(2+h)$ demande de remplacer chaque $x$ par tout le nombre $2+h$ : $$\begin{aligned} f(2+h)&=(2+h)^2-3(2+h)+2\\&=4+4h+h^2-6-3h+2=h+h^2. \end{aligned}$$

Une pente se calcule entre deux points

Pour $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\ne x_B$, le coefficient directeur de $(AB)$ est $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$$ L’ordre doit être le même au numérateur et au dénominateur. Entre $A(1;4)$ et $B(3;0)$ : $m=(0-4)/(3-1)=-2$. Pour une avancée horizontale de $1$, la droite descend de $2$.

La droite en pointillés relie $A$ et $B$ : sa pente vaut $3$. La droite orange montre la direction de la courbe au voisinage immédiat de $A$ : nous allons comprendre pourquoi sa pente vaut $2$.

Écrivons $b=a+h$. L’incrément $h$ est le déplacement horizontal, positif ou négatif. Pour $h\ne0$ et lorsque les images sont définies : $$\tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}h.$$

La notation $\lim_{h\to0}$ se lit « limite quand $h$ tend vers zéro ». Ici, on l’utilise de manière intuitive : on cherche la valeur vers laquelle se stabilise le taux. On ne remplace jamais $h$ par $0$ dans une division par $h$.

Un polynôme en un point

Soit $f(x)=2x^2-x+3$. Pour montrer que $f$ est dérivable en $2$, commençons par ses images : $$\begin{aligned} f(2)&=8-2+3=9,\\f(2+h)&=2(2+h)^2-(2+h)+3\\&=8+8h+2h^2-2-h+3=9+7h+2h^2. \end{aligned}$$ Pour $h\ne0$, on en déduit $$\frac{f(2+h)-f(2)}h=\frac{9+7h+2h^2-9}h=\frac{h(7+2h)}h=7+2h.$$ Lorsque $h$ tend vers $0$, le taux tend vers $7$. Ainsi $f'(2)=7$.

Démontrer la dérivée du carré en tout point

Pour $q(x)=x^2$ et un réel $a$, on obtient pour $h\ne0$ : $$\frac{q(a+h)-q(a)}h=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}h=2a+h.$$ Sa limite est $2a$. La fonction carré est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et $q'(a)=2a$ pour tout réel $a$.

Pour $f(x)=1/x$, fixons $a\ne0$. On impose aussi $h\ne0$ et $a+h\ne0$. $$\begin{aligned} \frac{f(a+h)-f(a)}h &=\frac{\frac1{a+h}-\frac1a}{h}\\ &=\frac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}h\\ &=\frac{-h}{a(a+h)}\times\frac1h\\ &=-\frac1{a(a+h)}. \end{aligned}$$ Le numérateur $a-(a+h)$ vaut $-h$ : la parenthèse après le signe moins est essentielle. Diviser par $h$, c’est multiplier par $1/h$. Lorsque $h$ tend vers $0$, le dénominateur tend vers $a^2\ne0$. Donc $$\boxed{f'(a)=-\frac1{a^2}}.$$

Pourquoi préciser les intervalles ?

Le nombre $0$ n’appartient pas au domaine : on ne peut calculer ni $f(0)$ ni une tangente en $0$. La dérivée est négative sur chacun des deux intervalles ; on ne franchit pas la coupure en $0$ dans un tableau de variations.

Pourquoi ? Une droite de pente $m$ passant par $A$ vérifie $y-f(a)=m(x-a)$. Ici, $m=f'(a)$. On obtient la formule en ajoutant $f(a)$ des deux côtés. En remplaçant $x$ par $a$, on retrouve bien $y=f(a)$.

Lire les données dans l’autre sens

Si la tangente en $a=2$ a pour équation $y=-3x+7$, alors $f'(2)=-3$ et $f(2)=-3\times2+7=1$. Sans l’abscisse de contact, l’équation de la droite seule ne donne pas une valeur précise de $f$.

Un angle : la fonction valeur absolue

La fonction $f(x)=|x|$ vaut $x$ pour $x\ge0$ et $-x$ pour $x<0$. En $0$, le taux est $|h|/h$ : il vaut $1$ pour $h>0$ et $-1$ pour $h<0$. Les deux côtés ne donnent pas la même limite. Donc $f$ n’est pas dérivable en $0$.

Une pente qui devient infinie : la racine carrée

La fonction $g(x)=\sqrt{x}$ est définie en $0$. Comme son domaine est $[0;+\infty[$, on approche $0$ avec $h>0$. Son taux vaut $$\frac{\sqrt h-0}{h}=\frac1{\sqrt h}.$$ Quand $h$ se rapproche de $0$ par valeurs positives, ce quotient grandit sans borne : il ne tend pas vers un réel fini. Donc $g$ n’est pas dérivable en $0$ ; sa courbe possède une demi-tangente verticale à l’origine.

Les formules du carré et de l’inverse ont été démontrées. Les autres formules du tableau sont admises ici. Pour $n=0$, on considère la fonction constante égale à $1$, de dérivée nulle.

D’où viennent les deux termes ?

Pour $h\ne0$, on ajoute puis on retranche $u(a)v(a+h)$ au numérateur : $$\begin{aligned} &\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}h\\ &\quad=\frac{u(a+h)-u(a)}h\,v(a+h) +u(a)\frac{v(a+h)-v(a)}h. \end{aligned}$$ Lorsque $h\to0$, les deux taux tendent vers $u'(a)$ et $v'(a)$. De plus $v(a+h)\to v(a)$, propriété des fonctions dérivables admise ici. On obtient $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$.

Choisir parfois une écriture plus simple

Pour $g(x)=(x^2+4)/x$, on peut écrire $g(x)=x+4/x$ si $x\ne0$. D’où $g'(x)=1-4/x^2$. La règle du quotient donnerait $(x^2-4)/x^2$, expression égale à la précédente.

La fonction décroît de $5$ à $-4$, puis croît de $-4$ à $5$. Elle admet un minimum égal à $-4$, atteint pour $x=3$.

Étudions $f(x)=x^3-3x+2$ sur $[-2;2]$.

La forme factorisée sert au signe

La forme développée $3x^2-3$ est facile à obtenir. La forme $3(x-1)(x+1)$ rend les racines visibles. Le calcul n’est terminé que lorsque la forme choisie permet de répondre à la question.

Trois situations à distinguer

1. $f(x)=x^2$ : $f'(0)=0$, et la dérivée passe de négative à positive. Il y a un minimum en $0$.

2. $g(x)=x^3$ : $g'(0)=0$, mais $g'(x)=3x^2$ reste positive de part et d’autre. La fonction continue de croître : aucun extremum en $0$.

3. $h(x)=x$ sur $[0;2]$ : son maximum est atteint au bord $x=2$, alors que $h'(2)=1$. L’hypothèse « à l’intérieur » est indispensable.

Une inégalité issue d’un minimum

Pour $x>0$, posons $g(x)=x+1/x$. Alors $g'(x)=1-1/x^2=(x-1)(x+1)/x^2$. Puisque $x+1>0$ et $x^2>0$, le signe est celui de $x-1$. Ainsi $g$ décroît jusqu’à $1$, puis croît : son minimum vaut $g(1)=2$. On a démontré $$\boxed{x+\frac1x\ge2\quad\text{pour tout }x>0}.$$

Exploiter une symétrie

Sur un domaine symétrique par rapport à $0$, $f$ est paire si $f(-x)=f(x)$ : la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est impaire si $f(-x)=-f(x)$ : symétrie centrale par rapport à l’origine. Pour $x^2+1$, $(-x)^2+1=x^2+1$ : parité. Pour $x^3-x$, $(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)$ : imparité. Une symétrie peut réduire les tracés, mais se vérifie algébriquement.

Un atelier vend $q$ objets par semaine, avec $q$ entier entre $0$ et $80$. Son coût est modélisé par $C(q)=0{,}5q^2+10q+200$ euros ; le prix de vente est $50$ euros par objet. Pour le calcul, on prolonge le modèle aux réels de $[0;80]$.  

Relier dérivée et contexte

$C'(q)$ exprime un coût par objet dans le modèle continu ; il peut approximer le coût supplémentaire d’un objet. Ce n’est pas exactement $C(q+1)-C(q)$ en général. Les unités aident à distinguer coût total et coût marginal.

Calculer une liste de pentes de sécantes

def f(x):
    return x*x + 2*x

a = 1
pas = [0.1, 0.01, 0.001, -0.001]
pentes = [(f(a+h)-f(a))/h for h in pas]
print(pentes)

Mathématiquement, le taux vaut $4+h$ : on attend $4{,}1$, $4{,}01$, $4{,}001$ et $3{,}999$, à l’arrondi informatique près. La liste suggère $f'(1)=4$ ; le taux simplifié le démontre.