1. Développer un carré : le terme du milieu compte

Pour tous réels $u$ et $v$, $$(u+v)^2=u^2+2uv+v^2,\qquad (u-v)^2=u^2-2uv+v^2.$$ Ainsi $(x-3)^2=x^2-6x+9$, et non $x^2+9$. Le terme $-6x$ provient de deux produits : $x\times(-3)$ et $(-3)\times x$.

2. Factoriser : transformer une somme en produit

$$3x^2-12x=3x(x-4),\qquad x^2-25=(x-5)(x+5).$$ Dans la première égalité, $3x$ est commun aux deux termes. Dans la seconde, on reconnaît $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$.

3. Résoudre un produit nul et une équation de carré

Un produit de réels est nul si et seulement si au moins un facteur est nul : $$(2x-1)(x+4)=0\iff 2x-1=0\ \text{ou}\ x+4=0.$$ Les solutions sont donc $\frac12$ et $-4$. Pour un carré : $$x^2=9\iff x=3\ \text{ou}\ x=-3.$$ Un carré réel est toujours positif ou nul : $x^2=-9$ n’a aucune solution réelle.

4. Remplacer un nombre négatif avec des parenthèses

Pour $f(x)=2x^2-3x+1$, on obtient $$f(-2)=2\times(-2)^2-3\times(-2)+1=8+6+1=15.$$ Dans $(-2)^2$, c’est tout le nombre $-2$ qui est élevé au carré.

Pour $f(x)=-2x^2+5x-7$, on lit $a=-2$, $b=5$, $c=-7$. Le signe fait partie du coefficient. Pour $g(x)=4x^2-9$, on a $a=4$, $b=0$, $c=-9$ : le terme en $x$ peut manquer.

Une expression peut cacher sa nature

La fonction $h(x)=(x+1)^2-x^2$ semble contenir du second degré. Pourtant, $$h(x)=x^2+2x+1-x^2=2x+1.$$ C’est une fonction affine. On classe une expression après simplification, pas à son apparence.

Considérons une même fonction : $$\,\mathrm{derbrace}{x^2-6x+5}_{\text{développée}}\;=\;\,\mathrm{derbrace}{(x-1)(x-5)}_{\text{factorisée}}\;=\;\,\mathrm{derbrace}{(x-3)^2-4}_{\text{canonique}}.$$ Ces expressions sont égales pour tout réel $x$. Vérifions les deux transformations : $$\begin{aligned} (x-1)(x-5)&=x^2-5x-x+5=x^2-6x+5,\\ (x-3)^2-4&=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5. \end{aligned}$$

Lire la forme canonique

Dans $-2(x+1)^2+8$, on doit lire $(x-(-1))^2$ : le sommet est $S(-1;8)$, et non $S(1;8)$.

Et si le coefficient dominant est négatif ?

$$-x^2+4x+1=-\big[x^2-4x\big]+1=-\big[(x-2)^2-4\big]+1=-(x-2)^2+5.$$ Le signe moins devant le crochet change aussi le signe de $-4$.

Pourquoi ? Le carré $(x-\alpha)^2$ est positif ou nul, et vaut $0$ uniquement en $\alpha$. Multiplier par un nombre négatif renverse l’inégalité. Ajouter $\beta$ donne les deux conclusions.

Comprendre les variations sans dériver

Quand $x$ se rapproche de $\alpha$, sa distance à $\alpha$ diminue : $(x-\alpha)^2$ diminue. Quand $x$ s’en éloigne, ce carré augmente. Ainsi :

Dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le signe de $a$ fixe le sens d’ouverture. Sa valeur absolue $|a|$ règle le resserrement autour de l’axe $x=\alpha$.

Ces trois courbes ont pour équations $y=a(x-1)^2-2$. Pour atteindre le même niveau $y=2$, on doit monter de 4 au-dessus du sommet : $$a(x-1)^2=4\quad\Longrightarrow\quad |x-1|=\sqrt{\frac4a}\qquad(a>0).$$

Si l’on remplace $a$ par $-a$, la courbe se réfléchit par rapport à la droite $y=\beta$ : même resserrement, sens d’ouverture opposé. Ainsi $a=-4$ donne une parabole plus resserrée que $a=-1$, car $|-4|>|-1|$.

Reprenons $f(x)=(x-3)^2-4=(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$.

• Les racines $1$ et $5$ donnent les intersections avec l’axe des abscisses.

• $f(0)=5$ donne l’intersection avec l’axe des ordonnées.

• Le sommet $S(3;-4)$ correspond au minimum ; l’axe est $x=3$.

• Les points d’abscisses $3-h$ et $3+h$ ont la même ordonnée : $f(3-h)=h^2-4=f(3+h)$.

Soit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\ne0$, et son sommet $S(\alpha;\beta)$. Une racine correspond à une intersection avec l’axe horizontal $y=0$.

Ce que dit l’abscisse du sommet

$\alpha$ place l’axe de symétrie ; elle ne décide pas du nombre de racines. Lorsqu’il y en a deux, on les range $x_1<x_2$ et $$x_1<\alpha<x_2,\qquad \alpha=\frac{x_1+x_2}{2}.$$ Elles sont à la même distance du sommet horizontalement. Déplacer la parabole vers la droite ou vers la gauche déplace les racines sans changer leur nombre.

Un exemple avant tout discriminant

Si $a=-2$ et $S(3;8)$, le maximum est positif et les branches descendent : il y a deux racines. La forme $f(x)=-2(x-3)^2+8$ donne $$f(x)=0\iff(x-3)^2=4\iff x=1\ \text{ou}\ x=5.$$ Les racines sont donc $x_1=1$ et $x_2=5$. Si le sommet devient $S(3;-8)$ avec le même $a$, toute la parabole reste sous l’axe : aucune racine réelle.

Un facteur commun

$$3x^2-12x=0\iff3x(x-4)=0\iff x=0\ \text{ou}\ x=4.$$

Une différence de carrés

$$4x^2-9=0\iff(2x-3)(2x+3)=0\iff x=\frac32\ \text{ou}\ x=-\frac32.$$

Un carré déjà isolé

$$\begin{aligned} 2(x-1)^2-18=0&\iff(x-1)^2=9\\ &\iff x-1=3\ \text{ou}\ x-1=-3\\ &\iff x=4\ \text{ou}\ x=-2. \end{aligned}$$ On commence par isoler le carré ; on prend ensuite les deux signes.

Une racine qui se voit

Pour $f(x)=x^2-5x+4$, on remarque $f(1)=1-5+4=0$. Cherchons $k$ tel que $$(x-1)(x-k)=x^2-(k+1)x+k.$$ Le terme constant impose $k=4$, et le coefficient de $x$ devient bien $-5$. Ainsi $f(x)=(x-1)(x-4)$ : les racines sont $1$ et $4$.

Démonstration. Développons sans sauter le terme croisé : $$a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2.$$ Les coefficients des deux écritures sont égaux : $b=-a(x_1+x_2)$ et $c=ax_1x_2$. La division par $a$ est permise car $a\ne0$.

Les signes donnent déjà une information

Pour $x^2+x-6$, le produit cherché est $-6$ : les deux nombres sont de signes opposés. Leur somme est $-1$ : $-3$ et $2$ conviennent. D’où $$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$

Soit $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$. L’identité suivante se vérifie par développement : $$(2ax+b)^2-(b^2-4ac)=4a(ax^2+bx+c).$$ En effet, le membre de gauche vaut $4a^2x^2+4abx+b^2-b^2+4ac$, puis on factorise $4a$.

Trois possibilités, comme pour $X^2=k$

Si $\Delta<0$ : un carré ne peut pas être négatif. Il n’existe aucune solution réelle. Si $\Delta=0$ : $2ax+b=0$, d’où $x=-\frac{b}{2a}$. Il y a une seule solution réelle, appelée racine double. Si $\Delta>0$ : $2ax+b=-\sqrt\Delta$ ou $2ax+b=\sqrt\Delta$. En soustrayant $b$, puis en divisant par $2a$ : $$x=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.$$

Deux racines irrationnelles

Pour $x^2-2x-2=0$, $\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-2)=12$. Or $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3$. Donc $$x_1=\frac{2-2\sqrt3}{2}=1-\sqrt3,\qquad x_2=1+\sqrt3.$$ Les valeurs exactes sont à conserver. Des approximations peuvent servir à les placer sur un axe.

Une seule racine ou aucune

Pour $9x^2-6x+1=0$, $\Delta=36-36=0$, donc $x_0=6/18=1/3$. On reconnaît aussi $(3x-1)^2=0$. Pour $x^2+2x+5=0$, $\Delta=4-20=-16<0$ : aucune solution réelle. La forme $(x+1)^2+4$ montre également que l’expression est strictement positive.

Deux racines distinctes $x_1<x_2$

À gauche de $x_1$, les deux facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$ sont négatifs : leur produit est positif. Entre les racines, ils ont des signes opposés : leur produit est négatif. À droite de $x_2$, ils sont tous deux positifs. Il reste à multiplier par $a$.

Une racine double, ou aucune racine

Si $f(x)=a(x-x_0)^2$, son signe est celui de $a$ partout sauf en $x_0$, où il est nul. Il ne change pas de signe en $x_0$. Si $\Delta<0$, l’identité $4af(x)=(2ax+b)^2-\Delta$ a un membre de droite strictement positif. Donc $af(x)>0$ : $f(x)$ est strictement du signe de $a$ pour tout réel $x$.

Dans ces trois pages, $S(\alpha;\beta)$ désigne le sommet. Les croquis illustrent les cas ; les tableaux donnent les conclusions générales. Deux racines distinctes sont toujours notées $x_1<x_2$.

Ici $\beta=0$ et $f(x)=a(x-\alpha)^2$. Les deux racines sont confondues : $x_1=x_2=\alpha$ ; il n’y a qu’une seule solution réelle distincte.

Ne pas rencontrer l’axe ne signifie pas être toujours négative : c’est le signe de $a$, et donc la position du sommet dans ce cas, qui permet de conclure.

Résoudre 2 x 2 + 3 x ≤ 2 2x^2+3x\le2

1 · Tout ramener dans un membre. On soustrait $2$ des deux côtés :

$$2x^2+3x-2\le0.$$

2 · Étudier le trinôme. Ses racines sont $-2$ et $\frac12$, et son coefficient dominant est positif.

3 · Lire la ligne utile. On veut les valeurs négatives ou nulles :

$$\boxed{S=\left[-2;\frac12\right]}.$$

Comparer deux courbes

Pour savoir quand $x^2$ est au-dessus de $2x+3$, on écrit $$x^2\ge2x+3\iff x^2-2x-3\ge0\iff(x+1)(x-3)\ge0.$$ Le coefficient dominant est positif ; la solution est donc $]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[$. Aux abscisses $-1$ et $3$, les courbes se rencontrent.

Deux racines et un point

Une parabole coupe l’axe des abscisses en $-1$ et $4$ et passe par $A(0;-8)$. Les racines invitent à écrire $$f(x)=a(x+1)(x-4),\qquad a\ne0.$$ Le point $A$ appartient à la courbe : $f(0)=-8$. Ainsi $$-4a=-8\iff a=2.$$ Donc $f(x)=2(x+1)(x-4)$. Les deux racines ne suffisaient pas à fixer $a$ ; le point supplémentaire l’a déterminé.

Un sommet et un point

Le sommet est $S(2;-3)$ et la courbe passe par $B(0;5)$. Le sommet invite à écrire $$g(x)=a(x-2)^2-3.$$ Puis $g(0)=5$ donne $4a-3=5$, donc $a=2$. Ainsi $$g(x)=2(x-2)^2-3.$$

On dispose de $20\,\mathrm{m}$ de bordure pour entourer un rectangle. On cherche l’aire maximale possible.

Le périmètre impose $2x+2L=20$, soit $L=10-x$. Les deux dimensions doivent être positives : $0<x<10$.

$$A(x)=x(10-x)=-x^2+10x.$$ Ici $x$ et $10-x$ sont les mesures des côtés en mètres ; leur produit donne la mesure de l’aire en $\mathrm{m^2}$.

$$A(x)=-\big[(x-5)^2-25\big]=25-(x-5)^2\le25.$$ L’égalité est obtenue pour $x=5$, qui appartient bien au domaine. Alors $L=5$.

Les cinq phrases que tu dois pouvoir expliquer

1. Deux formes d’une fonction sont deux expressions égales pour tout $x$.

2. Un carré positif ou nul explique les extrema et les trois cas du discriminant.

3. Une factorisation garde le coefficient dominant $a$.

4. Avec deux racines distinctes, le signe est celui de $a$ à l’extérieur des racines.

5. Une solution mathématique n’est retenue dans un problème que si elle respecte ses contraintes.

Pour choisir tes premiers exercices

• Les calculs te freinent : commence par 1 à 6, puis 9, 11, 14 et 15.

• Tu sais calculer mais hésites sur la méthode : travaille 4, 8, 10, 16 à 24.

• Tu veux relier les idées : cherche les problèmes 25 à 30 ; termine par 31 et 32 si tu souhaites approfondir.