Sommes de variables aléatoires

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Ce produit 0,3 × 0,4 serait une probabilité de succès simultané, pas l'espérance du nombre total. L'espérance de la somme compte le nombre moyen de réussites, ici compris entre zéro et deux.

2. B — Faux. La variance ne se déduit pas en élevant l'espérance au carré ; on utilise les variances des Bernoulli.

3. C — Vrai. L'indépendance donne V(X) + V(Y) = 0,3 × 0,7 + 0,4 × 0,6 = 0,21 + 0,24.

4. D — Faux. Les deux essais n'ont pas le même paramètre : 0,3 pour X et 0,4 pour Y ; cette loi binomiale ne convient pas.

5. E — Vrai. On applique la linéarité : E(X) + E(Y) = 0,3 + 0,4 = 0,7. L'indépendance n'est même pas nécessaire pour additionner les espérances des deux indicatrices.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Chacun des dés a pour moyenne (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2 ; leur somme vaut 7.

2. B — Vrai. Chaque dé a une variance 35/12 ; l'indépendance permet d'additionner les deux variances, d'où 2 × 35/12 = 35/6.

3. C — Faux. La variance de la somme indépendante est la somme des deux variances égales, pas leur produit. Chaque dé contribue 35/12 ; les ajouter donne 70/12 = 35/6, et non un carré.

4. D — Faux. Le nombre 12 est la valeur maximale de la somme, et non sa moyenne ; l'espérance est 7. Les valeurs extrêmes sont rares, tandis que l'espérance pondère les trente-six couples possibles.

5. E — Faux. Sept est sa moyenne ; les deux dés peuvent aussi produire une somme 2 ou 12, entre autres.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. La variance d'un multiple est V(2X) = 2² V(X) = 4 × (1/4) = 1. Comme S vaut 2X, ses valeurs sont zéro et deux avec la même probabilité 1/2.

2. B — Faux. Avoir la même loi n'est pas être indépendantes ; savoir X détermine ici complètement Y.

3. C — Faux. Cette addition demande l'indépendance, absente puisque Y = X ; la variance effective vaut 1. La covariance est ici positive ; omettre ce terme sous-estime la dispersion de S.

4. D — Faux. Comme X ∈ {0,1} et S = 2X, les seules valeurs possibles sont 0 et 2.

5. E — Vrai. X et Y sont égales, donc S = 2X ; la linéarité donne E(S) = 2 × 1/2 = 1.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. La translation par 3 ne change pas la dispersion, et V(2X) = 2² V(X) = 4 × 5 = 20.

2. B — Faux. On ne met pas au carré E(X) pour une transformation affine ; l'espérance vaut simplement 11.

3. C — Vrai. La linéarité donne E(2X + 3) = 2 × 4 + 3 = 11. La constante 3 déplace toutes les valeurs de Z sans modifier leurs écarts relatifs.

4. D — Faux. La variance d'un multiple emploie le carré de 2, et une constante ajoutée n'ajoute aucune variance. La formule correcte donne V(Z) = 2²V(X) = 4 × 5 = 20.

5. E — Vrai. Ajouter une constante déplace toutes les valeurs sans changer leur dispersion : V(2X + 3) = V(2X) = 2²V(X) = 20.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. L'indépendance autorise la somme des variances positives : 7 × 0,2 × 0,8 = 1,12.

2. B — Vrai. La loi regroupée ou la somme des espérances donne (3 + 4) × 0,2 = 1,4.

3. C — Vrai. Les trois essais de X et les quatre de Y sont indépendants et partagent le même paramètre 0,2 ; leur somme compte sept succès.

4. D — Faux. Les nombres d'essais 3 et 4 s'additionnent en 7, ils ne se multiplient pas. La somme regroupe sept essais de Bernoulli, répartis en trois puis quatre essais.

5. E — Faux. Le paramètre individuel reste 0,2 pour chaque essai ; les nombres de succès s'additionnent. La réunion des essais ne double pas la chance de réussite d'un essai isolé.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. X et Y désignent deux tirages distincts : ces deux issues ordonnées sont différentes, chacune de probabilité 1/9.

2. B — Faux. Il y a trois couples favorables sur neuf, pas six ; il faut énumérer les paires ordonnées. Un tableau à trois lignes et trois colonnes confirme les neuf couples ordonnés possibles.

3. C — Vrai. Les couples favorables sont (0,2), (1,1) et (2,0), soit trois couples parmi neuf : 3/9 = 1/3. Chaque couple a probabilité 1/9 grâce à l'uniformité et à l'indépendance des tirages.

4. D — Vrai. Chaque variable uniforme a pour moyenne (0 + 1 + 2)/3 = 1 ; la linéarité donne E(S) = 1 + 1.

5. E — Faux. La somme possède l'espérance somme 1 + 1 = 2, même si les deux variables sont identiquement distribuées.

Réponse attendue : A

1. A — Vrai. Deux couples sur quatre, (0,1) et (1,0), donnent exactement un succès, donc 2/4 = 1/2. Les deux ordres possibles sont distincts et possèdent chacun probabilité 1/4.

2. B — Faux. Chaque indicatrice a une espérance 1/2 ; la somme a pour espérance 1. La linéarité reste valable même sans indépendance ; elle donne ici 1/2 + 1/2.

3. C — Faux. Les deux variables peuvent valoir 1 simultanément ; leur somme prend alors la valeur 2.

4. D — Faux. Les couples donnant S = 0 et S = 2 sont respectivement (0,0) et (1,1), chacun de probabilité 1/4 par indépendance.

5. E — Faux. Cette valeur ne compte qu'un des deux ordres, alors que (0,1) et (1,0) sont distincts.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Les sommes possibles sont −2, 0 et 2 ; aucun couple de valeurs ±1 ne donne 1.

2. B — Vrai. Chaque variable a moyenne zéro et variance E(X²) = 1 ; l'indépendance donne V(S) = 1 + 1 = 2.

3. C — Faux. Une moyenne nulle n'impose pas une variable constante ; S fluctue entre −2, 0 et 2. Les valeurs −2 et 2 surviennent avec probabilité positive, donc leur dispersion ne disparaît pas.

4. D — Vrai. Les couples (−1,1) et (1,−1) donnent zéro ; chacun pèse 1/4 parmi les quatre couples. L'indépendance rend les quatre couples équiprobables ; deux couples opposés annulent la somme.

5. E — Faux. Les valeurs −1 et 1 se compensent pour chacune : E(X) = E(Y) = 0, donc E(S) = 0.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Le facteur 1/2 est mis au carré pour une variance : il faut diviser la somme des variances par 4.

2. B — Vrai. La linéarité donne E(Z) = [E(X) + E(Y)]/2 = (2 + 4)/2 = 3. La moyenne des deux centres théoriques est 3, indépendamment des variances des mesures.

3. C — Vrai. L'écart type est la racine carrée positive de la variance 5/2, et non la variance elle-même. La variance se calcule d'abord : (1 + 9)/4 = 5/2, puis on prend la racine.

4. D — Vrai. L'indépendance donne V(X + Y) = 1 + 9 = 10 ; le facteur 1/2 au carré conduit à 10/4 = 5/2.

5. E — Faux. Pour la moyenne de deux variables, on additionne les espérances 2 et 4 avant de diviser par 2.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. La variable peut valoir de 0 à 5 ; l'espérance est une moyenne, pas un résultat certain.

2. B — Vrai. Il s'agit de cinq indicatrices indépendantes d'épreuves de Bernoulli de même paramètre 0,2. La somme dénombre le nombre de succès sur cinq essais identiques, définition de cette loi.

3. C — Faux. Cette expression calcule l'espérance ; la variance contient aussi le facteur 1 − p = 0,8.

4. D — Vrai. Chaque variance vaut 0,2 × 0,8 = 0,16 ; l'indépendance permet d'additionner cinq fois cette quantité.

5. E — Vrai. La somme des cinq espérances individuelles 0,2 vaut 5 × 0,2 = 1. Chaque Xᵢ vaut un avec probabilité 0,2, donc son espérance est 0,2.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Par définition Y = −X, donc X + Y = X − X = 0 pour chaque issue.

2. B — Faux. Cette formule exige l'indépendance ; ici Y = −X et les deux valeurs se compensent exactement.

3. C — Faux. X et Y prennent chacun les valeurs −1 et 1 équiprobablement, donc leur espérance est 0 et leur variance E(X²) = E(Y²) = 1.

4. D — Vrai. Une variable constante égale à zéro n'a aucune dispersion autour de sa moyenne. Les deux valeurs possibles de S coïncident en zéro, sans fluctuation d'une issue à l'autre.

5. E — Faux. Une même variance n'implique pas l'indépendance : connaître X donne immédiatement la valeur opposée Y. Cette relation déterministe est une dépendance maximale, malgré des dispersions individuelles identiques.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Il faut X = 0 et Y = 0 ; l'indépendance donne 0,8 × 0,5 = 0,4. Le seul couple donnant zéro est (0 ; 0), et ses deux événements sont indépendants.

2. B — Vrai. E(X) = 1 × 0,2 = 0,2 et E(Y) = 2 × 0,5 = 1 ; leur somme vaut 1,2.

3. C — Faux. Les contributions valent 1 et 2 avec des paramètres différents ; S peut même valoir 3, valeur impossible pour B(2 ; 0,2).

4. D — Vrai. Il faut simultanément X = 1 et Y = 2 ; la probabilité produit vaut 0,2 × 0,5 = 0,1.

5. E — Faux. La somme 1 demande X = 1, Y = 0, de probabilité 0,2 × 0,5 = 0,1. Le couple (1 ; 0) est unique ; on ne peut pas lui ajouter le cas (0 ; 2).

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Le minimum 3 exige que les trois dés montrent 1 ; l'indépendance donne (1/6)³ = 1/216.

2. B — Faux. Chaque dé peut montrer 6 ; la somme de trois résultats atteint alors 18.

3. C — Faux. Ce nombre est la variance ; l'écart type est la racine positive √(35/4).

4. D — Vrai. La linéarité donne 3 × (7/2) = 21/2, soit 10,5 points en moyenne. Cette valeur 10,5 n'est jamais une somme réalisée : les résultats des dés sont entiers.

5. E — Vrai. L'indépendance permet d'additionner trois variances 35/12 : 3 × 35/12 = 35/4. La variance d'un dé est 35/12 ; le facteur trois provient des dés indépendants.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. On calcule E(X − Y) = E(X) − E(Y) = 3 − (−1) = 4. Soustraire une moyenne négative revient à ajouter sa valeur absolue, ici un point.

2. B — Vrai. La linéarité donne E(X + Y) = 3 + (−1) = 2. Les signes des deux moyennes comptent : ajouter −1 à 3 donne 2.

3. C — Vrai. Les variables sont indépendantes ; V(X ± Y) = V(X) + (±1)²V(Y) = 4 + 9 = 13.

4. D — Faux. Une variance ne peut être négative ; le coefficient −1 est mis au carré et apporte +9.

5. E — Faux. Le signe moins devant Y change son espérance de −1 en +1, ce qui donne 4 et non 2.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Ce nombre est l'espérance ; la variance totale comporte les facteurs pᵢ(1 − pᵢ) et vaut 0,95.

2. B — Vrai. L'indépendance donne la somme 0,09 + 0,16 + 0,21 + 0,24 + 0,25 = 0,95. Chaque terme pᵢ(1 − pᵢ) utilise son propre paramètre, puis l'indépendance autorise l'addition.

3. C — Vrai. La linéarité donne 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 = 1,5. Le calcul reste valable même avec des paramètres différents, car l'espérance est toujours linéaire.

4. D — Vrai. Chaque indicatrice Xᵢ vaut 0 ou 1 ; la somme de cinq telles valeurs est un entier compris entre zéro et cinq, même avec des probabilités de réussite différentes.

5. E — Vrai. Les cinq essais n'ont pas un paramètre commun : les valeurs vont de 0,1 à 0,5.