Sinus et cosinus

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. La valeur 1/2 est le cosinus de π/3 ; le sinus vaut √3/2. Les deux coordonnées remarquables sont différentes ; il faut lire l'ordonnée du point, pas son abscisse.

2. B — Vrai. Sur le cercle unité, l'abscisse du point d'angle π/3 est 1/2 ; cet angle est dans le premier quadrant.

3. C — Faux. On obtient 3/4 + 1/4 = 1, conformément à l'équation du cercle unité. La somme des carrés des coordonnées d'un point du cercle unité doit toujours valoir 1.

4. D — Vrai. L'ordonnée est positive et la valeur remarquable du sinus de 60° est √3/2. Le point d'angle π/3 a donc pour coordonnées (1/2 ; √3/2) sur le cercle unité.

5. E — Faux. L'angle π/3 se trouve dans le premier quadrant, où les deux coordonnées du cercle unité sont positives.

Réponse attendue : B

1. A — Faux. Le sinus change de signe, mais le cosinus ne change pas ; les parités des deux fonctions diffèrent.

2. B — Vrai. Par imparité, sin(−θ) = −sin θ. Or sin(π/6) = 1/2, donc la valeur demandée est −1/2. La réflexion par rapport à l'axe horizontal conserve l'abscisse et rend l'ordonnée opposée.

3. C — Faux. Le cosinus est pair et garde le même signe aux angles opposés ; sa valeur est positive ici.

4. D — Faux. Le cosinus est pair, donc cos(−π/6) = cos(π/6) = √3/2. La valeur √2/2 correspond à un angle de π/4.

5. E — Faux. L'égalité aurait lieu seulement si le sinus était nul ; ici les deux valeurs sont −1/2 et +1/2.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. En retirant 2π, on obtient π/6, angle du premier quadrant, où les deux coordonnées sont positives.

2. B — Vrai. La périodicité de cosinus donne cos(13π/6) = cos(π/6) = √3/2. On retire exactement 2π = 12π/6 ; l'angle restant π/6 est dans le premier quadrant.

3. C — Vrai. Comme 13π/6 − 2π = π/6, le sinus prend la même valeur qu'en π/6, soit 1/2. La réduction conserve donc l'ordonnée positive du point du premier quadrant, égale à 1/2.

4. D — Faux. Une période complète ramène au même point du cercle ; le sinus reste +1/2. Le signe négatif correspondrait au point réfléchi sous l'axe horizontal, qui n'est pas obtenu ici.

5. E — Faux. Leur différence est 12π/6 = 2π ; c'est une période complète et non une demi-période. Une différence de 2π ramène au même point, tandis que π donnerait le point opposé.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. La valeur remarquable sin(π/6) = 1/2 et π/6 appartient au segment annoncé. Il faut toutefois chercher aussi dans le deuxième quadrant, car le sinus y reste positif.

2. B — Faux. L'angle 7π/6 est dans le troisième quadrant ; son sinus vaut −1/2. La réflexion après un demi-tour place le point sous l'axe horizontal, contrairement au sinus demandé positif.

3. C — Vrai. Dans le deuxième quadrant, sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2 ; 5π/6 appartient aussi au segment. Le symétrique de π/6 par rapport à l'axe vertical conserve précisément cette ordonnée positive.

4. D — Faux. À x = π/2, sin(x) = 1, et non 1/2. Les solutions de l'intervalle sont π/6 et 5π/6.

5. E — Faux. Cet angle négatif se trouve hors de l'intervalle demandé, et son sinus vaut −1/2. Vérifier l'appartenance à l'intervalle précède le test trigonométrique : ici les deux échouent.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. En troisième quadrant, l'abscisse reste négative et sa valeur remarquable est −√2/2. Un contrôle direct donne cos(π + π/4) = −cos(π/4) = −√2/2.

2. B — Faux. En quatrième quadrant, cos(7π/4) = +√2/2 ; l'ordonnée seule y est négative. Cet angle possède la même abscisse positive que π/4, par symétrie autour de l'axe horizontal.

3. C — Faux. Deux angles, 3π/4 et 5π/4, donnent le cosinus négatif demandé dans [0 ; 2π]. Les deux points appartiennent respectivement aux quadrants II et III, où l'abscisse est négative.

4. D — Vrai. Le point de deuxième quadrant d'angle 3π/4 a pour abscisse −√2/2. L'angle de référence π/4 donne un module √2/2 ; le quadrant II fixe le signe négatif.

5. E — Faux. En premier quadrant, cos(π/4) = +√2/2 ; son signe n'est pas celui recherché. Pour obtenir le signe moins, il faut passer au quadrant II ou au quadrant III.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Dans le deuxième quadrant, le sinus est positif ; la racine positive de 16/25 vaut 4/5. On choisit le signe de la racine seulement après avoir lu la position du point sur le cercle.

2. B — Vrai. Le point du cercle unité est à gauche de l'axe vertical et au-dessus de l'axe horizontal : son abscisse est négative et son ordonnée positive.

3. C — Faux. La valeur absolue 4/5 est correcte, mais le quadrant II impose une ordonnée positive. Ce signe négatif décrirait le quadrant III, et non le quadrant II indiqué dans l'énoncé.

4. D — Faux. La relation correcte porte sur les carrés des coordonnées et non sur leur somme ; 8/5 dépasse même 1.

5. E — Vrai. Le cosinus au carré vaut 9/25 ; l'identité fondamentale donne sin² θ = 1 − 9/25 = 16/25.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. On a α + β = π/2 ; le point correspondant sur le cercle a une abscisse nulle.

2. B — Faux. La formule correcte est cos α cos β − sin α sin β ; ici elle donne zéro.

3. C — Faux. Avec un dénominateur commun, π/6 + 2π/6 = 3π/6 = π/2. Les fractions d'angle s'additionnent par leurs numérateurs une fois le dénominateur commun choisi.

4. D — Faux. Le sinus d'une somme n'est pas la somme des sinus ; ici cette dernière vaudrait (1 + √3)/2.

5. E — Vrai. La somme des angles vaut π/2, dont le sinus est 1. La formule d'addition conduit au même résultat.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Le signe moins appartient à la dérivée de cos(x), qui vaut −sin(x), et non à celle de sin(x).

2. B — Faux. La dérivée y vaut 1 et non 0 ; la droite y = x est oblique. Une tangente horizontale demanderait une pente nulle ; or cos(0) = 1.

3. C — Vrai. La courbe passe par (0 ; 0) et la pente y vaut 1 ; y = 0 + 1(x − 0) = x.

4. D — Faux. Le point d'angle zéro du cercle unité est (1 ; 0) ; son ordonnée sinus vaut zéro. Le sinus est l'ordonnée du point image, tandis que son abscisse est le cosinus.

5. E — Vrai. La dérivée vaut cos(x). Au point zéro, cos(0) = 1, ce qui donne la pente de la tangente.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Ajouter 1 aux deux membres puis diviser par 2, nombre non nul, donne la relation trigonométrique annoncée.

2. B — Faux. L'inconnue est l'angle dont le sinus vaut 1/2 ; on ne peut confondre une image avec son antécédent.

3. C — Vrai. Sur un tour complet, le sinus vaut 1/2 en premier et deuxième quadrants aux angles π/6 et π − π/6.

4. D — Faux. L'égalité 2sin(x) − 1 = 0 donne 2sin(x) = 1 et donc le signe positif 1/2. La division par 2 ne change pas le signe positif du second membre 1.

5. E — Vrai. Les deux valeurs précédentes sont distinctes ; ni 0 ni 2π n'ont un sinus égal à 1/2. Les angles π/6 et 5π/6 épuisent les points du cercle d'ordonnée 1/2 dans un tour.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. La dérivée est l'opposé de sin(x) ; elle est négative sur l'intérieur de l'intervalle. Dans l'intérieur ]0 ; π[, sin(x) > 0, donc −sin(x) < 0 : le sens annoncé est inversé.

2. B — Faux. La dérivation du cosinus comporte un signe moins : f′(x) = −sin(x), ce qui commande la décroissance.

3. C — Faux. On a cos(π/2) = 0, mais cos continue à décroître jusqu'à cos(π) = −1, véritable minimum sur [0 ; π].

4. D — Vrai. Sa dérivée −sin(x) est strictement négative à l'intérieur ; les valeurs aux bornes sont 1 puis −1.

5. E — Vrai. La décroissance sur le segment place la plus grande valeur à gauche, et cos(0) = 1.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. L'angle du cosinus est 2x ; oublier ce facteur change les solutions de l'équation. La variable cherchée est x ; on résout d'abord pour 2x, puis on divise les angles obtenus par deux.

2. B — Vrai. Le changement de variable y = 2x parcourt un tour complet, contenant exactement les deux zéros indiqués. Les deux zéros de cosinus sur [0 ; 2π] donnent, après division par deux, π/4 et 3π/4.

3. C — Vrai. En doublant l'angle, 2x = π/2, où le cosinus vaut zéro ; π/4 est dans le segment.

4. D — Vrai. Le double vaut 3π/2, deuxième zéro du cosinus sur [0 ; 2π]. L'angle proposé reste dans [0 ; π], et la substitution dans cos(2x) vérifie l'équation.

5. E — Faux. Son double vaut π et cos(π) = −1, ce qui ne satisfait pas l'équation. Le test doit être effectué dans l'expression cos(2x), pas dans cos(x) seul.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. La rotation de 2π correspond à un tour complet ; elle ramène au même point et à la même ordonnée.

2. B — Faux. Ajouter π correspond à un demi-tour, pas une période entière ; le sinus change de signe sauf s'il est nul.

3. C — Faux. La coordonnée horizontale est elle aussi opposée après le demi-tour ; l'égalité générale demande 2π.

4. D — Vrai. Le même demi-tour change aussi l'abscisse du point : le cosinus prend la valeur opposée. Cette relation exprime la coordonnée horizontale du point opposé après une rotation d'un demi-tour.

5. E — Vrai. Le point du cercle d'angle θ + π est diamétralement opposé au point d'angle θ ; son ordonnée change de signe.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Un sinus prend les valeurs de −1 à 1 ; multiplié par √2, son maximum devient √2.

2. B — Vrai. Alors sin(π/4) + cos(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2, et la borne supérieure est atteinte.

3. C — Faux. À l'origine, sin(0) = 0 et cos(0) = 1, donc f(0) = 1. La valeur en zéro suffit à réfuter l'égalité proposée, car une affirmation ponctuelle se contrôle par substitution.

4. D — Vrai. La formule d'addition donne √2[sin x × √2/2 + cos x × √2/2] = sin x + cos x.

5. E — Faux. Sinus et cosinus ne valent jamais simultanément 1 au même angle ; leur somme maximale vaut √2.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. On a sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2 ; leur produit vaut (√2/2)² = 1/2.

2. B — Vrai. Comme sin(2x) ≤ 1, le produit est au plus 1/2 ; cette valeur est atteinte lorsque 2x = π/2 modulo 2π.

3. C — Faux. Ce majorant grossier n'est pas atteint ; les deux facteurs ne peuvent valoir 1 au même angle.

4. D — Vrai. À x = 3π/4, sin(x) = √2/2 et cos(x) = −√2/2 ; leur produit vaut −1/2. L'identité g(x) = sin(2x)/2 confirme ce signe.

5. E — Vrai. En divisant l'identité sin(2x) = 2sin(x)cos(x) par 2, on obtient exactement la formule. L'identité est valable pour chaque x réel, sans restriction à un quadrant ou à un intervalle.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Le décalage vertical vaut 3 m ; l'amplitude est la valeur absolue du coefficient du cosinus, soit 2 m.

2. B — Faux. À t = 12, l'argument vaut 2π et le cosinus revient à 1 ; la hauteur vaut 5 m.

3. C — Vrai. Augmenter t de 12 ajoute 2π à l'argument du cosinus, sans changer H : H(t + 12) = H(t).

4. D — Vrai. L'argument à t = 6 vaut π ; cos(π) = −1, donc H(6) = (3 − 2) m = 1 m.

5. E — Vrai. Le cosinus de zéro vaut 1 ; ainsi H(0) = (3 + 2 × 1) m = 5 m.