Récurrence et suites

Réponse attendue : D

1. A — Faux. La démonstration annoncée commence à n = 1. Une vérification éventuelle au rang 0 ne remplace pas l'initialisation explicitement choisie.

2. B — Faux. L'hypothèse est une donnée temporaire. Il faut encore calculer la somme au rang suivant et établir l'implication.

3. C — Faux. Le calcul annoncé est inexact : 1 × 2/2 vaut 1, comme le membre gauche. La propriété est vraie au rang initial.

4. D — Vrai. On remplace la somme jusqu'à n par n(n + 1)/2, puis on ajoute n + 1 et on factorise : (n + 1)(n + 2)/2.

5. E — Faux. Cette récurrence ne remonte pas au rang zéro : une vérification distincte de P(0) serait nécessaire pour l'inclure dans la conclusion.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. L'encadrement obtenu par récurrence donne uₙ ≥ 2. Ainsi 3uₙ + 4 ≥ 10 > 0, donc la racine existe à chaque étape.

2. B — Vrai. La fonction racine est croissante sur [0 ; +∞[. De 10 ≤ 3uₙ + 4 ≤ 16, on tire √10 ≤ uₙ₊₁ ≤ 4.

3. C — Faux. Au contraire, √10 > 2 puisque 10 > 4. L'encadrement obtenu à l'étape précédente implique bien 2 ≤ uₙ₊₁ ≤ 4.

4. D — Vrai. Le terme initial vaut 2 ; il appartient bien à l'intervalle fermé [2 ; 4]. Il faut vérifier cette base avant toute hérédité.

5. E — Faux. La borne calculable est √(3 × 4 + 4) = 4 ; elle ne donne pas 3. Au rang 1, √10 dépasse déjà 3.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. Le premier terme est (1/2)⁰ et le dernier (1/2)⁴ ; la liste des indices 0, 1, 2, 3, 4 contient cinq termes.

2. B — Vrai. Pour une somme géométrique de raison q ≠ 1 allant de 0 à n, on utilise (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Ici n = 4.

3. C — Faux. Cette expression s'arrête au terme d'indice 3. Le dernier terme présent vaut (1/2)⁴ ; l'exposant du numérateur doit être 5.

4. D — Vrai. En ramenant à 16, on obtient (16 + 8 + 4 + 2 + 1)/16 = 31/16, en accord avec la formule géométrique.

5. E — Vrai. On trouve S = 31/16 et 2 = 32/16 ; l'écart est 1/16. Cette comparaison contrôle la cohérence de la somme finie.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Les indices 0 à 4 inclus correspondent à cinq jours. Oublier le jour 0 entraîne une erreur sur le nombre de termes.

2. B — Faux. La substitution correcte donne u₄ = 3 × 4 + 2 = 14 pièces. Onze est la production du jour 3, car 3 × 3 + 2 = 11.

3. C — Vrai. La différence vaut 3n + 5 − (3n + 2) = 3, indépendamment de n ; la suite est strictement croissante.

4. D — Faux. On calcule uₙ₊₁ − uₙ = [3(n + 1) + 2] − (3n + 2) = 3 : la raison vaut 3.

5. E — Vrai. Les cinq productions sont 2, 5, 8, 11 et 14 pièces. Leur somme vaut 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. La valeur 1 est celle de u₀. La translation définie dans l'énoncé donne v₀ = u₀ + 3 = 4.

2. B — Vrai. La suite v est géométrique, avec vₙ = 4 × 2ⁿ. En revenant à uₙ = vₙ − 3, on obtient la formule.

3. C — Faux. On calcule u₁ = 5, u₂ = 13 et u₃ = 29 ; le nombre 13 correspond au rang 2, pas au rang 3.

4. D — Faux. Le terme ajouté 3 empêche cette conclusion. Par exemple u₀ = 1, u₁ = 5 et u₂ = 13 : les rapports sont différents.

5. E — Vrai. En utilisant la récurrence, vₙ₊₁ = uₙ₊₁ + 3 = 2uₙ + 6 = 2(uₙ + 3) = 2vₙ.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Si la boucle part du rang 0 et incrémente tant que uₙ < 100, elle s'arrête au premier rang satisfaisant uₙ ≥ 100.

2. B — Vrai. Comme 2ⁿ est strictement croissante, tous les termes jusqu'au rang 6 sont inférieurs ou égaux à u₆ = 64 < 100 ; u₇ = 128 convient.

3. C — Vrai. La différence vaut 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ = 2ⁿ et elle est strictement positive pour tout n ≥ 0.

4. D — Faux. Le calcul correct est 2⁶ = 64 ; 128 vaut 2⁷. Le rang 6 n'atteint donc pas le seuil de 100.

5. E — Vrai. On a 2⁶ = 64 < 100 tandis que 2⁷ = 128 ≥ 100. Comme 2ⁿ est croissante, aucun rang antérieur ne convient.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Au rang 1, le numérateur est 3 − 1 = 2 et le dénominateur 1 + 4 = 5 ; le quotient vaut donc 2/5.

2. B — Faux. Au rang 2, le dénominateur vaut 2² + 4 = 8 > 0. La suite est même définie pour tous les entiers n.

3. C — Faux. Le numérateur tend lui aussi vers +∞ au même ordre n². Une forme ∞/∞ demande une transformation avant de conclure.

4. D — Vrai. Puisque n ≠ 0, la division des deux membres de la fraction par n² donne 3 − 1/n au numérateur et 1 + 4/n² au dénominateur.

5. E — Vrai. Les termes 1/n et 4/n² tendent vers zéro ; le quotient tend donc vers (3 − 0)/(1 + 0) = 3.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. La convergence du numérateur n'est pas nécessaire : son bornage par 1 suffit ici, car 1/n tend vers zéro.

2. B — Vrai. Les deux bornes −1/n et 1/n convergent vers 0. Le théorème des gendarmes donne donc la limite 0 pour uₙ.

3. C — Vrai. La valeur absolue satisfait |sin(n)| ≤ 1 ; comme n > 0, on en déduit |sin(n)/n| ≤ 1/n.

4. D — Vrai. L'inégalité −1 ≤ sin(n) ≤ 1 peut être divisée par n, strictement positif ; le sens des inégalités ne change pas.

5. E — Faux. Le dénominateur vaut alors 1, qui est non nul. Le premier terme sin(1) est parfaitement défini en radians.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Avec uₙ = 2 − 2(1/2)ⁿ, la puissance positive décroît vers 0 ; soustraire cette quantité donne une suite croissante de limite 2.

2. B — Vrai. La moyenne (uₙ + 2)/2 est comprise entre 1 et 2 sous cette hypothèse ; l'intervalle [0 ; 2[ est stable.

3. C — Vrai. On calcule 2 − (uₙ + 2)/2 = (2 − uₙ)/2. La distance au point fixe 2 est donc divisée par 2.

4. D — Vrai. Cette équation désigne le point fixe 2 ; la formule uₙ = 2 − 2(1/2)ⁿ fournit ici la preuve supplémentaire que uₙ tend vers 2.

5. E — Faux. Au rang 0, la formule proposée donnerait 1 et non u₀ = 0. La formule correcte est uₙ = 2 − 2(1/2)ⁿ.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Les bases couvrent les rangs 0 et 1 ; l'implication à partir de deux rangs consécutifs propage l'inégalité à tous les suivants.

2. B — Faux. Pour établir le terme a₂ à partir de la relation, il faut connaître a₀ et a₁ ; P(1) doit aussi être initialisée.

3. C — Faux. On a a₁ = 1 et 2¹ = 2 ; l'inégalité a₁ ≤ 2¹ est donc vraie. Les bases P(0) et P(1) peuvent être établies.

4. D — Vrai. La relation donne aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ. Les majorants s'additionnent en 3 × 2ⁿ, inférieur à 4 × 2ⁿ.

5. E — Faux. Les termes initiaux sont 0, 1 ; puis a₂ = 1, a₃ = 2 et a₄ = 3. La valeur 5 correspond à a₅.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Le critère de convergence vers zéro est |q| < 1. Ici |−2| = 2 > 1, donc le module des termes grandit.

2. B — Vrai. La valeur absolue supprime l'alternance des signes. Comme 2 > 1, la suite géométrique positive diverge vers +∞.

3. C — Faux. Les termes d'indice impair sont négatifs et tendent en valeur absolue vers l'infini ; la définition d'une limite +∞ échoue.

4. D — Vrai. Le produit 3 × (−2) vaut −6 et 3 × (−2)² vaut 12 ; le signe change à chaque rang.

5. E — Vrai. Pour n entier, u₂ₙ = 3(−2)²ⁿ = 3 × 4ⁿ ; sa raison 4 est supérieure à 1.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. En élevant au carré, ℓ² − ℓ − 2 = (ℓ − 2)(ℓ + 1) = 0 ; ℓ ≥ 0 élimine −1.

2. B — Faux. La valeur −1 est racine du polynôme, mais elle est négative et ne satisfait pas l'équation initiale −1 = √1.

3. C — Vrai. Chaque terme de la suite est une racine carrée non négative, et la limite d'une suite de réels positifs ne peut être négative.

4. D — Vrai. L'équation fournit un candidat sous l'hypothèse de convergence. Il faut montrer séparément que la suite est convergente, par exemple en étudiant croissance et majoration.

5. E — Vrai. Une suite convergente et sa suite décalée ont la même limite ; la racine est continue là où ℓ + 2 est positif.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. La formule Σ de 0 à n donne [1 − (3/4)ⁿ⁺¹]/(1 − 3/4), soit quatre fois le crochet.

2. B — Vrai. Les quatre termes sont 1, 3/4, 9/16 et 27/64. Au dénominateur 64, la somme est (64 + 48 + 36 + 27)/64 = 175/64.

3. C — Faux. L'indice commence à 0 et finit à n inclus ; il y a donc n + 1 termes. Au rang 3, on en compte quatre.

4. D — Faux. Le nombre 4 est la limite de la somme des termes jusqu'à l'infini ; la somme finie de quatre termes vaut seulement 175/64.

5. E — Vrai. On ajoute à chaque étape un terme (3/4)ⁿ⁺¹ positif. Comme (3/4)ⁿ⁺¹ → 0, la formule donne la limite 4.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Le calcul de 2⁰ vaut 1. Cette égalité vérifie l'inégalité précisément au premier rang annoncé, n = 0.

2. B — Faux. Une multiplication par un nombre négatif inverse le sens d'une inégalité. Ici la bonne étape emploie le facteur positif 2.

3. C — Vrai. En effet 2² = 4 et n + 1 = 3. La différence vaut 1, donc l'égalité ne se maintient pas.

4. D — Vrai. On multiplie par 2 > 0 ; puis 2n + 2 − (n + 2) = n ≥ 0 pour tout n naturel.

5. E — Faux. Elle vaut aussi au rang 1 : 2¹ = 2 et 1 + 1 = 2. Une égalité n'a pas été exclue par la récurrence.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Le terme (−1)ⁿ demeure oscillant. Les limites des sous-suites paire et impaire sont respectivement 1 et −1.

2. B — Vrai. Une suite convergente transmettrait sa limite à chacune de ses sous-suites. Or les limites 1 et −1 diffèrent : la suite entière diverge.

3. C — Vrai. Pour un rang impair, (−1)²ᵏ⁺¹ = −1 ; ainsi u₂ₖ₊₁ = −1 + 1/(2k + 1), de limite −1.

4. D — Vrai. On a u₂ₖ = 1 + 1/(2k). Le deuxième terme tend vers 0, donc la sous-suite paire tend vers 1.

5. E — Vrai. Pour n ≥ 1, |(−1)ⁿ| = 1 et 0 < 1/n ≤ 1, donc |uₙ| ≤ 2. Le bornage n'implique pas la convergence.