Terminale · Mathématiques

Récurrence et suites

Chapitre 1

15 questions originales à réponses multiples pour vérifier les notions, les méthodes et les points de vigilance du chapitre.

Lis la situation de chaque question, prends une feuille et un stylo pour les calculs, puis sélectionne toutes les propositions exactes. Une, deux, trois ou quatre réponses peuvent être justes ; ouvre ensuite la correction détaillée.

Comment répondre ?

Prévois une feuille et un stylo pour poser tes calculs et rédiger tes étapes. Chaque QCM propose cinq affirmations. Une ou plusieurs réponses peuvent être exactes. Coche-les, vérifie, puis ouvre la correction pour comprendre chaque proposition. Tu obtiens un point seulement si tu coches toutes les bonnes réponses, sans cocher de réponse fausse.

0 question vérifiée sur 15

Question 1

Somme des premiers entiers

Pour n entier naturel, on veut démontrer par récurrence P(n) : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2, en commençant à n = 1. Quelles étapes sont correctes ?

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Réponse attendue : D

  1. A — Faux. La démonstration annoncée commence à n = 1. Une vérification éventuelle au rang 0 ne remplace pas l'initialisation explicitement choisie.

  2. B — Faux. L'hypothèse est une donnée temporaire. Il faut encore calculer la somme au rang suivant et établir l'implication.

  3. C — Faux. Le calcul annoncé est inexact : 1 × 2/2 vaut 1, comme le membre gauche. La propriété est vraie au rang initial.

  4. D — Vrai. On remplace la somme jusqu'à n par n(n + 1)/2, puis on ajoute n + 1 et on factorise : (n + 1)(n + 2)/2.

  5. E — Faux. Cette récurrence ne remonte pas au rang zéro : une vérification distincte de P(0) serait nécessaire pour l'inclure dans la conclusion.

Méthode à retenir. Vérifie d'abord P(1), puis utilise précisément P(n) dans le calcul au rang suivant.

Question 2

Encadrer une suite définie par une racine

On pose u₀ = 2 et uₙ₊₁ = √(3uₙ + 4). On cherche à établir 2 ≤ uₙ ≤ 4. Cocher les affirmations exactes.

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Réponse attendue : A, B, D

  1. A — Vrai. L'encadrement obtenu par récurrence donne uₙ ≥ 2. Ainsi 3uₙ + 4 ≥ 10 > 0, donc la racine existe à chaque étape.

  2. B — Vrai. La fonction racine est croissante sur [0 ; +∞[. De 10 ≤ 3uₙ + 4 ≤ 16, on tire √10 ≤ uₙ₊₁ ≤ 4.

  3. C — Faux. Au contraire, √10 > 2 puisque 10 > 4. L'encadrement obtenu à l'étape précédente implique bien 2 ≤ uₙ₊₁ ≤ 4.

  4. D — Vrai. Le terme initial vaut 2 ; il appartient bien à l'intervalle fermé [2 ; 4]. Il faut vérifier cette base avant toute hérédité.

  5. E — Faux. La borne calculable est √(3 × 4 + 4) = 4 ; elle ne donne pas 3. Au rang 1, √10 dépasse déjà 3.

Méthode à retenir. Contrôle le domaine, puis montre que l'intervalle [2 ; 4] est stable par x ↦ √(3x + 4).

Question 3

Somme géométrique finie

Calculer S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16. Plusieurs propositions peuvent décrire correctement ce calcul.

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Réponse attendue : A, B, D, E

  1. A — Vrai. Le premier terme est (1/2)⁰ et le dernier (1/2)⁴ ; la liste des indices 0, 1, 2, 3, 4 contient cinq termes.

  2. B — Vrai. Pour une somme géométrique de raison q ≠ 1 allant de 0 à n, on utilise (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Ici n = 4.

  3. C — Faux. Cette expression s'arrête au terme d'indice 3. Le dernier terme présent vaut (1/2)⁴ ; l'exposant du numérateur doit être 5.

  4. D — Vrai. En ramenant à 16, on obtient (16 + 8 + 4 + 2 + 1)/16 = 31/16, en accord avec la formule géométrique.

  5. E — Vrai. On trouve S = 31/16 et 2 = 32/16 ; l'écart est 1/16. Cette comparaison contrôle la cohérence de la somme finie.

Méthode à retenir. Compte les termes puis multiplie la somme par sa raison pour faire apparaître une différence simple.

Question 4

Suite arithmétique et somme

Un atelier produit uₙ = 3n + 2 pièces au jour n pour chaque entier n ≥ 0. On examine en particulier les jours numérotés de 0 à 4. Que peut-on affirmer ?

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Réponse attendue : C, E

  1. A — Faux. Les indices 0 à 4 inclus correspondent à cinq jours. Oublier le jour 0 entraîne une erreur sur le nombre de termes.

  2. B — Faux. La substitution correcte donne u₄ = 3 × 4 + 2 = 14 pièces. Onze est la production du jour 3, car 3 × 3 + 2 = 11.

  3. C — Vrai. La différence vaut 3n + 5 − (3n + 2) = 3, indépendamment de n ; la suite est strictement croissante.

  4. D — Faux. On calcule uₙ₊₁ − uₙ = [3(n + 1) + 2] − (3n + 2) = 3 : la raison vaut 3.

  5. E — Vrai. Les cinq productions sont 2, 5, 8, 11 et 14 pièces. Leur somme vaut 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40.

Méthode à retenir. Distingue le nombre produit un jour donné et le total cumulé de cinq jours.

Question 5

Transformer une récurrence affine

Soit u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3. On définit vₙ = uₙ + 3. Quelles conclusions sont justifiées ?

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Réponse attendue : B, E

  1. A — Faux. La valeur 1 est celle de u₀. La translation définie dans l'énoncé donne v₀ = u₀ + 3 = 4.

  2. B — Vrai. La suite v est géométrique, avec vₙ = 4 × 2ⁿ. En revenant à uₙ = vₙ − 3, on obtient la formule.

  3. C — Faux. On calcule u₁ = 5, u₂ = 13 et u₃ = 29 ; le nombre 13 correspond au rang 2, pas au rang 3.

  4. D — Faux. Le terme ajouté 3 empêche cette conclusion. Par exemple u₀ = 1, u₁ = 5 et u₂ = 13 : les rapports sont différents.

  5. E — Vrai. En utilisant la récurrence, vₙ₊₁ = uₙ₊₁ + 3 = 2uₙ + 6 = 2(uₙ + 3) = 2vₙ.

Méthode à retenir. Cherche le point fixe de la récurrence affine et translate la suite pour obtenir une suite géométrique.

Question 6

Premier dépassement d'un seuil

Une population suit uₙ = 2ⁿ individus au rang n ≥ 0. On cherche le premier rang où uₙ ≥ 100. Quelles propositions sont exactes ?

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Réponse attendue : A, B, C, E

  1. A — Vrai. Si la boucle part du rang 0 et incrémente tant que uₙ < 100, elle s'arrête au premier rang satisfaisant uₙ ≥ 100.

  2. B — Vrai. Comme 2ⁿ est strictement croissante, tous les termes jusqu'au rang 6 sont inférieurs ou égaux à u₆ = 64 < 100 ; u₇ = 128 convient.

  3. C — Vrai. La différence vaut 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ = 2ⁿ et elle est strictement positive pour tout n ≥ 0.

  4. D — Faux. Le calcul correct est 2⁶ = 64 ; 128 vaut 2⁷. Le rang 6 n'atteint donc pas le seuil de 100.

  5. E — Vrai. On a 2⁶ = 64 < 100 tandis que 2⁷ = 128 ≥ 100. Comme 2ⁿ est croissante, aucun rang antérieur ne convient.

Méthode à retenir. Pour prouver qu'un rang est le premier, contrôle ce rang et celui qui le précède.

Question 7

Limite d'un quotient

On considère uₙ = (3n² − n)/(n² + 4) pour n ≥ 1. Cocher les conclusions rigoureuses.

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Réponse attendue : D, E

  1. A — Faux. Au rang 1, le numérateur est 3 − 1 = 2 et le dénominateur 1 + 4 = 5 ; le quotient vaut donc 2/5.

  2. B — Faux. Au rang 2, le dénominateur vaut 2² + 4 = 8 > 0. La suite est même définie pour tous les entiers n.

  3. C — Faux. Le numérateur tend lui aussi vers +∞ au même ordre n². Une forme ∞/∞ demande une transformation avant de conclure.

  4. D — Vrai. Puisque n ≠ 0, la division des deux membres de la fraction par n² donne 3 − 1/n au numérateur et 1 + 4/n² au dénominateur.

  5. E — Vrai. Les termes 1/n et 4/n² tendent vers zéro ; le quotient tend donc vers (3 − 0)/(1 + 0) = 3.

Méthode à retenir. Divise numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de n présente.

Question 8

Encadrement d'un sinus

Pour n ≥ 1, on pose uₙ = sin(n)/n, l'angle n étant en radians. Identifier les affirmations fondées.

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Réponse attendue : B, C, D

  1. A — Faux. La convergence du numérateur n'est pas nécessaire : son bornage par 1 suffit ici, car 1/n tend vers zéro.

  2. B — Vrai. Les deux bornes −1/n et 1/n convergent vers 0. Le théorème des gendarmes donne donc la limite 0 pour uₙ.

  3. C — Vrai. La valeur absolue satisfait |sin(n)| ≤ 1 ; comme n > 0, on en déduit |sin(n)/n| ≤ 1/n.

  4. D — Vrai. L'inégalité −1 ≤ sin(n) ≤ 1 peut être divisée par n, strictement positif ; le sens des inégalités ne change pas.

  5. E — Faux. Le dénominateur vaut alors 1, qui est non nul. Le premier terme sin(1) est parfaitement défini en radians.

Méthode à retenir. Majore la valeur absolue du numérateur avant d'appliquer le théorème des gendarmes.

Question 9

Convergence d'une suite affine

On pose u₀ = 0 et uₙ₊₁ = (uₙ + 2)/2. On veut déterminer la formule et la limite. Quelles affirmations sont justes ?

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Réponse attendue : A, B, C, D

  1. A — Vrai. Avec uₙ = 2 − 2(1/2)ⁿ, la puissance positive décroît vers 0 ; soustraire cette quantité donne une suite croissante de limite 2.

  2. B — Vrai. La moyenne (uₙ + 2)/2 est comprise entre 1 et 2 sous cette hypothèse ; l'intervalle [0 ; 2[ est stable.

  3. C — Vrai. On calcule 2 − (uₙ + 2)/2 = (2 − uₙ)/2. La distance au point fixe 2 est donc divisée par 2.

  4. D — Vrai. Cette équation désigne le point fixe 2 ; la formule uₙ = 2 − 2(1/2)ⁿ fournit ici la preuve supplémentaire que uₙ tend vers 2.

  5. E — Faux. Au rang 0, la formule proposée donnerait 1 et non u₀ = 0. La formule correcte est uₙ = 2 − 2(1/2)ⁿ.

Méthode à retenir. Étudie vₙ = 2 − uₙ ; cette différence est multipliée par 1/2 à chaque rang.

Question 10

Deux valeurs initiales en récurrence forte

On définit a₀ = 0, a₁ = 1 et, pour n ≥ 0, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ. Pour majorer aₙ, analyser P(n) : aₙ ≤ 2ⁿ pour n ≥ 0.

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Réponse attendue : A, D

  1. A — Vrai. Les bases couvrent les rangs 0 et 1 ; l'implication à partir de deux rangs consécutifs propage l'inégalité à tous les suivants.

  2. B — Faux. Pour établir le terme a₂ à partir de la relation, il faut connaître a₀ et a₁ ; P(1) doit aussi être initialisée.

  3. C — Faux. On a a₁ = 1 et 2¹ = 2 ; l'inégalité a₁ ≤ 2¹ est donc vraie. Les bases P(0) et P(1) peuvent être établies.

  4. D — Vrai. La relation donne aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ. Les majorants s'additionnent en 3 × 2ⁿ, inférieur à 4 × 2ⁿ.

  5. E — Faux. Les termes initiaux sont 0, 1 ; puis a₂ = 1, a₃ = 2 et a₄ = 3. La valeur 5 correspond à a₅.

Méthode à retenir. Une relation qui utilise les deux rangs précédents exige deux bases et une hérédité à deux hypothèses.

Question 11

Raison négative et convergence

La suite géométrique est définie par u₀ = 3 et uₙ = 3(−2)ⁿ. Lesquelles de ces affirmations sont exactes ?

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Réponse attendue : B, D, E

  1. A — Faux. Le critère de convergence vers zéro est |q| < 1. Ici |−2| = 2 > 1, donc le module des termes grandit.

  2. B — Vrai. La valeur absolue supprime l'alternance des signes. Comme 2 > 1, la suite géométrique positive diverge vers +∞.

  3. C — Faux. Les termes d'indice impair sont négatifs et tendent en valeur absolue vers l'infini ; la définition d'une limite +∞ échoue.

  4. D — Vrai. Le produit 3 × (−2) vaut −6 et 3 × (−2)² vaut 12 ; le signe change à chaque rang.

  5. E — Vrai. Pour n entier, u₂ₙ = 3(−2)²ⁿ = 3 × 4ⁿ ; sa raison 4 est supérieure à 1.

Méthode à retenir. Examine séparément le signe des termes pairs et impairs et la croissance de leur valeur absolue.

Question 12

Candidat limite d'une racine itérée

On considère u₀ = 0 et uₙ₊₁ = √(uₙ + 2). On suppose que (uₙ) converge vers ℓ. Quelles conclusions découlent de cette hypothèse ?

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Réponse attendue : A, C, D, E

  1. A — Vrai. En élevant au carré, ℓ² − ℓ − 2 = (ℓ − 2)(ℓ + 1) = 0 ; ℓ ≥ 0 élimine −1.

  2. B — Faux. La valeur −1 est racine du polynôme, mais elle est négative et ne satisfait pas l'équation initiale −1 = √1.

  3. C — Vrai. Chaque terme de la suite est une racine carrée non négative, et la limite d'une suite de réels positifs ne peut être négative.

  4. D — Vrai. L'équation fournit un candidat sous l'hypothèse de convergence. Il faut montrer séparément que la suite est convergente, par exemple en étudiant croissance et majoration.

  5. E — Vrai. Une suite convergente et sa suite décalée ont la même limite ; la racine est continue là où ℓ + 2 est positif.

Méthode à retenir. Utilise la positivité de la suite et la continuité de la racine avant de résoudre l'équation de point fixe.

Question 13

Suite des sommes géométriques

Pour n ≥ 0, Sₙ = Σk=0n (3/4)ᵏ. On s'intéresse à S₃ et à la limite. Quelles propositions sont exactes ?

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Réponse attendue : A, B, E

  1. A — Vrai. La formule Σ de 0 à n donne [1 − (3/4)ⁿ⁺¹]/(1 − 3/4), soit quatre fois le crochet.

  2. B — Vrai. Les quatre termes sont 1, 3/4, 9/16 et 27/64. Au dénominateur 64, la somme est (64 + 48 + 36 + 27)/64 = 175/64.

  3. C — Faux. L'indice commence à 0 et finit à n inclus ; il y a donc n + 1 termes. Au rang 3, on en compte quatre.

  4. D — Faux. Le nombre 4 est la limite de la somme des termes jusqu'à l'infini ; la somme finie de quatre termes vaut seulement 175/64.

  5. E — Vrai. On ajoute à chaque étape un terme (3/4)ⁿ⁺¹ positif. Comme (3/4)ⁿ⁺¹ → 0, la formule donne la limite 4.

Méthode à retenir. Écris la somme finie puis fais tendre la puissance de raison 3/4 vers zéro.

Question 14

Comparer puissance et rang

On veut montrer 2ⁿ ≥ n + 1 pour tout entier n ≥ 0. Choisir toutes les justifications correctes.

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Réponse attendue : A, C, D

  1. A — Vrai. Le calcul de 2⁰ vaut 1. Cette égalité vérifie l'inégalité précisément au premier rang annoncé, n = 0.

  2. B — Faux. Une multiplication par un nombre négatif inverse le sens d'une inégalité. Ici la bonne étape emploie le facteur positif 2.

  3. C — Vrai. En effet 2² = 4 et n + 1 = 3. La différence vaut 1, donc l'égalité ne se maintient pas.

  4. D — Vrai. On multiplie par 2 > 0 ; puis 2n + 2 − (n + 2) = n ≥ 0 pour tout n naturel.

  5. E — Faux. Elle vaut aussi au rang 1 : 2¹ = 2 et 1 + 1 = 2. Une égalité n'a pas été exclue par la récurrence.

Méthode à retenir. Dans l'hérédité, multiplie l'inégalité au rang n par 2 puis compare 2n + 2 à n + 2.

Question 15

Deux sous-suites distinctes

Pour n ≥ 1, uₙ = (−1)ⁿ + 1/n. On examine les rangs pairs et impairs. Quelles propositions sont vraies ?

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Réponse attendue : B, C, D, E

  1. A — Faux. Le terme (−1)ⁿ demeure oscillant. Les limites des sous-suites paire et impaire sont respectivement 1 et −1.

  2. B — Vrai. Une suite convergente transmettrait sa limite à chacune de ses sous-suites. Or les limites 1 et −1 diffèrent : la suite entière diverge.

  3. C — Vrai. Pour un rang impair, (−1)²ᵏ⁺¹ = −1 ; ainsi u₂ₖ₊₁ = −1 + 1/(2k + 1), de limite −1.

  4. D — Vrai. On a u₂ₖ = 1 + 1/(2k). Le deuxième terme tend vers 0, donc la sous-suite paire tend vers 1.

  5. E — Vrai. Pour n ≥ 1, |(−1)ⁿ| = 1 et 0 < 1/n ≤ 1, donc |uₙ| ≤ 2. Le bornage n'implique pas la convergence.

Méthode à retenir. Calcule séparément u₂ₖ et u₂ₖ₊₁ ; deux limites distinctes interdisent la convergence de la suite entière.

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