Orthogonalité, distances et géométrie repérée

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Le calcul donne 1 × 2 + 2 × (−1) + (−1) × 0 = 2 − 2 + 0 = 0.

2. B — Vrai. Ces vecteurs sont non nuls et leur produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité dans un repère orthonormé. Le calcul complet est 1 × 2 + 2 × (−1) + (−1) × 0 = 0.

3. C — Faux. Leurs premières coordonnées auraient un facteur 2, mais leurs secondes exigeraient −1/2 ; aucun facteur commun n'existe.

4. D — Faux. Deux vecteurs non nuls perpendiculaires ont aussi un produit scalaire nul, comme dans cet exemple. Ici leurs normes sont toutes deux non nulles ; c'est l'angle droit qui annule le produit.

5. E — Faux. Cette valeur oublierait le produit de deuxièmes coordonnées, 2 × (−1) = −2, qui annule le premier.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. La formule des distances utilise les carrés des écarts, soit √(9 + 16), pas √7. Dans un repère orthonormé, les trois différences de coordonnées doivent être élevées au carré.

2. B — Faux. Additionner les différences 3 et 4 ne donne pas la distance euclidienne ; il faut calculer la racine de 3² + 4².

3. C — Faux. Les coordonnées x et y diffèrent, ce qui donne une distance non nulle égale à 5. L'égalité de la seule troisième coordonnée ne suffit pas à identifier deux points de l'espace.

4. D — Vrai. La troisième coordonnée de A et de B vaut 3 ; leur séparation se trouve dans un plan horizontal.

5. E — Vrai. Le vecteur AB vaut (3 ; 4 ; 0), donc AB = √(3² + 4² + 0²) = 5.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Substituer ses coordonnées donne 3 − 2 × 1 + 2 × 3 = 7, égal à la constante du plan.

2. B — Vrai. En remplaçant ses coordonnées dans x − 2y + 2z = 7, on obtient 7 − 0 + 0 = 7. Ce point appartient donc bien au plan.

3. C — Faux. Appartenir au plan se vérifie par l'équation entière ; les coordonnées de B donnent précisément 7. La bonne vérification donne 3 − 2 + 6 = 7 ; les coordonnées séparées n'ont pas à être nulles.

4. D — Faux. Par définition, n est orthogonal aux directions de P ; il est normal au plan, pas une direction contenue dans celui-ci.

5. E — Vrai. La forme x − 2y + 2z = c prend en A la valeur 1 − 0 + 6 = 7. Le normal fixe les coefficients de x, y et z ; le passage par A fixe la constante.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. La cote de A vaut 5 et non zéro, donc A se trouve hors du plan P. Son projeté est H(2 ; −1 ; 0), avec la même abscisse et la même ordonnée.

2. B — Vrai. La norme de AH, vecteur (0 ; 0 ; −5), vaut 5 ; c'est la plus courte distance à ce plan.

3. C — Faux. Cette projection changerait x et y alors que la perpendiculaire à z = 0 suit seulement la direction verticale. La droite de projection conserve les coordonnées horizontales ; seule la cote 5 devient zéro.

4. D — Faux. La distance au plan dépend uniquement de la différence de cotes 5 − 0 ; les coordonnées horizontales n'interviennent pas.

5. E — Vrai. Le segment AH est parallèle à l'axe des cotes et H satisfait z = 0 ; ses deux autres coordonnées restent inchangées.

Réponse attendue : A

1. A — Vrai. On réécrit x + y + z − 3 = 0 ; la formule donne 3/√3 = √3. La valeur absolue au numérateur est |−3| = 3, ce qui garantit une distance positive.

2. B — Faux. En substituant O, le membre gauche vaut zéro au lieu de 3 ; O est hors du plan.

3. C — Faux. Les coefficients de x, y et z donnent le normal non nul (1 ; 1 ; 1). La norme du normal vaut √3, elle aussi non nulle, condition nécessaire à la formule de distance.

4. D — Faux. Il faut diviser la valeur absolue 3 du membre constant par la norme du normal (1 ; 1 ; 1), soit √3.

5. E — Faux. Le point H appartient bien au plan, mais OH = √(1² + 1² + 1²) = √3. Le nombre 3 est la somme des coordonnées, pas une distance.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. La direction de D est normale, et le paramètre t = 2 fournit une intersection. Une direction normale provoque ici une traversée unique, au point (1 ; 0 ; 2).

2. B — Faux. Seul son point de paramètre t = 2 a pour cote 2 ; les autres points de D n'appartiennent pas au plan.

3. C — Vrai. Sur la droite M(t) = (1 ; 0 ; t), l'équation z = 2 impose t = 2 ; on obtient (1 ; 0 ; 2).

4. D — Faux. Cette proposition échange les deux dernières coordonnées ; elle a z = 0 et n'appartient pas à z = 2.

5. E — Vrai. Son vecteur directeur (0 ; 0 ; 1) est colinéaire à un vecteur normal du plan z = 2. La coordonnée z varie librement avec t, tandis que x et y restent fixées.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. Les deux côtés AB et AC issus de A sont orthogonaux ; l'angle en A est donc droit.

2. B — Faux. Les normes valent respectivement 1 et 2 ; les deux côtés n'ont pas la même longueur. On calcule AB = 1 et AC = 2, donc le triangle n'est pas isocèle en A.

3. C — Vrai. Les vecteurs AB = (1 ; 0 ; 0) et AC = (0 ; 2 ; 0) ont un produit scalaire nul.

4. D — Faux. L'orthogonalité a été calculée entre les côtés issus de A et non ceux issus de B. Les produits scalaires issus de B ne s'annulent pas, contrairement au produit AB·AC.

5. E — Faux. Les directions AB et AC sont non nulles et orthogonales, donc elles ne sont pas colinéaires.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Ses trois composantes sont non nulles ; chaque plan de coordonnées exigerait qu'au moins une composante soit nulle. Les plans x = 0, y = 0 et z = 0 imposent chacun une composante nulle.

2. B — Faux. La somme 1 + 1 + 1 n'est pas une norme euclidienne ; les carrés doivent être additionnés sous la racine.

3. C — Faux. Une arête ne modifie qu'une coordonnée ; ici les trois coordonnées passent de 0 à 1. Le déplacement simultané suivant trois axes caractérise une diagonale de l'espace, pas une arête.

4. D — Vrai. Le vecteur AG = (1 ; 1 ; 1) a pour norme √(1² + 1² + 1²) = √3.

5. E — Faux. Une diagonale de face ne traverse que deux directions ; ici les trois coordonnées changent, ce qui donne √3.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Les différences de coordonnées de C à P sont (0 ; 3 ; 0) ; leur norme vaut précisément 3.

2. B — Vrai. Sa distance au centre C(1 ; −2 ; 0) est 3, puisque le vecteur qui les relie est (3 ; 0 ; 0). Il est donc sur la sphère de rayon 3.

3. C — Vrai. Le carré de la distance à C(1 ; −2 ; 0) doit valoir celui du rayon 3, soit 9. Les points de la sphère sont exactement ceux dont la distance au centre vaut 3.

4. D — Faux. La cote y du centre vaut −2 ; la différence y − (−2) s'écrit y + 2. Cette écriture ferait correspondre le centre de coordonnée y = +2, différent du centre donné.

5. E — Vrai. La distance du centre à lui-même vaut 0, alors que les points de la sphère sont tous à distance 3.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. La norme est √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3. Les trois carrés 4, 1 et 4 donnent 9 ; la racine positive est donc 3.

2. B — Vrai. La formule de distance au plan donne 2/3 après division du numérateur 2 par la norme 3. Au point P, l'expression du plan vaut 2 − 1 + 2 − 5 = −2.

3. C — Faux. Une distance est toujours positive ou nulle ; il faut la valeur absolue de l'évaluation du plan.

4. D — Vrai. En substituant P, on trouve |2 × 1 − 1 + 2 × 1 − 5| = |−2| = 2.

5. E — Faux. Le membre de l'équation vaut −2 en P, et non zéro ; sa distance au plan est positive.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Il faut diviser la différence des constantes par la norme √(1² + (−1)² + 1²) = √3. La différence des seconds membres est 1, mais le normal n'est pas unitaire.

2. B — Vrai. Le normal commun est (1 ; −1 ; 1), mais les constantes 1 et 2 diffèrent ; aucun point n'appartient aux deux.

3. C — Vrai. Pour deux équations de même normal, la différence des constantes vaut |2 − 1| = 1 ; sa norme vaut √3.

4. D — Vrai. Chaque coefficient et le second membre de Q se divisent par 2 non nul, sans changer le plan. Cette réduction préalable met les deux équations sous une forme comparable avec le même normal.

5. E — Faux. La proportion doit porter aussi sur les constantes : la constante 4 de Q n'est pas deux fois celle de P.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Cette projection ferait changer l'abscisse 2, alors que la perpendiculaire à l'axe reste dans le plan x = 2.

2. B — Vrai. Le produit scalaire (0 ; −3 ; −4)·(1 ; 0 ; 0) vaut zéro ; la projection est bien perpendiculaire.

3. C — Faux. √29 est la distance de A à l'origine, qui n'est pas le pied de la perpendiculaire sur D. La distance à une droite utilise son point le plus proche, pas nécessairement l'origine du repère.

4. D — Vrai. Le vecteur AH vaut (0 ; −3 ; −4), de norme √(3² + 4²) = 5. Le pied H conserve l'abscisse 2, puis annule les deux composantes perpendiculaires 3 et 4.

5. E — Vrai. Le point H conserve l'abscisse 2 de A et a y = z = 0, ce qui le place sur D.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Le produit scalaire vaut 1, tandis que les normes de u et v valent 1 et √2. Ainsi cos θ = 1/(1 × √2) = 1/√2, et non 1/2.

2. B — Vrai. L'angle entre deux vecteurs se trouve dans [0 ; π] ; le cosinus positif 1/√2 correspond à π/4.

3. C — Vrai. Les produits des trois composantes donnent 1 × 1 + 0 × 1 + 0 × 0 = 1.

4. D — Faux. Cet angle aurait un cosinus négatif −1/√2, incompatible avec le produit scalaire positif trouvé. Le cosinus calculé étant positif, l'angle non orienté doit être aigu plutôt qu'obtus.

5. E — Faux. Leur produit scalaire vaut 1 et non zéro ; l'angle de 45° n'est pas droit. L'angle droit correspondrait à un cosinus nul, alors que le calcul fournit 1/√2.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Le nombre 6 est l'aire ; une hauteur se trouve par 2 × aire/BC = 12/5. Avec BC = 5 comme base, l'aire 6 impose une hauteur de 12/5.

2. B — Faux. Additionner les deux longueurs 3 et 4 ne donne pas la diagonale ; celle-ci vaut √(9 + 16) = 5.

3. C — Vrai. Les différences B − C sont (3 ; −4 ; 0) ; le théorème de Pythagore donne BC = √(3² + 4²) = 5.

4. D — Vrai. Les côtés perpendiculaires AB = 3 et AC = 4 donnent (1/2) × 3 × 4 = 6. Le facteur un demi est indispensable : un triangle occupe la moitié du rectangle correspondant.

5. E — Vrai. Écrire la même aire avec BC comme base donne 6 = (1/2) × 5 × h, d'où h = 12/5.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. L'égalité des carrés équivaut à (x − 1)² = (x + 1)², soit −4x = 0, donc x = 0. Le plan médiateur passe par le milieu O de [AB] et est perpendiculaire à l'axe x.

2. B — Faux. Tous les points du plan x = 0, quelle que soit leur ordonnée ou cote, sont équidistants de A et B.

3. C — Faux. Le point x = 1, y = z = 0 est A lui-même ; ses distances à A et B valent 0 et 2, donc diffèrent.

4. D — Vrai. Les différences de coordonnées entre M et A sont x − 1, y et z ; la formule euclidienne donne leur somme de carrés.

5. E — Vrai. L'abscisse de B est −1, donc la première différence vaut x − (−1) = x + 1. La formule du carré de la distance permet ensuite de comparer MA² et MB² sans racines.