Épreuves indépendantes et loi binomiale

Réponse attendue : E

1. A — Faux. L'indépendance signifie que la probabilité d'un lancer ne dépend pas des précédents, pas que les résultats coïncident.

2. B — Faux. Le rapport 2/5 est une fréquence observée possible, pas la probabilité théorique d'obtenir exactement deux faces. La probabilité exige de compter tous les ordres possibles des deux faces parmi cinq lancers.

3. C — Faux. Choisir deux rangs parmi cinq donne 5 × 4/2 = 10 combinaisons, pas cinq. Les deux positions retenues peuvent être choisies dans n'importe quel ordre, d'où la division par deux.

4. D — Faux. Les cinq lancers sont indépendants, mais la probabilité d'obtenir face à chaque lancer vaut 1/2 et non 2/5. Le nombre 2 est la valeur de X recherchée.

5. E — Vrai. Les dix choix de positions de deux faces ont chacun une probabilité (1/2)⁵ = 1/32 ; dix fois ce nombre vaut 5/16.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Après une première rouge non remise, il reste deux rouges sur quatre boules ; la probabilité conditionnelle vaut 2/4 et non 3/5.

2. B — Vrai. Pour tirer deux rouges, la première probabilité vaut 3/5, puis il reste 2 rouges sur 4 boules. Le second facteur est conditionnel à une première rouge ; il ne vaut pas 3/5.

3. C — Vrai. Après une rouge, il reste 2 rouges sur 4, tandis qu'après une bleue, il reste 3 rouges sur 4. Les probabilités de rouge au deuxième tirage diffèrent selon la couleur déjà retirée.

4. D — Faux. Cette formule suppose deux tirages indépendants avec remise ; après une première rouge sans remise, la chance suivante est 2/4.

5. E — Faux. La loi binomiale exige des épreuves indépendantes et une même probabilité de succès ; ces conditions échouent sans remise.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Cette puissance décrit quatre réussites et donc X = 4, non l'absence de toute réussite.

2. B — Faux. Il existe exactement une manière de choisir zéro position de succès : C(4,0) = 1.

3. C — Faux. Elle vaut 1 − 0,2 = 0,8 et doit appartenir à [0 ; 1]. Le complément d'une réussite de probabilité 0,2 est un échec de probabilité 0,8.

4. D — Vrai. La probabilité d'échec vaut 1 − 0,2 = 0,8 ; l'indépendance permet le produit de quatre facteurs.

5. E — Vrai. On compte les réussites dans quatre épreuves de Bernoulli indépendantes, toutes de même paramètre 0,2. La même probabilité de succès à chaque essai est indispensable avec l'indépendance annoncée.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Choisir les trois positions de succès parmi trois n'a qu'une possibilité, donc aucun facteur supplémentaire ne modifie 0,3³.

2. B — Faux. « Un succès » correspond à X = 1 ; X = 3 signifie que les trois essais réussissent.

3. C — Faux. Le facteur 0,7 est une probabilité d'échec ; cette puissance correspondrait à zéro succès. Trois échecs indépendants ont effectivement la probabilité 0,7 × 0,7 × 0,7.

4. D — Faux. Une somme de trois probabilités ne correspond pas à l'intersection des trois succès ; elle dépasse même la vraie valeur.

5. E — Vrai. Tous les trois essais doivent réussir ; l'indépendance donne le produit 0,3 × 0,3 × 0,3. Il n'existe qu'un seul ordre contenant trois réussites parmi trois essais.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. La formule np donne 10 × 0,7 = 7 succès moyens sur les dix essais.

2. B — Vrai. La formule np(1 − p) donne 10 × 0,7 × 0,3 = 2,1. La dispersion vaut donc beaucoup moins que la moyenne 7 ; les deux grandeurs sont distinctes.

3. C — Faux. Le carré de l'espérance n'est pas la variance ; la formule binomiale donne 2,1. La variance mesure des écarts au carré autour de la moyenne, pas le carré de cette moyenne.

4. D — Faux. Le nombre 2,1 est la variance ; l'écart type est sa racine carrée √2,1.

5. E — Faux. Ce nombre est la probabilité d'un succès sur un essai ; l'espérance du nombre de succès multiplie par n = 10.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. X est un entier positif : ne pas avoir au moins une réussite signifie n'en avoir aucune. Cette complémentarité donne P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).

2. B — Faux. La relation P(A) = 1 − P(non A) vaut pour tout événement ; l'indépendance aide seulement au calcul de P(X = 0).

3. C — Vrai. L'événement contraire est cinq échecs ; chacun a une probabilité 0,6 et l'indépendance permet leur produit. Cette méthode évite d'additionner séparément les cinq cas un, deux, trois, quatre et cinq réussites.

4. D — Faux. Le produit vaut 2, hors de [0 ; 1] ; les cas avec plusieurs réussites se chevaucheraient dans cette addition naïve.

5. E — Vrai. On calcule 0,6⁵ = 0,07776 puis on soustrait ce nombre à 1. Le complément 0,07776 est la probabilité de n'obtenir aucune réussite en cinq essais.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Trois piles sur six impliquent exactement trois faces ; les deux événements sont ici le même ensemble de suites.

2. B — Faux. Une valeur centrale n'a pas automatiquement probabilité 1/2 ; le dénombrement donne 5/16. Vingt suites parmi soixante-quatre ont exactement trois piles, ce qui donne 20/64 = 5/16.

3. C — Faux. Chaque suite spécifiée contient aussi trois faces de probabilité (1/2)³, donc son produit est (1/2)⁶. Oublier les trois faces donnerait une probabilité de chemin incorrecte, avant même le dénombrement.

4. D — Vrai. On compte C(6,3) = 20 suites favorables parmi 2⁶ = 64 suites équiprobables ; 20/64 = 5/16.

5. E — Faux. Le coefficient vaut 6 × 5 × 4/(3 × 2 × 1) = 20, pas six.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Les nombres de suites favorables 6 et 4 diffèrent, donc les probabilités 6/16 et 4/16 aussi.

2. B — Vrai. On choisit deux positions parmi quatre de C(4,2) = 6 manières ; chacune pèse (1/2)⁴. Les seize suites de quatre résultats sont équiprobables car la pièce est équilibrée.

3. C — Faux. Le nombre 2/4 est une fréquence d'une suite donnée, pas la probabilité de l'ensemble des suites avec deux succès.

4. D — Vrai. Une réussite peut occuper chacune des quatre positions, d'où C(4,1) = 4 suites sur 16.

5. E — Faux. Sa formule suppose au contraire quatre essais indépendants et identiques, ce qui est donné. Dépendance et indépendance sont des propriétés opposées ; les quatre essais sont explicitement indépendants.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Le produit 0,6 × 0,5 = 0,3 est égal à la probabilité donnée de l'intersection. L'égalité est exactement le critère de produit des probabilités marginales pour l'indépendance.

2. B — Faux. Additionner sans retrancher 0,3 compte deux fois l'intersection ; une probabilité ne peut de toute façon dépasser 1.

3. C — Faux. Des événements incompatibles auraient une intersection de probabilité zéro ; ici elle a probabilité 0,3. Une intersection positive signifie qu'il existe des issues où les deux événements se réalisent ensemble.

4. D — Vrai. La formule donne 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8 ; soustraire l'intersection évite de la compter deux fois.

5. E — Vrai. Cette égalité vaut numériquement 0,3 = 0,6 × 0,5 et caractérise ici l'indépendance des deux événements.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Cette puissance correspondrait à trois défaillances, sans pièces fonctionnelles ; elle ne décrit donc pas l'événement demandé.

2. B — Vrai. L'indépendance permet de multiplier les trois probabilités de non-défaillance, chacune égale à 0,9. Cette probabilité correspond aussi au seul cas X = 0 pour la variable nombre de défaillances.

3. C — Vrai. Les trois essais ont le même paramètre d'échec 0,1 et sont indépendants ; on compte ces échecs. La présence de trois paramètres identiques permet d'employer une loi binomiale.

4. D — Vrai. La défaillance unique peut concerner la première, la deuxième ou la troisième pièce, soit trois choix ; chacun a une probabilité 0,1 × 0,9².

5. E — Vrai. Il existe trois choix pour la pièce défaillante ; chaque configuration a probabilité 0,1 × 0,9 × 0,9.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Il y a deux positions pour l'unique succès ; 2 × (1/4) × (3/4) = 6/16.

2. B — Faux. Cette expression ne compte qu'un ordre, succès puis échec ; l'ordre inverse double la probabilité.

3. C — Vrai. Chaque essai échoue avec probabilité 3/4 ; deux échecs indépendants ont probabilité (3/4)² = 9/16. Il n'existe qu'une suite sans réussite : deux échecs successifs de probabilité 3/4 chacun.

4. D — Vrai. Les deux essais doivent réussir, avec probabilité (1/4)² = 1/16. Le coefficient combinatoire vaut un, car les deux positions sont occupées par des réussites.

5. E — Faux. La somme vaut (9 + 6 + 1)/16 = 16/16 = 1, puisque les trois cas épuisent les possibles.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Il n'existe qu'une suite tout face et qu'une suite tout pile, sur 2⁸ suites équiprobables. Échanger pile et face associe à chaque suite extrême une suite extrême opposée.

2. B — Vrai. On compte 70 choix de quatre positions parmi huit, chacune des 256 suites ayant la même probabilité. Le coefficient 70 compte des positions distinctes ; aucune suite ne reçoit un poids différent.

3. C — Vrai. La symétrie k ↔ 8 − k échange exactement les deux ensembles d'issues et conserve chaque probabilité.

4. D — Faux. La masse du cas central X = 4 est positive ; les deux côtés symétriques se partagent seulement le complément de cette masse.

5. E — Faux. Le rapport 4/8 décrit la proportion de piles dans une suite avec quatre piles, pas la probabilité d'obtenir ce compte.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. La composition de l'urne change après le premier tirage ; la seconde probabilité conditionnelle n'est plus 3/5.

2. B — Vrai. Après une première rouge, il reste deux rouges parmi quatre boules : la probabilité conditionnelle est 2/4.

3. C — Faux. Après remise, l'urne revient à son état initial ; le second facteur est 3/5, pas 2/4. Le facteur 2/4 appartient uniquement au scénario sans remise après une première rouge.

4. D — Faux. Avec remise, P(deux rouges) = 9/25 = 0,36 ; sans remise, elle vaut 3/10 = 0,30. La seconde épreuve change après un premier tirage rouge sans remise.

5. E — Vrai. Les tirages ont chacun probabilité 3/5 de rouge et sont indépendants grâce à la remise. La composition de l'urne reste identique avant chacun des deux tirages.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Le nombre 0,05 est la probabilité sur un seul essai, alors que l'espérance du total sur vingt vaut 1.

2. B — Vrai. Chaque essai échoue avec probabilité 1 − 0,05 = 0,95 ; l'indépendance donne le produit de vingt échecs.

3. C — Vrai. L'espérance d'une variable B(n,p) est np, ici 20 × 0,05 = 1. Cette espérance ne garantit pas exactement un succès lors d'une réalisation particulière de vingt essais.

4. D — Vrai. Au moins un succès est l'événement complémentaire d'aucun succès, donc on retranche P(X = 0) de 1. On calcule ainsi l'événement complémentaire, plus simple que d'additionner vingt probabilités binomiales.

5. E — Faux. La probabilité d'au moins un succès n'est pas l'espérance ; elle est strictement inférieure à 1 puisque zéro succès reste possible.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. La probabilité demandée est le complément de l'absence totale de réussite : 1 − 0,2401. L'égalité numérique utilise 0,7⁴ = 0,2401, probabilité des quatre échecs.

2. B — Vrai. Les quatre échecs ont la probabilité produit 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7 = 0,2401.

3. C — Vrai. Le nombre de réussites suit B(4 ; 0,3) ; son espérance np vaut 1,2. Une espérance de 1,2 succès est une moyenne théorique, pas un nombre observé sur un essai.

4. D — Faux. L'espérance est une moyenne théorique, pas une garantie ; le cas X = 0 conserve la probabilité 0,2401.

5. E — Vrai. Le calcul par l'événement contraire donne 1 − 0,7⁴ = 0,7599, valeur strictement plus grande que 0,5.