Dérivation et convexité

Réponse attendue : C

1. A — Faux. Le calcul exact donne f(1) = 1³ − 3 × 1 = −2 ; f(−1) vaut en revanche 2.

2. B — Faux. La substitution donne f′(0) = 3 × 0² − 3 = −3, ce qui correspond à une pente descendante.

3. C — Vrai. La dérivation donne 3x² − 3. L'identité x² − 1 = (x − 1)(x + 1) justifie la factorisation annoncée.

4. D — Faux. La dérivée est négative entre −1 et 1 ; la fonction y décroît, bien qu'elle croisse en dehors.

5. E — Faux. La dérivée f′(x) = 3(x² − 1) est positive si x < −1 ou x > 1 et négative seulement entre −1 et 1.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Dans l'équation y = 4x − 4, pour x = 0 on obtient y = −4 et non zéro.

2. B — Faux. La différence 4 − 1 = 3 décrit la variation de f entre 1 et 2 ; la pente tangentielle en 2 est f′(2) = 2 × 2 = 4.

3. C — Faux. À x = 2, cette droite donne y = 12 alors que le point de tangence a pour ordonnée 4.

4. D — Vrai. La valeur de la fonction est f(2) = 2² = 4 ; l'abscisse imposée est 2. Cette coordonnée sert ensuite à construire l'équation de la tangente avec sa pente.

5. E — Vrai. On a f′(x) = 2x donc f′(2) = 4. L'équation y = 4 + 4(x − 2) se simplifie en y = 4x − 4.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Dans cet intervalle, x² < 1/3 donc f″(x) < 0 ; la courbe est concave, pas convexe.

2. B — Faux. Il faut un changement de convexité. Ici il a bien lieu, mais une dérivée seconde nulle seule ne suffirait pas en général.

3. C — Vrai. L'équation 12x² − 4 = 0 donne x² = 1/3 ; le signe de f″ change à chacune des deux racines.

4. D — Vrai. La dérivée première vaut 4x³ − 4x et la dérivée seconde vaut 12x² − 4. On peut vérifier en dérivant chaque monôme, tandis que le terme constant disparaît.

5. E — Faux. Le calcul donne f″(0) = 12 × 0² − 4 = −4 ; le signe est négatif à l'origine.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. La dérivée seconde de l'exponentielle est encore eˣ, strictement positive pour tout réel x. Le critère par la dérivée seconde s'applique donc sur tout l'intervalle étudié.

2. B — Faux. Une fonction convexe se situe au-dessus de chacune de ses tangentes ; ici eˣ ≥ x + 1.

3. C — Faux. L'exponentielle est sa propre dérivée : f′(0) = e⁰ = 1, d'où une pente égale à 1.

4. D — Vrai. On a f(0) = 1 et f′(0) = 1. L'équation y = f(0) + f′(0)x donne y = x + 1.

5. E — Faux. Sa pente f′(0) vaut 1 et non zéro ; l'équation y = x + 1 confirme qu'elle n'est pas horizontale.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. On a ln(1) = 0 et f′(1) = 1 ; donc y = 0 + 1(x − 1) = x − 1.

2. B — Vrai. Sa dérivée seconde −1/x² est strictement négative pour chaque x positif ; la courbe est sous ses tangentes.

3. C — Faux. Le logarithme réel demande x > 0. La valeur ln(0) n'existe pas, bien que la limite à droite soit −∞.

4. D — Faux. Pour une fonction concave, la courbe se place sous ses tangentes : ln(x) ≤ x − 1 pour x > 0.

5. E — Faux. En dérivant x⁻¹, on obtient −x⁻² = −1/x² ; oublier ce signe inverse la convexité. Le signe négatif indique au contraire une concavité stricte sur x > 0.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Le périmètre 20 m n'est pas la longueur de l'autre côté. On doit utiliser 10 − x, ce qui donne x(10 − x) m².

2. B — Faux. L'autre côté serait alors nul, contraire à l'hypothèse de côtés positifs, et l'aire tendrait vers zéro. Le maximum intérieur s'obtient pour x = 5 m, avec un second côté également de 5 m.

3. C — Vrai. Le demi-périmètre vaut 10 m, donc la somme des côtés vaut 10 m ; leurs longueurs doivent rester positives.

4. D — Vrai. A(x) = x(10 − x) = 25 − (x − 5)² ; le carré étant positif, A(x) ≤ 25 m².

5. E — Vrai. Comme A(x) = x(10 − x), sa dérivée 10 − 2x est positive avant 5 m et négative après 5 m ; le maximum est donc atteint à 5 m.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. La valeur f(0) = 0 et la pente f′(0) = 3 × 0² = 0 donnent l'axe des abscisses.

2. B — Faux. Pour x < 0, on a 6x < 0. La dérivée seconde est négative à gauche et positive à droite.

3. C — Faux. La fonction x³ est strictement croissante de part et d'autre de zéro ; une tangente horizontale ne suffit pas pour un extremum.

4. D — Faux. Sa pente dérivée est le nombre fini zéro ; la tangente est horizontale, d'équation y = 0.

5. E — Vrai. La dérivée seconde f″(x) = 6x change de signe lorsque x traverse zéro, d'où un changement de convexité.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Le dénominateur x + 1 s'annule en −1 ; cette abscisse est exclue du domaine. On peut étudier une limite à cette borne, mais pas y évaluer la fonction.

2. B — Vrai. En dérivant 1 − (x + 1)⁻¹, on obtient +(x + 1)⁻², positif sur tout le domaine.

3. C — Vrai. La dérivée de (x + 1)⁻² est −2(x + 1)⁻³ ; puisque x + 1 > 0, son signe est négatif.

4. D — Faux. La dérivée est strictement positive ; le sens de variation est donc croissant, même si f reste concave.

5. E — Vrai. On a f′(x) = 1/(x + 1)² > 0 et f″(x) = −2/(x + 1)³ < 0 sur cet intervalle : les deux propriétés coexistent.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Un carré est toujours positif ou nul ; f(x) ≥ 3 et l'égalité a lieu quand x − 2 = 0.

2. B — Faux. La valeur en zéro n'est pas minimale ; f(2) = 4 − 8 + 7 = 3, plus petite.

3. C — Vrai. Le carré (x − 2)² vaut x² − 4x + 4 ; ajouter 3 restitue le polynôme.

4. D — Vrai. La dérivée seconde constante f″(x) = 2 est strictement positive en tout point réel. Cette positivité de f″ justifie que la pente des tangentes augmente partout.

5. E — Faux. La parabole s'ouvre vers le haut puisque le coefficient de x² est positif ; son sommet est un minimum.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. La formule y = 2 + (x − 4)/4 se simplifie en x/4 + 1 et passe bien par (4 ; 2).

2. B — Vrai. Son équation y = x/4 + 1 donne y = 1 pour x = 0. Ce point appartient à la droite tangente, même si la courbe √x n'est étudiée que pour x > 0.

3. C — Faux. Le nombre 2 est l'ordonnée f(4) et non la pente. La pente f′(4) vaut 1/4. Le facteur 1/(2√x) fournit cette valeur après substitution x = 4.

4. D — Vrai. La racine carrée positive de 4 vaut 2 ; le point de tangence est donc (4 ; 2).

5. E — Vrai. La dérivée de √x vaut 1/(2√x) pour x > 0 ; en x = 4, elle vaut 1/(2 × 2) = 1/4.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. La dérivation donne e⁻ˣ + (x + 1)(−e⁻ˣ) = [1 − x − 1]e⁻ˣ = −xe⁻ˣ. Le facteur exponentiel est toujours positif, si bien que le signe de f′ est celui de −x.

2. B — Vrai. e⁻ˣ est positif ; le signe de f′ est celui de −x, positif avant zéro et négatif après.

3. C — Vrai. Le signe de la dérivée passe de positif à négatif en 0 ; f(0) = (0 + 1)e⁰ = 1.

4. D — Faux. L'exponentielle reste positive pour tout exposant réel ; le signe de f′ vient uniquement du facteur −x.

5. E — Faux. Il faut dériver les deux facteurs du produit ; le terme −(x + 1)e⁻ˣ conduit à −xe⁻ˣ.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Au voisinage immédiat, cos(x) passe de positif à négatif ; la fonction croît puis décroît. La valeur maximale locale vaut sin(π/2) = 1, alors que la dérivée s'annule.

2. B — Vrai. La dérivée f′ = cos s'annule en π/2 ; la tangente horizontale passant par l'ordonnée 1 est y = 1.

3. C — Faux. La pente est cos(π/2) = 0 ; le nombre 1 est l'ordonnée du point de tangence. La tangente est donc horizontale, d'équation y = 1 au point considéré.

4. D — Vrai. Le sinus de π/2 vaut 1 sur le cercle trigonométrique ; le point de la courbe a cette ordonnée.

5. E — Faux. À droite de π/2, cos devient négatif jusqu'à 3π/2 ; le sinus y commence donc à décroître.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Cette droite passe par (1 ; 1), mais sa pente vaut +1 ; la dérivée impose la pente −1.

2. B — Vrai. Dériver −x⁻² donne 2x⁻³ ; pour x > 0, cette dérivée seconde est positive. La courbe se trouve donc au-dessus de chacune de ses tangentes sur ce domaine.

3. C — Vrai. f(1) = 1 et f′(1) = −1. Ainsi y = 1 − (x − 1) = 2 − x.

4. D — Faux. La dérivée de x⁻¹ est −x⁻² < 0 sur ]0 ; +∞[. La fonction 1/x est donc strictement décroissante.

5. E — Faux. La variation dépend de f′, la convexité de f″ ; ici f′ < 0 mais f″ > 0.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Près de zéro, f″(0) = −8 < 0 ; elle est localement concave malgré son comportement à l'infini.

2. B — Vrai. La dérivée seconde 12x² − 8 s'annule si x² = 2/3, et elle change de signe à chaque racine.

3. C — Faux. Ces valeurs sont les zéros de la dérivée seconde, pas ceux de la dérivée première qui pilotent les extrema.

4. D — Vrai. Près de zéro, f(x) = x²(x² − 4) < 0 pour x non nul assez petit, tandis que f(0) = 0.

5. E — Vrai. On a f(±√2) = 4 − 8 = −4 ; le signe de f′ passe de négatif à positif en chacun de ces points.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. La règle du produit donne 2xe⁻ˣ − x²e⁻ˣ ; en factorisant xe⁻ˣ, on obtient 2 − x.

2. B — Faux. Après x = 2, le facteur 2 − x devient négatif tandis que x et e⁻ˣ restent positifs ; R diminue.

3. C — Vrai. Sur x > 0, la dérivée est positive avant 2 et négative après ; la valeur calculée en 2 est 2²e⁻².

4. D — Faux. La fonction est positive pour tout x > 0, en particulier R(2) = 4e⁻² > 0 ; zéro n'est pas son maximum.

5. E — Vrai. On écrit R(x) = x²/eˣ ; l'exponentielle domine toute puissance de x à l'infini, donc ce quotient tend vers zéro.