Vecteurs et géométrie

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. (5 ; 8) correspond à la somme des coordonnées des extrémités. Un milieu demande les moyennes : ((1 + 4)/2 ; (2 + 6)/2) = (2,5 ; 4).

2. B — Vrai. En repère orthonormé, AB = √(3² + 4²) = √25 = 5. Les écarts de coordonnées sont 3 et 4, côtés d'un triangle rectangle.

3. C — Vrai. On soustrait arrivée moins départ : (xB − xA ; yB − yA) = (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4).

4. D — Faux. $\overrightarrow{\text{BA}}$ se calcule arrivée A moins départ B : (1 − 4 ; 2 − 6) = (−3 ; −4). Les coordonnées (3 ; 4) décrivent $\overrightarrow{\text{AB}}$, de sens contraire.

5. E — Faux. Ils sont opposés et non nuls : (3 ; 4) diffère de (−3 ; −4).

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. La multiplication par 2 agit sur chaque coordonnée : (2 × 2 ; 2 × (−1)) = (4 ; −2).

2. B — Vrai. L’addition est coordonnée par coordonnée : 2 + (−3) = −1 et −1 + 4 = 3.

3. C — Faux. Le déterminant vaut 5 ≠ 0 ; les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Un déterminant non nul est le critère de non-colinéarité dans le plan.

4. D — Vrai. Soustraire $\overrightarrow{\text{v}}$ donne (2 − (−3) ; −1 − 4) = (5 ; −5). La soustraction s'effectue coordonnée par coordonnée dans la même base.

5. E — Vrai. On calcule 2 × 4 − (−1) × (−3) = 8 − 3 = 5.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Le déplacement de B vers C vaut (5 − 2 ; 0 − 3) = (3 ; −3).

2. B — Faux. La somme vaut (5 ; −1), non (0 ; 0) ; le trajet A→B→C ne revient pas à A.

3. C — Vrai. Les coordonnées de la somme sont (2 + 3 ; 2 − 3) = (5 ; −1), celles de $\overrightarrow{\text{AC}}$ : c’est la relation de Chasles.

4. D — Vrai. Depuis A jusqu’à B, on ajoute 2 en abscisse et 2 en ordonnée : (2 − 0 ; 3 − 1) = (2 ; 2).

5. E — Vrai. De A à C, on obtient (5 − 0 ; 0 − 1) = (5 ; −1).

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Additionner les coordonnées sans diviser par 2 donne (4 ; 4), mais le milieu exige leurs moyennes (2 ; 2).

2. B — Vrai. On moyenne les abscisses (−2 + 6)/2 = 2 et les ordonnées (4 + 0)/2 = 2.

3. C — Vrai. Les deux déplacements sont opposés : (−4 ; 2) + (4 ; −2) = (0 ; 0).

4. D — Vrai. De M(2 ; 2) vers B(6 ; 0), la variation est (6 − 2 ; 0 − 2) = (4 ; −2).

5. E — Vrai. De M(2 ; 2) vers A(−2 ; 4), la variation est (−2 − 2 ; 4 − 2) = (−4 ; 2).

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. On ajoute au point B le déplacement $\overrightarrow{\text{AD}}$ = (1 ; 4) : C = (3 + 1 ; 1 + 4) = (4 ; 5).

2. B — Vrai. $\overrightarrow{\text{AD}}$ = (1 ; 4) et $\overrightarrow{\text{BC}}$ = (4 − 3 ; 5 − 1) = (1 ; 4).

3. C — Vrai. Le milieu de [AC] est ((0 + 4)/2 ; (0 + 5)/2) = (2 ; 2,5) ; le milieu de [BD] est ((3 + 1)/2 ; (1 + 4)/2) identique.

4. D — Vrai. $\overrightarrow{\text{AB}}$ = (3 ; 1) et $\overrightarrow{\text{DC}}$ = (4 − 1 ; 5 − 4) = (3 ; 1), comme dans un parallélogramme.

5. E — Faux. Ce point résulte d’une soustraction erronée ; il ne donnerait pas $\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AD}}$, car $\overrightarrow{\text{BC}}$ vaudrait (−1 ; 2).

Réponse attendue : B

1. A — Faux. Le déterminant vaut 2 × 2 − 3 × (−3) = 4 + 9 = 13 ≠ 0.

2. B — Vrai. Multiplier chaque coordonnée de $\overrightarrow{\text{u}}$ par 2 donne (4 ; 6), exactement $\overrightarrow{\text{v}}$. Le même facteur réel appliqué aux deux coordonnées prouve aussi leur colinéarité.

3. C — Faux. Le déterminant calculé par 2 × 6 − 3 × 4 vaut 12 − 12 = 0. Il confirme que $\overrightarrow{\text{v}}$ est un multiple de $\overrightarrow{\text{u}}$.

4. D — Faux. La relation $\overrightarrow{\text{v}}$ = 2$\overrightarrow{\text{u}}$ établie avec les coordonnées (4 ; 6) et (2 ; 3) prouve exactement leur colinéarité ; le facteur 2 est réel.

5. E — Faux. Le fait que $\overrightarrow{\text{v}}$ soit colinéaire à $\overrightarrow{\text{u}}$ ne rend pas $\overrightarrow{\text{w}}$ colinéaire : det($\overrightarrow{\text{v}}$,$\overrightarrow{\text{w}}$) = 4 × 2 − 6 × (−3) = 26 ≠ 0.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. De A vers C : (4 − 1 ; 7 − 1) = (3 ; 6).

2. B — Vrai. $\overrightarrow{\text{AB}}$ = (2/3)$\overrightarrow{\text{AC}}$ avec un coefficient compris entre 0 et 1 ; B se trouve donc entre A et C.

3. C — Vrai. On retire les coordonnées de A à celles de B : (3 − 1 ; 5 − 1) = (2 ; 4).

4. D — Vrai. $\overrightarrow{\text{AC}}$ = (3/2)$\overrightarrow{\text{AB}}$ ; les vecteurs non nuls $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires et ont l’origine A commune.

5. E — Faux. Le calcul donne 2 × 6 − 4 × 3 = 12 − 12 = 0, cohérent avec l’alignement.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Pour deux vecteurs du plan, la colinéarité imposerait un déterminant nul. Ici det($\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{AC}}$) = 2 × 4 − 1 × 3 = 5 : cette valeur non nulle réfute la proposition.

2. B — Vrai. Un déterminant non nul signifie que $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires ; les trois points forment un triangle non dégénéré.

3. C — Vrai. Le déterminant vaut 2 × 4 − 1 × 3 = 8 − 3 = 5.

4. D — Faux. Si C appartenait à (AB), les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ seraient colinéaires ; leur déterminant 5 contredit cela.

5. E — Vrai. Les coordonnées de A sont nulles ; les déplacements vers B et C reprennent donc les coordonnées de ces points.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. La somme des carrés des différences de coordonnées est 36 + 64 = 100. Les écarts sont 6 et 8 ; le théorème de Pythagore donne AB².

2. B — Faux. Additionner 6 + 8 ne donne pas la longueur du segment ; il faut la racine de 6² + 8², soit 10.

3. C — Vrai. On soustrait A à B : (4 − (−2) ; 11 − 3) = (6 ; 8).

4. D — Vrai. Pythagore donne AB = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 unités.

5. E — Vrai. On moyenne les abscisses (−2 + 4)/2 = 1 et les ordonnées (3 + 11)/2 = 7.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Avec D(1 ; 6), $\overrightarrow{\text{CD}}$ = (1 − (−2) ; 6 − 5) = (3 ; 1), égal à $\overrightarrow{\text{AB}}$.

2. B — Vrai. Pour obtenir $\overrightarrow{\text{CD}}$ = (3 ; 1), on part de C(−2 ; 5) et on ajoute (3 ; 1), d’où D(1 ; 6).

3. C — Faux. L’égalité $\overrightarrow{\text{CD}}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$ ne donne qu’une relation de translation ; elle ne garantit aucun angle droit ni les autres conditions d’un rectangle.

4. D — Faux. L’écart de A(1 ; 2) à B(4 ; 3) vaut (4 − 1 ; 3 − 2) = (3 ; 1). La proposition inverse les deux composantes.

5. E — Faux. Soustraire $\overrightarrow{\text{AB}}$ de C donnerait (−5 ; 4), dont le vecteur $\overrightarrow{\text{CD}}$ vaudrait (−3 ; −1), opposé à $\overrightarrow{\text{AB}}$.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. La multiplication d’un vecteur par −2 multiplie sa longueur par |−2| = 2 ; ‖$\overrightarrow{\text{u}}$‖ = √5 et ‖$\overrightarrow{\text{v}}$‖ = 2√5.

2. B — Faux. Le coefficient de proportionnalité est négatif : ils sont portés par des droites parallèles mais orientés en sens contraires.

3. C — Vrai. Le multiple réel −2 montre une même direction vectorielle, même si les sens sont opposés.

4. D — Vrai. Multiplier les deux coordonnées de $\overrightarrow{\text{u}}$ par −2 donne (−2 ; −4), exactement $\overrightarrow{\text{v}}$. Ce coefficient négatif indique en outre des sens opposés pour ces vecteurs.

5. E — Vrai. Le calcul direct donne 1 × (−4) − 2 × (−2) = −4 + 4 = 0, cohérent avec la colinéarité.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. La soustraction coordonnée par coordonnée donne (4 − (−1) ; 2 − 3) = (5 ; −1).

2. B — Faux. Leur déterminant vaut 2 × 3 − 1 × (−1) = 7 ≠ 0 : ils ont des directions distinctes.

3. C — Faux. Ce résultat additionne $\overrightarrow{\text{v}}$ au lieu de le soustraire : 2$\overrightarrow{\text{u}}$ + $\overrightarrow{\text{v}}$ = (3 ; 5), tandis que 2$\overrightarrow{\text{u}}$ − $\overrightarrow{\text{v}}$ = (5 ; −1).

4. D — Vrai. La somme des coordonnées vaut (2 + (−1) ; 1 + 3) = (1 ; 4).

5. E — Vrai. On multiplie chacune des deux coordonnées de $\overrightarrow{\text{u}}$ par 2 : (4 ; 2). Cette étape précède la soustraction du vecteur $\overrightarrow{\text{v}}$ dans $\overrightarrow{\text{w}}$ = 2$\overrightarrow{\text{u}}$ − $\overrightarrow{\text{v}}$.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. (4 ; 3) additionne les coordonnées de B et C. Il faut diviser chaque somme par 2 : le milieu est ((4 + 0)/2 ; (0 + 3)/2) = (2 ; 1,5).

2. B — Faux. Le seul angle droit déduit des segments [AB] et [AC], respectivement horizontal et vertical est en leur point commun A.

3. C — Faux. B(4 ; 0) se situe quatre unités horizontalement depuis A(0 ; 0), tandis que C(0 ; 3) se situe trois unités verticalement. Les longueurs sont donc AB = 4 et AC = 3.

4. D — Vrai. Pythagore dans le triangle rectangle donne BC² = 4² + 3² = 25, donc BC = 5.

5. E — Vrai. [AB] est porté par l’axe horizontal et [AC] par l’axe vertical d’un repère orthonormé ; ces axes sont perpendiculaires.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. On soustrait les coordonnées de P à celles de Q : (5 − 2 ; 3 − (−1)) = (3 ; 4).

2. B — Vrai. La relation de Chasles suit le trajet O→P→Q ; les coordonnées (2 ; −1) + (3 ; 4) = (5 ; 3) sont celles de $\overrightarrow{\text{OQ}}$.

3. C — Vrai. De l’origine O au point P, le déplacement a les coordonnées de P : (2 − 0 ; −1 − 0).

4. D — Faux. $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = (3 ; 4), tandis que $\overrightarrow{\text{OQ}}$ = (5 ; 3) : le premier décrit le changement de position, le second la position finale.

5. E — Vrai. Dans le repère orthonormé, la norme de (3 ; 4) est √(3² + 4²) = 5.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. $\overrightarrow{\text{AC}}$ = (4 ; 0), mais $\overrightarrow{\text{CA}}$ parcourt le segment en sens opposé. Ses coordonnées sont (−4 ; 0).

2. B — Faux. A et B ont exactement les mêmes coordonnées. Leur vecteur déplacement est (0 ; 0) et leur distance est 0, non 1.

3. C — Vrai. Ses coordonnées sont (−1 − (−1) ; 2 − 2) = (0 ; 0) ; le départ et l’arrivée coïncident.

4. D — Vrai. De A vers C, on ajoute 3 − (−1) = 4 en abscisse et 2 − 2 = 0 en ordonnée.

5. E — Faux. $\overrightarrow{\text{AB}}$ = (0 ; 0) alors que $\overrightarrow{\text{AC}}$ = (4 ; 0), vecteur non nul puisque A et C sont distincts.