Seconde · Mathématiques

Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Chapitre 11

15 questions originales à réponses multiples pour vérifier les notions, les méthodes et les points de vigilance du chapitre.

Prends du papier et un stylo. Nomme les événements, écris le groupe de référence et pose les calculs avant de cocher toutes les propositions justes. Plusieurs réponses peuvent convenir. Ouvre ensuite les corrections pour comparer ton raisonnement.

Comment répondre ?

Prévois une feuille et un stylo pour poser tes calculs et rédiger tes étapes. Chaque QCM propose cinq affirmations. Une ou plusieurs réponses peuvent être exactes. Coche-les, vérifie, puis ouvre la correction pour comprendre chaque proposition. Tu obtiens un point seulement si tu coches toutes les bonnes réponses, sans cocher de réponse fausse.

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Question 1

Des fiches de navigation

Un club classe ses sorties. On choisit uniformément une fiche dans ce lot fixé. A signifie « sortie en rivière » et B « sortie en kayak ». Les quatre effectifs sont : A et B, 21 ; A et non B, 14 ; non A et B, 9 ; non A et non B, 26.

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Réponse attendue : A, B, E

  1. A — Vrai. A regroupe les deux premières cases : 21 + 14 = 35 fiches. Le choix est uniforme dans les 70 fiches, donc on rapporte 35 à 70.

    Le calcul donne P(A) = 1/2.

  2. B — Vrai. « Sachant A » conserve seulement les 35 fiches de A. Parmi elles, 21 vérifient B. Le dénominateur est 35, et non 70.

    Le calcul donne P_A(B) = 3/5.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 21/70, celle du groupe de référence 35/70.

    P_A(B) = ((3)/(10))/((1)/(2))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (3)/(10)\times2 = (21)/(35) = (3)/(5).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  3. C — Faux. A regroupe les deux premières cases : 21 + 14 = 35 fiches. Le choix est uniforme dans les 70 fiches, donc on rapporte 35 à 70.

    Le calcul donne P(A) = 1/2.

  4. D — Faux. « Sachant A » conserve seulement les 35 fiches de A. Parmi elles, 21 vérifient B. Le dénominateur est 35, et non 70.

    Le calcul donne P_A(B) = 3/5.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 21/70, celle du groupe de référence 35/70.

    P_A(B) = ((3)/(10))/((1)/(2))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (3)/(10)\times2 = (21)/(35) = (3)/(5).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  5. E — Vrai. « Sachant B » conserve cette fois les 30 fiches de B. Le numérateur reste 21, mais le groupe de référence devient 30.

    Le calcul donne P_B(A) = 7/10.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 21/70, celle du groupe de référence 30/70.

    P_B(A) = ((3)/(10))/((3)/(7))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (3)/(10)×(7)/(3) = (21)/(30) = (7)/(10).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

Méthode à retenir. Écris le groupe de référence avant chaque quotient : tout le lot, A ou B.

Question 2

Le filtre des billets

Un théâtre archive ses billets. On choisit uniformément une fiche dans ce lot fixé. A signifie « achat au guichet » et B « billet réduit ». Les quatre effectifs sont : A et B, 18 ; A et non B, 22 ; non A et B, 12 ; non A et non B, 48.

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Réponse attendue : A, E

  1. A — Vrai. Pour inverser le conditionnement, on cherche A dans le groupe B, qui contient 18+12=30 fiches. On conserve 18 au numérateur.

    Le calcul donne P_B(A) = 3/5.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 18/100, celle du groupe de référence 30/100.

    P_B(A) = ((9)/(50))/((3)/(10))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (9)/(50)×(10)/(3) = (18)/(30) = (3)/(5).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  2. B — Faux. L’inverse arithmétique échange numérateur et dénominateur. Le conditionnement inverse conserve la case commune et remplace seulement la marge de référence.

    La case commune est 18. Dans A, on divise par 40 ; dans B, on divise par 30. Ainsi P_A(B) = 9/20 et P_B(A) = 3/5. Les deux groupes de référence décident de l’égalité : les quotients sont ici différents.

  3. C — Faux. Le complément doit garder la condition B. La bonne opération est 1 − 3/5 ; compléter une probabilité conditionnée par A répond à une autre question.

    Le calcul donne P_B(non A) = 2/5.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 12/100, celle du groupe de référence 30/100.

    P_B(non A) = ((3)/(25))/((3)/(10))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (3)/(25)×(10)/(3) = (12)/(30) = (2)/(5).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  4. D — Faux. B contient 30 fiches, dont 18 dans A. Il faut le quotient 18/30, pas l’inverse d’une autre conditionnelle.

    Le calcul donne P_B(A) = 3/5.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 18/100, celle du groupe de référence 30/100.

    P_B(A) = ((9)/(50))/((3)/(10))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (9)/(50)×(10)/(3) = (18)/(30) = (3)/(5).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  5. E — Vrai. On conditionne par A, dont la marge vaut 18+22=40, et on conserve la case 18.

    Le calcul donne P_A(B) = 9/20.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 18/100, celle du groupe de référence 40/100.

    P_A(B) = ((9)/(50))/((2)/(5))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (9)/(50)×(5)/(2) = (18)/(40) = (9)/(20).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

Méthode à retenir. Lis d’abord l’indice : il indique le groupe où le choix est désormais restreint.

Question 3

Billets et divisibilité

On tire uniformément un billet parmi les entiers de 1 à 24. A signifie « numéro multiple de 4 » et B « numéro supérieur ou égal à 17 ».

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Réponse attendue : C

  1. A — Faux. Les billets de A sont 4, 8, 12, 16, 20, 24. Leur intersection avec B contient 20, 24 : 2 billets. L’intersection n’est pas vide ; une même issue peut réaliser les deux événements.

  2. B — Faux. Les billets de A sont 4, 8, 12, 16, 20, 24. Leur intersection avec B contient 20, 24 : 2 billets. Additionner les marges ne calcule pas une intersection.

    Le calcul donne P(A∩ B) = 1/12.

    Ici aucune information ne réduit le tirage initial. La case favorable est rapportée au total du lot : P(A∩ B) = (2)/(24) = (1)/(12). La conditionnelle correspondante utiliserait une marge au dénominateur et répondrait à une autre question.

  3. C — Vrai. Les billets de A sont 4, 8, 12, 16, 20, 24. Leur intersection avec B contient 20, 24 : 2 billets. Sachant A, seuls ses 6 billets restent possibles.

    Le calcul donne P_A(B) = 1/3.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 2/24, celle du groupe de référence 6/24.

    P_A(B) = ((1)/(12))/((1)/(4))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (1)/(12)\times4 = (2)/(6) = (1)/(3).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  4. D — Faux. Additionner les deux effectifs compte deux fois les billets communs ; il faut soustraire cette intersection une fois.

    Le calcul donne P(A∪ B) = 1/2.

  5. E — Faux. Les billets de A sont 4, 8, 12, 16, 20, 24. Leur intersection avec B contient 20, 24 : 2 billets. Le dénominateur est l’effectif de A, pas celui de tout l’univers.

    Le calcul donne P_A(B) = 1/3.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 2/24, celle du groupe de référence 6/24.

    P_A(B) = ((1)/(12))/((1)/(4))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (1)/(12)\times4 = (2)/(6) = (1)/(3).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

Méthode à retenir. Liste les billets favorables avant de choisir le dénominateur.

Question 4

Secteurs et lettres

Une roue idéale comporte 12 secteurs de même angle : 2 portent la lettre A, 3 la lettre B, 7 la lettre C. Chaque secteur a la même chance. E signifie « la lettre obtenue est A ou B ».

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Réponse attendue : A, B, D, E

  1. A — Vrai. Sachant E, on conserve seulement les 5 secteurs A ou B. Les 2 secteurs A donnent le quotient 2/5.

    Le calcul donne P_E(A) = 2/5.

  2. B — Vrai. E réunit 2+3=5 secteurs distincts parmi les 12 secteurs équiprobables.

    Le calcul donne P(E) = 5/12.

  3. C — Faux. Le dénominateur 12 convient à P(A). Après l’information E, les secteurs C sont exclus : il reste 5 secteurs.

    Le calcul donne P_E(A) = 2/5.

  4. D — Vrai. L’équiprobabilité porte sur les 12 secteurs. Les lettres regroupent respectivement 2, 3 et 7 secteurs ; leurs probabilités suivent ces effectifs.

  5. E — Vrai. Le groupe E contient 5 secteurs, dont 3 B. A et B se complètent dans E.

    Le calcul donne P_E(B) = 3/5.

Méthode à retenir. Décide ce qui est équiprobable : ici les secteurs élémentaires.

Question 5

Reconstituer le registre

Une serre classe ses plants. Le lot fixé contient 100 fiches, dont 40 de catégorie A et 36 de catégorie B ; 24 ont les deux caractères. A signifie « plant sous abri » et B « plant fleuri ». On tire une fiche avec la même chance pour chacune.

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Réponse attendue : A, C, E

  1. A — Vrai. Les trois cases déjà connues totalisent 24+16+12=52. Leur complément dans le lot de 100 fiches vaut 100 − 52 = 48.

    Le calcul donne n(non A∩non B) = 48.

  2. B — Faux. La marge A comprend les deux cases A. Il faut retirer 24 fiches B avant d’isoler la case A et non B.

    Le calcul donne n(A∩ non B) = 16.

  3. C — Vrai. Dans les 40 fiches A, on retire les 24 fiches également B : 40 − 24 = 16.

    Le calcul donne n(A∩ non B) = 16.

  4. D — Faux. Le conditionnement par B impose la marge 36 au dénominateur, alors que 100 concerne tout le lot.

    Le calcul donne P_B(A) = 2/3.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 24/100, celle du groupe de référence 36/100.

    P_B(A) = ((6)/(25))/((9)/(25))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (6)/(25)×(25)/(9) = (24)/(36) = (2)/(3).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  5. E — Vrai. La marge B vaut 36. Elle contient 24 fiches A, donc il reste 36 − 24 = 12 fiches B hors de A.

    Le calcul donne n(non A∩ B) = 12.

Méthode à retenir. Complète les quatre cases par soustraction, puis vérifie les marges.

Question 6

Une catégorie sans dossier

On choisit uniformément un dossier dans un fichier de 80 dossiers. A signifie « déposé le dimanche ». Le service est fermé ce jour-là : aucun dossier n’est dans A. B signifie « envoyé en ligne » ; 24 dossiers réalisent B.

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Réponse attendue : B

  1. A — Faux. Zéro au numérateur ne suffit pas : le dénominateur serait également nul. La probabilité conditionnelle n’est pas définie, et ne reçoit pas la valeur zéro.

  2. B — Vrai. A ne contient aucun dossier. Son intersection avec tout événement est vide ; sa probabilité vaut zéro.

  3. C — Faux. Le tirage initial reste dans tout le fichier de 80 dossiers ; 56 serait la marge de non B.

    Le calcul donne P(B) = 3/10.

  4. D — Faux. Une catégorie vide est possible. Cela empêche seulement les conditionnements par cette catégorie, pas le choix uniforme dans le fichier non vide.

  5. E — Faux. La condition est B, dont l’effectif vaut 24>0. C’est P_A(B), dont la condition est vide, qui n’est pas définie.

Méthode à retenir. Vérifie que le groupe écrit en indice possède une probabilité strictement positive.

Question 7

Placer chaque branche

Un automate suit deux contrôles. A est le résultat de la première étape et B le résultat de la seconde. Le protocole fixe P(A) = 3/5, P_A(B) = 2/3 et P_{non A}(B) = 1/4. Les autres possibilités sont non A et non B.

Arbre à compléter : poids donnés 3/5, 2/3, 1/4. Les poids complémentaires sont remplacés par des points d’interrogation.
Les nombres écrits sont les données ; complète les poids manquants sur ton brouillon.
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Réponse attendue : B

  1. A — Faux. Le poids 2/3 concerne B sachant A. Le chemin entier inclut aussi la première branche : 3/5 × 2/3.

    Le calcul donne P(A∩ B) = 2/5.

    La règle du chemin donne successivement : P(A∩ B) = (3)/(5)×(2)/(3) = (2)/(5).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

  2. B — Vrai. Après non A, les deux poids font 1 : 1 − 1/4.

    Le calcul donne P_{non A}(non B) = 3/4.

  3. C — Faux. On complète à 1 deux branches partant du même nœud. Les branches situées après A gardent la condition A ; celles après non A gardent la condition non A.

    Le calcul donne P_A(non B) = 1/3.

  4. D — Faux. La règle de somme s’applique aux branches sortant d’un même nœud. Additionner celles de plusieurs nœuds mêle des groupes conditionnants différents.

  5. E — Faux. La branche complémentaire de A à la racine vaut 1 − 3/5. Le nombre 2/3 désigne une branche de deuxième étape.

    Le calcul donne P(non A) = 2/5.

Méthode à retenir. Entoure le nœud de départ avant de chercher la branche complémentaire.

Question 8

Deux validations

Un jeu valide deux étapes. A est le résultat de la première étape et B le résultat de la seconde. Le protocole fixe P(A) = 2/5, P_A(B) = 3/4 et P_{non A}(B) = 1/3. Les autres possibilités sont non A et non B.

Arbre à compléter : poids donnés 2/5, 3/4, 1/3. Les poids complémentaires sont remplacés par des points d’interrogation.
Les nombres écrits sont les données ; complète les poids manquants sur ton brouillon.
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Réponse attendue : A, E

  1. A — Vrai. Pour cet événement, on suit les deux branches du même chemin. Le premier poids vaut 2/5 ; le second, conditionné par cette première étape, vaut 3/4. On multiplie : 2/5 × 3/4 = 3/10. Le résultat ne dépasse aucun de ses deux facteurs, tous deux dans [0 ; 1].

    Le calcul donne P(A∩ B) = 3/10.

    La règle du chemin donne successivement : P(A∩ B) = (2)/(5)×(3)/(4) = (3)/(10).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

  2. B — Faux. Pour cet événement, on suit les deux branches du même chemin. Le premier poids vaut 3/5 ; le second, conditionné par cette première étape, vaut 1/3. On multiplie : 3/5 × 1/3 = 1/5. Le résultat ne dépasse aucun de ses deux facteurs, tous deux dans [0 ; 1]. Additionner des branches ou conserver seulement le dernier poids ne calcule pas le chemin.

    Le calcul donne P(non A∩ B) = 1/5.

    La règle du chemin donne successivement : P(non A∩ B) = (3)/(5)×(1)/(3) = (1)/(5).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

  3. C — Faux. Pour cet événement, on suit les deux branches du même chemin. Le premier poids vaut 3/5 ; le second, conditionné par cette première étape, vaut 2/3. On multiplie : 3/5 × 2/3 = 2/5. Le résultat ne dépasse aucun de ses deux facteurs, tous deux dans [0 ; 1]. Additionner des branches ou conserver seulement le dernier poids ne calcule pas le chemin.

    Le calcul donne P(non A∩non B) = 2/5.

    La règle du chemin donne successivement : P(non A∩non B) = (3)/(5)×(2)/(3) = (2)/(5).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

  4. D — Faux. Pour cet événement, on suit les deux branches du même chemin. Le premier poids vaut 2/5 ; le second, conditionné par cette première étape, vaut 3/4. On multiplie : 2/5 × 3/4 = 3/10. Le résultat ne dépasse aucun de ses deux facteurs, tous deux dans [0 ; 1]. Additionner des branches ou conserver seulement le dernier poids ne calcule pas le chemin.

    Le calcul donne P(A∩ B) = 3/10.

    La règle du chemin donne successivement : P(A∩ B) = (2)/(5)×(3)/(4) = (3)/(10).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

  5. E — Vrai. Pour cet événement, on suit les deux branches du même chemin. Le premier poids vaut 3/5 ; le second, conditionné par cette première étape, vaut 1/3. On multiplie : 3/5 × 1/3 = 1/5. Le résultat ne dépasse aucun de ses deux facteurs, tous deux dans [0 ; 1].

    Le calcul donne P(non A∩ B) = 1/5.

    La règle du chemin donne successivement : P(non A∩ B) = (3)/(5)×(1)/(3) = (1)/(5).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

Méthode à retenir. Nomme le chemin puis multiplie uniquement les poids qui le composent.

Question 9

Un dessin à vérifier

Un dessin porte P(A) = 7/10 et P(non A) = 2/5 à la racine. Après A, il porte 2/5 et 3/5 ; après non A, 3/5 et 2/5. Le protocole confirme P(A) et les deux poids vers B.

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Réponse attendue : A, C, E

  1. A — Vrai. Après A : 2/5+3/5=1. Après non A : 3/5+2/5=1. Ces deux contrôles doivent rester séparés.

  2. B — Faux. Le poids 2/5 concerne B sachant A. Il ne donne pas le complément du premier résultat.

    Le calcul donne P(non A) = 3/10.

  3. C — Vrai. Elle vaut 7/10 + 2/5 = 11/10, alors qu’A et non A doivent totaliser 1.

  4. D — Faux. Le chemin se calcule par produit. La somme des probabilités de ses étapes ne représente pas leur réalisation conjointe.

    Le calcul donne P(A∩ B) = 7/25.

    La règle du chemin donne successivement : P(A∩ B) = (7)/(10)×(2)/(5) = (7)/(25).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

  5. E — Vrai. La première branche A et la branche B après A sont confirmées. Leur produit vaut 7/10 × 2/5.

    Le calcul donne P(A∩ B) = 7/25.

    La règle du chemin donne successivement : P(A∩ B) = (7)/(10)×(2)/(5) = (7)/(25).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

Méthode à retenir. Contrôle une somme par nœud ; utilise les données confirmées pour choisir le poids à corriger.

Question 10

Retrouver le deuxième poids

Un arbre donne P(A) = 3/4, P(A∩ B) = 9/20 et P_{non A}(B) = 1/5. On cherche la branche B après A.

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Réponse attendue : A, D

  1. A — Vrai. Le chemin impose 3/4 × q = 9/20. Comme 3/4>0, on divise par 3/4 : q = 9/20 ÷ 3/4 = 3/5. On contrôle par substitution dans le produit.

    Le calcul donne P_A(B) = 3/5.

  2. B — Faux. Le chemin impose 3/4 × q = 9/20. Comme 3/4>0, on divise par 3/4 : q = 9/20 ÷ 3/4 = 3/5. On contrôle par substitution dans le produit. Inverser cette division donnerait un nombre supérieur à 1 dans cette situation.

  3. C — Faux. Le complément de tout le chemin A∩B inclut aussi les chemins passant par non A. Pour rester dans A, on soustrait 9/20 de 3/4, pas de 1.

    Le calcul donne P(A∩non B) = 3/10.

    La règle du chemin donne successivement : P(A∩non B) = (3)/(4)×(2)/(5) = (3)/(10).

    Contrôle : les deux facteurs sont des probabilités entre 0 et 1 ; leur produit ne peut donc dépasser la probabilité de la première branche. Le poids du deuxième nœud seul ne décrit pas l’ensemble du chemin.

  4. D — Vrai. L’intersection est incluse dans A. Dans le produit P(A)×P_A(B), le second facteur appartient à [0 ; 1], donc le produit ne peut pas dépasser P(A).

  5. E — Faux. On conserve la condition A. Le poids vers B après non A appartient à un autre nœud.

    Le calcul donne P_A(non B) = 2/5.

Méthode à retenir. Pose l’équation « première branche × branche inconnue = chemin », puis isole l’inconnue.

Question 11

Trois portes du parcours

Un parcours s’arrête au premier échec. La première porte est franchie avec probabilité 4/5 ; sachant la première franchie, la deuxième l’est avec probabilité 3/5 ; sachant les deux premières franchies, la troisième l’est avec probabilité 5/8. R1, R2 et R3 désignent ces réussites.

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Réponse attendue : A, C, E

  1. A — Vrai. Le dernier poids est conditionné par les deux premières réussites. Le chemin complet multiplie successivement 4/5, 3/5 et 5/8.

    Le calcul donne P(R1∩ R2∩ R3) = 3/10.

  2. B — Faux. Cet événement exige d’abord R1, puis l’échec 2 : on calcule P(R1)×(1−P_R1(R2)). Le poids 1−P_R1(R2) seul suppose déjà la première porte franchie ; il manque le premier facteur.

    Le calcul donne P(échec 2 après réussite 1) = 8/25.

  3. C — Vrai. La première réussite et le premier échec se complètent : 1 − 4/5. Les portes suivantes ne sont pas tentées après cet échec.

    Le calcul donne P(échec 1) = 1/5.

  4. D — Faux. Le protocole conditionne ce poids par tout le début du chemin : les deux premières portes franchies. Dans un arbre à trois étapes, le dernier nœud porte l’information des étapes précédentes.

  5. E — Vrai. Les deux premières portes réussies donnent 12/25. À ce nœud, échouer à la troisième a probabilité 1 − 5/8 = 3/8.

    Le calcul donne P(R1∩ R2∩échec 3) = 9/50.

Méthode à retenir. Le troisième facteur doit être conditionné par tout le début du chemin.

Question 12

Deux jetons conservés

Un sac contient 6 jetons rouges et 4 jetons bleus. On effectue deux tirages successifs sans remettre le premier jeton. À chaque tirage, chaque jeton présent a la même chance. A signifie « premier rouge » et B « deuxième rouge ».

Stock initial : 6 éléments rouges, 4 éléments bleus. Aucun stock après tirage ni résultat de probabilité n’est donné.
Utilise ce stock initial ; reporte chaque retrait sur ton brouillon.
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Réponse attendue : A, D, E

  1. A — Vrai. Après le premier bleu, il reste 6 rouges parmi les 9 jetons encore présents. Le numérateur rouge ne diminue pas.

    Le calcul donne P_{non A}(B) = 2/3.

    Écriture du quotient après la règle de tirage : P_{non A}(B) = (6)/(9) = (2)/(3). Le numérateur compte les jetons de la couleur recherchée ; le dénominateur compte tous les jetons disponibles à cette étape, après le retrait et la remise éventuelle.

  2. B — Faux. Les jetons sont équiprobables individuellement, mais les couleurs regroupent 6 et 4 jetons. Les probabilités 6/10 et 4/10 sont différentes.

  3. C — Faux. P_A(B) est une branche conditionnelle. Deux rouges depuis le début exigent aussi le premier rouge : 3/5 × 5/9.

    Le calcul donne P(A∩ B) = 1/3.

  4. D — Vrai. Après le premier rouge, le retrait laisse 5 rouges parmi 9 jetons. La deuxième branche vaut 5/9.

    Le calcul donne P_A(B) = 5/9.

    Écriture du quotient après la règle de tirage : P_A(B) = (5)/(9) = (5)/(9). Le numérateur compte les jetons de la couleur recherchée ; le dénominateur compte tous les jetons disponibles à cette étape, après le retrait et la remise éventuelle.

  5. E — Vrai. Rouge puis bleu suit un chemin ordonné. On multiplie 6/10 par 4/9, puisque le premier rouge ne retire aucun bleu.

    Le calcul donne P(A∩non B) = 4/15.

Méthode à retenir. Décris d’abord ce que contient le sac après la première couleur ; écris ensuite le quotient.

Question 13

Des cartes de trois couleurs

Une boîte contient 4 cartes rouges, 3 bleues et 2 blanches, toutes distinctes. On tire successivement deux cartes sans remise, chaque carte présente ayant la même chance. R_i, B_i et H_i désignent les trois couleurs au tirage i.

Stock initial : 4 éléments rouges, 3 éléments bleus, 2 éléments blancs. Aucun stock après tirage ni résultat de probabilité n’est donné.
Utilise ce stock initial ; reporte chaque retrait sur ton brouillon.
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Réponse attendue : A, B, E

  1. A — Vrai. Deux blanches : le premier quotient est 2/9, le second (2−1)/(9−1). On multiplie les deux.

    Le calcul donne P(H_1∩ H_2) = 1/36.

  2. B — Vrai. Après une blanche, son effectif est réduit à 1 sur les 8 cartes restantes.

    Le calcul donne P_{H_1}(H_2) = 1/8.

  3. C — Faux. Le premier retrait est rouge, donc il ne retire aucune bleue. Seul l’effectif rouge diminue.

    Le calcul donne P_{R_1}(B_2) = 3/8.

  4. D — Faux. Trois couleurs ne signifient pas trois issues équiprobables. Les 9 cartes sont équiprobables individuellement ; 4 sont rouges.

    Le calcul donne P(R_1) = 4/9.

  5. E — Vrai. Le chemin rouge puis bleu vaut (4/9)×(3/8). Les couleurs sont ordonnées dans le récit.

    Le calcul donne P(R_1∩ B_2) = 1/6.

Méthode à retenir. Retire une seule carte de la couleur effectivement tirée, puis compte le total restant.

Question 14

Une alerte sur les enveloppes

Un appareil repère des enveloppes mal fermées. Dans ce lot fixé de 200 objets, 30 ont réellement un défaut : 27 sont signalés et 3 ne le sont pas. Parmi les 170 objets sans défaut, 21 sont signalés. On choisit uniformément un objet. D signifie « défaut réel » et S « signal ».

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Réponse attendue : B, D, E

  1. A — Faux. La sensibilité conditionne par D. La probabilité d’un défaut sachant un signal conditionne par S : le bon groupe contient 48 objets.

    Le calcul donne P_S(D) = 9/16.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 27/200, celle du groupe de référence 48/200.

    P_S(D) = ((27)/(200))/((6)/(25))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (27)/(200)×(25)/(6) = (27)/(48) = (9)/(16).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  2. B — Vrai. La spécificité cherche les objets non signalés parmi les 170 sans défaut. Il y en a (170−21)=149.

    Le calcul donne P_{non D}(non S) = 149/170.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 149/200, celle du groupe de référence 170/200.

    P_{non D}(non S) = ((149)/(200))/((17)/(20))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (149)/(200)×(20)/(17) = (149)/(170) = (149)/(170).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  3. C — Faux. 21/48 décrit la part de faux positifs parmi les signalés. Le taux demandé ici est parmi les objets sans défaut : le dénominateur est 170.

    Le calcul donne P_{non D}(S) = 21/170.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 21/200, celle du groupe de référence 170/200.

    P_{non D}(S) = ((21)/(200))/((17)/(20))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (21)/(200)×(20)/(17) = (21)/(170) = (21)/(170).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  4. D — Vrai. Le signal est maintenant connu. Les 48 objets signalés comprennent 27 vrais défauts : 27/48.

    Le calcul donne P_S(D) = 9/16.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 27/200, celle du groupe de référence 48/200.

    P_S(D) = ((27)/(200))/((6)/(25))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (27)/(200)×(25)/(6) = (27)/(48) = (9)/(16).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

  5. E — Vrai. Un faux positif est un signal sur un objet sans défaut. Parmi les 170 sans défaut, les 21 signaux donnent 21/170.

    Le calcul donne P_{non D}(S) = 21/170.

    On peut retrouver le même quotient par la définition : la probabilité de la case commune vaut 21/200, celle du groupe de référence 170/200.

    P_{non D}(S) = ((21)/(200))/((17)/(20))

    Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse : (21)/(200)×(20)/(17) = (21)/(170) = (21)/(170).

    Le total du fichier se simplifie. Le dénominateur final désigne bien le groupe imposé par « sachant » ; le résultat reste compris entre 0 et 1.

Méthode à retenir. Nomme le groupe de référence de chaque taux ; sensibilité et probabilité inverse portent sur des groupes différents.

Question 15

Régler le badge du jeu

Un jeu obtient A à la première étape avec probabilité 2/5. Après A, le résultat B a probabilité réglable x dans [0 ; 1]. Après non A, B a probabilité 1/4. Le gain exige A et B. On veut une probabilité de gain exactement égale à 3/20.

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Réponse attendue : E

  1. A — Faux. x est seulement la branche B sachant A. Pour le gain depuis le début, il faut aussi obtenir A ; le produit est 2/5x.

  2. B — Faux. Isoler x dans 2/5x=3/20 exige de diviser par 2/5, pas de multiplier les deux données.

    Le calcul donne x = 3/8.

  3. C — Faux. Pour tout x dans [0 ; 1], le produit 2/5x reste compris entre 0 et 2/5. L’intersection A∩B ne peut pas être plus probable que A.

  4. D — Faux. La branche contraire de B après A dépend du réglage x à ce nœud. Le poids après non A concerne un autre groupe.

    Le calcul donne P_A(non B) = 5/8.

  5. E — Vrai. L’équation est 2/5x=3/20. Le coefficient 2/5 est positif, donc on divise les deux membres par lui.

    Le calcul donne x = 3/8.

Méthode à retenir. Pose la probabilité du gain avant l’équation ; contrôle que le réglage appartient à [0 ; 1].

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Après le QCM : Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

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