Nombres réels et intervalles

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Les naturels sont les entiers non négatifs ; −3 est négatif. Le signe du nombre suffit ici à rejeter l'appartenance aux entiers naturels.

2. B — Vrai. Le nombre −3 admet l’écriture décimale finie −3,0 ; il appartient donc aux décimaux. Une partie fractionnaire nulle donne bien une écriture décimale finie.

3. C — Vrai. Tout entier est rationnel : −3 peut s’écrire comme quotient −3/1 d’entiers, avec dénominateur non nul. Cette écriture satisfait la définition d'un rationnel, même avec un numérateur négatif.

4. D — Vrai. −3 est un entier relatif ; les entiers négatifs sont compris dans ℤ. La chaîne d'inclusions place ensuite ce nombre aussi dans les ensembles décimaux, rationnels et réels.

5. E — Faux. Les inclusions ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ montrent que l’entier −3 est aussi réel. Un entier négatif figure donc aussi parmi les points de la droite réelle.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. 1/8 = 0,125, une écriture décimale finie ; 1/8 appartient à 𝔻. On obtient cette écriture car 8 × 125 = 1000, donc 1/8 = 125/1000.

2. B — Vrai. Irrationnel signifie réel non rationnel : √2 reste un point de la droite réelle. Ne pas être rationnel ne retire pas l'appartenance à l'ensemble des réels.

3. C — Faux. Son écriture 0,333… ne s’arrête pas. Un nombre décimal doit posséder une écriture décimale finie. Le chiffre 3 se répète indéfiniment après la virgule, sans dernière décimale.

4. D — Faux. Le quotient 1/3 appartient aux rationnels, mais il est strictement compris entre 0 et 1. Aucun entier relatif ne se situe strictement entre ces deux bornes.

5. E — Faux. √2 ne peut s’écrire comme quotient de deux entiers ; c’est un exemple d’irrationnel. Sa valeur peut être approchée, mais aucune fraction d'entiers ne la représente exactement.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. À droite le crochet « [ » est ouvert du point de vue de la borne 5 : seuls les x strictement inférieurs à 5 appartiennent à I.

2. B — Vrai. Le crochet à −2 inclut cette borne, celui tourné vers l’extérieur à 5 l’exclut. Par exemple, x = −2 convient et x = 5 échoue : les deux crochets sont ainsi vérifiés.

3. C — Faux. Cette écriture exclut −2 et inclut 5, exactement l’inverse du statut des deux bornes de I. Tester chacune des bornes suffit à distinguer les deux intervalles proposés.

4. D — Vrai. C’est la traduction en mots de −2 ≤ x < 5, y compris la borne gauche. L'ordre des bornes impose aussi que chaque x retenu soit supérieur ou égal à −2.

5. E — Vrai. La borne gauche −2 est incluse par le crochet fermé « [ ». La valeur x = −2 satisfait à la fois x ≥ −2 et x < 5.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. Même si 1 appartient à A, il est exclu de B = ]1 ; 6[ ; une intersection exige les deux appartenances.

2. B — Vrai. Il faut simultanément x > 1 (contrainte de B) et x ≤ 2 (contrainte de A). La borne 1 est exclue, 2 incluse.

3. C — Faux. Par exemple 1,5 vérifie −3 ≤ 1,5 ≤ 2 et 1 < 1,5 < 6 ; elle contient donc des réels.

4. D — Faux. Cette grande plage correspond à la réunion A ∪ B, pas à la partie commune.

5. E — Vrai. 2 appartient à A, car la borne est fermée, et 2 appartient à B puisque 1 < 2 < 6.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. −3 est compris entre −5 et −2, donc appartient à A et par conséquent à A ∪ B.

2. B — Faux. 0 n’appartient ni à A, qui s’arrête en −2, ni à B, qui commence en 1.

3. C — Vrai. Tout élément de A est au plus −2 tandis que tout élément de B est au moins 1 : aucun réel n’appartient aux deux.

4. D — Faux. L’intervalle [−5 ; 4] contiendrait notamment 0, alors que la réunion laisse un trou entre −2 et 1.

5. E — Vrai. A et B sont non vides, et leur intersection est vide. Leur réunion comporte donc deux morceaux séparés.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. |0 − 3| = 3, ce qui dépasse la distance maximale 2. Ce test direct suffit à réfuter la proposition ponctuelle.

2. B — Faux. La relation |x − 3| ≤ 2 autorise une distance exactement égale à 2. Les deux bornes 1 et 5 sont donc comprises : l’intervalle correct est [1 ; 5].

3. C — Vrai. Par définition, |x − 3| est la distance sur la droite graduée entre les points d’abscisses x et 3.

4. D — Faux. Cette description vise l’extérieur de [1 ; 5]. La condition « au plus 2 » sélectionne l’intérieur, bornes incluses.

5. E — Faux. La distance de 6 au centre 3 vaut |6 − 3| = 3. Elle dépasse le rayon autorisé 2, donc 6 est exclu.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. −1 − 3 ≤ x ≤ −1 + 3 se réécrit −4 ≤ x ≤ 2. Les deux bornes sont incluses parce que l'inégalité autorise une distance égale à 3.

2. B — Vrai. |x − (−1)| mesure la distance entre x et −1. On calcule ensuite les extrémités en retirant et ajoutant le rayon 3 à ce centre.

3. C — Faux. |3 + 1| = 4 > 3 : 3 est hors de l’intervalle solution. La distance de 3 au centre −1 vaut 4, ce qui confirme le rejet.

4. D — Faux. Cet intervalle serait centré en 1, tandis que l’expression x + 1 est nulle en x = −1. Vérifier le centre évite de confondre l'expression x + 1 avec x − 1.

5. E — Vrai. Le nombre 3 borne la distance maximale du point x au centre −1. Ses extrémités se calculent −1 − 3 et −1 + 3, soit −4 et 2.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. −1 n’est pas strictement inférieur à lui-même et n’est pas supérieur ou égal à 2.

2. B — Vrai. La première inégalité exclut −1 ; la seconde inclut 2. Le « ou » unit les deux demi-droites.

3. C — Faux. Le complémentaire contient −1 (absent de E) et exclut 2 (présent dans E), donc les crochets de cette proposition sont inversés.

4. D — Vrai. Ne satisfaire ni x < −1 ni x ≥ 2 revient à vérifier simultanément x ≥ −1 et x < 2.

5. E — Vrai. La seconde condition est large, x ≥ 2 ; son égalité est admise. Ainsi, le crochet de la demi-droite en 2 est fermé.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. 1,4² = 1,96 < 2 et 1,5² = 2,25 > 2 ; comme les trois nombres sont positifs, l’ordre des carrés donne cet encadrement.

2. B — Vrai. √2 est défini comme longueur réelle positive dont le carré vaut 2. Comme 2 ≥ 0, la racine carrée est définie dans ℝ et donne un nombre réel positif.

3. C — Vrai. L’encadrement strict 1,4 < √2 < 1,5 entraîne aussi l’appartenance à l’intervalle fermé plus large. Les bornes incluses couvrent bien toutes les valeurs strictement comprises entre elles.

4. D — Faux. L’irrationalité de √2 signifie précisément qu’il ne peut être quotient de deux entiers. Une approximation décimale de √2 ne transforme pas le nombre exact en rationnel.

5. E — Faux. 1,41² = 1,9881 ≠ 2 ; 1,41 peut servir d’approximation, pas de valeur exacte. L'égalité exacte exigerait que le carré de 1,41 soit précisément égal à 2.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. On soustrait les bornes décimales : 3,15 − 3,14 = 0,01 = 10⁻². Cette amplitude mesure la largeur, et non la valeur approchée de π.

2. B — Faux. Chaque borne possède une écriture décimale finie : par exemple 3,14 = 314/100. Ce sont des décimaux donc des rationnels, contrairement à π.

3. C — Faux. La seule information 3,14 < π < 3,15 ne précise pas de quel côté de 3,145 se trouve π.

4. D — Vrai. Les inégalités sont strictes de chaque côté ; elles désignent exactement cet intervalle ouvert. L'absence des bornes traduit précisément les deux signes stricts.

5. E — Faux. L’encadrement annonce explicitement π > 3,14 ; 3,14 est une borne approchée. Être strictement supérieur à une borne exclut l'égalité avec cette borne.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Leurs numérateurs après mise au même dénominateur sont 14 et 15, différents ; la différence est 1/24. On peut contrôler l'inégalité en soustrayant : une différence non nulle exclut l'égalité.

2. B — Vrai. La soustraction à dénominateur commun donne 15/24 − 14/24 = 1/24. Le résultat positif confirme aussi que 5/8 est la plus grande des deux fractions.

3. C — Vrai. On multiplie numérateur et dénominateur par 2, ce qui préserve la valeur de la fraction. Multiplier les deux termes est nécessaire pour ne pas changer la valeur du quotient.

4. D — Faux. Avec le même dénominateur positif, 14/24 < 15/24 ; donc 7/12 < 5/8. La comparaison des numérateurs est permise car les dénominateurs sont identiques et positifs.

5. E — Vrai. On multiplie numérateur et dénominateur par 3 pour obtenir le même dénominateur 24. Cette étape prépare la comparaison directe avec la fraction 14/24.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Résoudre 2 − 3x = 0 donne x = 2/3, bien compris entre −1 et 3 ; donc y peut valoir 0.

2. B — Faux. La borne inférieure doit s’écrire d’abord : −7 ≤ 5. Le coefficient −3 inverse le sens de variation.

3. C — Vrai. Multiplier −1 ≤ x ≤ 3 par −3 inverse les inégalités : 3 ≥ −3x ≥ −9. Ajouter 2 donne 5 ≥ y ≥ −7.

4. D — Vrai. On remplace x par −1 : y = 2 − 3 × (−1) = 2 + 3 = 5.

5. E — Vrai. À l’autre borne, y = 2 − 3 × 3 = 2 − 9 = −7.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. La condition n < 3 est stricte : l’entier 3 est exclu. Le plus grand entier admis est donc 2, juste avant cette borne.

2. B — Faux. L’intervalle de réels [−2 ; 3[ contient aussi −1,5 ou √2 ; F ne retient que ses éléments entiers.

3. C — Faux. On énumère les entiers autorisés : −2, −1, 0, 1, 2. La borne 3 est exclue, donc F ne compte que cinq éléments.

4. D — Vrai. On énumère les entiers depuis −2 inclus jusqu’aux entiers strictement inférieurs à 3, dont le dernier est 2.

5. E — Vrai. La condition −2 ≤ n inclut l’égalité ; −2 est bien un entier. La borne gauche est fermée et ce nombre satisfait aussi n < 3.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. L’égalité est autorisée à la borne gauche, et −3 est aussi strictement inférieur à 2.

2. B — Faux. La réunion contient tout réel, puisque chaque x satisfait au moins une des deux conditions ; elle ne représente pas les contraintes simultanées.

3. C — Vrai. La borne −3 est autorisée par ≥ ; la borne 2 est exclue par <.

4. D — Vrai. La première demi-droite représente x ≥ −3, la seconde x < 2 ; « simultanément » demande leur intersection.

5. E — Faux. La seconde condition est x < 2, stricte ; x = 2 est donc exclu même s’il satisfait x ≥ −3.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. La moyenne des deux abscisses est (−2,5 + 1,5)/2 = −1/2 = −0,5. Ce milieu est à égale distance de −2,5 et de 1,5.

2. B — Vrai. Les extrémités appartiennent au segment et toutes les abscisses entre elles aussi. Un segment fermé inclut toujours ses deux extrémités, contrairement à un intervalle ouvert.

3. C — Vrai. La distance entre les abscisses est |1,5 − (−2,5)| = |4| = 4. Soustraire un nombre négatif ajoute sa valeur absolue, ici 2,5.

4. D — Vrai. Le centre est −0,5 et chaque extrémité se trouve à distance 2 : |x − (−0,5)| ≤ 2. La distance du centre à chaque borne se calcule en divisant 4 par 2.

5. E — Faux. La longueur totale est 4 ; la distance du milieu à chaque extrémité est la moitié, soit 2. La confusion provient de prendre la longueur totale pour celle d'un demi-segment.