Fonctions affines et variations

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Une fonction affine s’écrit mx + p ; le coefficient de x est ici m = 2.

2. B — Faux. L’ordonnée à l’origine est f(0) = 2 × 0 − 3 = −3. Le coefficient constant porte ici un signe négatif.

3. C — Faux. Le calcul direct donne f(2) = 2 × 2 − 3 = 1, et non −1. Substituer l’abscisse demandée suffit : l’image 1 est positive, alors que −1 est négatif.

4. D — Vrai. Son coefficient directeur 2 est strictement positif : lorsque x augmente d’une unité, f(x) augmente de 2.

5. E — Faux. L’équation 2x − 3 = 0 donne 2x = 3, soit x = 3/2. Pour x = 3, l’image vaut 3 et ne s’annule pas.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Le coefficient directeur vaut −3 < 0 : chaque augmentation de x fait diminuer l’image.

2. B — Vrai. −3 × 2 + 6 = 0 ; la droite coupe l’axe horizontal au point d’abscisse 2.

3. C — Faux. −3 × (−1) + 6 = 3 + 6 = 9, et non 3. Le produit de deux nombres négatifs, −3 et −1, est positif avant l’ajout de 6.

4. D — Faux. La fonction est décroissante et nulle en 2 : à droite de 2 ses images sont négatives.

5. E — Vrai. En remplaçant x par 0, le terme −3x disparaît ; l’ordonnée à l’origine vaut 6.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Avec une pente de 3, f(x) = 3x + p. Comme A appartient à la droite, −2 = 3 × (−1) + p, donc p = 1.

2. B — Vrai. L’expression déterminée à partir des deux points est f(x) = 3x + 1 ; en remplaçant x par 1, on obtient f(1) = 4.

3. C — Vrai. On divise la variation des ordonnées par celle des abscisses : (7 − (−2))/(2 − (−1)) = 9/3 = 3 ; les abscisses sont distinctes.

4. D — Faux. Il faut calculer variation verticale divisée par variation horizontale, soit 9/3 = 3. La valeur 1/3 inverse à tort le quotient obtenu.

5. E — Faux. L’image de 0 vaut f(0) = 1. L’origine (0 ; 0) n’appartient pas à cette droite, dont l’ordonnée à l’origine vaut 1.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. La pente est −1 < 0 : h décroît lorsque x augmente. Le signe négatif est vérifiable avec h(−2) = 4 et h(2) = 0.

2. B — Faux. Le point B(2 ; 0) montre que la racine est 2 ; h(−2) = 4 ne s’annule pas.

3. C — Vrai. L’ordonnée à l’origine de h(x) = −x + 2 vaut 2. Le point d’abscisse nulle se trouve à mi-chemin entre A et B, et son ordonnée vaut 2.

4. D — Vrai. On écrit h(x) = −x + p puis on utilise B : 0 = −2 + p, donc p = 2.

5. E — Vrai. Pour aller de A à B, l’ordonnée diminue de 4 tandis que l’abscisse augmente de 4. Le taux d’accroissement est donc (0 − 4)/(2 − (−2)) = −4/4 = −1.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. (f(2) − f(0))/(2 − 0) = (7 − 3)/2 = 2. Ce même taux doit être retrouvé entre les autres valeurs si la fonction est réellement affine.

2. B — Vrai. La pente commune vaut 2 et f(0) = 3 fournit l’ordonnée à l’origine : f(x) = 2x + 3.

3. C — Faux. Une fonction linéaire vérifierait f(0) = 0 ; ici f(0) = 3, donc elle est affine sans être linéaire.

4. D — Vrai. (13 − 7)/(5 − 2) = 6/3 = 2, cohérent avec une pente constante. Le résultat coïncide avec celui calculé entre les abscisses 0 et 2.

5. E — Vrai. Avec la règle f(x) = 2x + 3, on obtient f(4) = 8 + 3 = 11.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. La variable représente une distance parcourue : la contrainte physique donnée est d ≥ 0 km.

2. B — Vrai. Résoudre 5 € + (2 €·km⁻¹)d = 35 € donne (2 €·km⁻¹)d = 30 €, puis d = 15 km.

3. C — Vrai. On additionne 5 € et 2 €·km⁻¹ × 10 km = 20 €, soit 25 €.

4. D — Faux. 5 € est la part fixe. Chaque kilomètre ajoute 2 €, donc la pente vaut 2 €·km⁻¹.

5. E — Vrai. La part fixe reste due : C(0) = 5 + 2 × 0 = 5 €. La distance nulle retire seulement la part variable de 2 € par kilomètre, pas la prise en charge.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Le coefficient de n dans B(n) = 20 + n est 1 € par utilisation ; c’est A qui augmente de 3 € par utilisation.

2. B — Vrai. A(n) − B(n) = 2n − 10 < 0 si n < 5 ; la différence négative signifie A moins cher.

3. C — Faux. Dans ce cas 2n − 10 > 0, donc A(n) > B(n) et B devient moins cher. Le seuil d’égalité est n = 5 ; après ce seuil, la pente de A est plus forte.

4. D — Vrai. À n = 0, A(0) = 10 € tandis que B(0) = 20 € ; sa part fixe est donc plus faible.

5. E — Vrai. 10 + 3n = 20 + n donne 2n = 10, donc n = 5 ; les deux tarifs valent alors 25 €.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. Sa pente 1/2 est positive ; l’image augmente lorsque x augmente. Quand x augmente de 2 unités, y augmente de 1 unité ; le sens est donc croissant.

2. B — Faux. Sur l’axe horizontal y = 0 : x/2 + 1 = 0 donne x = −2, pas 2.

3. C — Vrai. Dans la forme y = mx + p, le coefficient de x est m = 1/2.

4. D — Faux. Pour l’abscisse 4, l’équation donne y = 4/2 + 1 = 3. Le point d’ordonnée 2 ne vérifie donc pas l’équation.

5. E — Faux. L’équation donne y = 0/2 + 1 = 1 lorsque x = 0. La droite coupe l’axe des ordonnées en (0 ; 1), pas à l’origine.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Comme 1 appartient à ]0 ; 3] où f décroît strictement, f(1) < f(0) = 5.

2. B — Faux. Elle décroît explicitement sur [0 ; 3] après le maximum en x = 0. L’information sur [0 ; 3] contredit immédiatement une croissance sur l’intervalle entier.

3. C — Vrai. Sur les deux intervalles monotones, le plus petit des trois niveaux extrêmes est f(−2) = 1.

4. D — Faux. Les variations seules encadrent f(−1) entre 1 et 5 ; aucune formule ne permet d’imposer la valeur 3.

5. E — Vrai. Les images montent de 1 à 5 puis descendent à 2 ; la valeur 5 au point x = 0 domine le domaine décrit.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Son coefficient −1 est négatif ; elle décroît quand l’abscisse augmente. La comparaison f(2) = 5 et f(6) = 1 confirme directement cette baisse.

2. B — Vrai. Le rapport des variations est (1 − 5)/(6 − 2) = −4/4 = −1. L’image passe de 5 à 1 lorsque x passe de 2 à 6.

3. C — Vrai. Avec la pente −1, f(x) = −x + p. La valeur f(2) = 5 donne 5 = −2 + p, soit p = 7.

4. D — Vrai. Dans la forme affine −x + 7, le terme constant est l’image de 0. On peut aussi remonter de f(2) = 5 de deux unités de pente négative.

5. E — Vrai. Résoudre −x + 7 = 0 donne x = 7, ce qui peut être contrôlé par f(7) = 0.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Puisque 1 < 3 et que f décroît strictement, f(3) < f(1) = 9. La stricte décroissance impose une inégalité stricte pour deux abscisses distinctes du domaine.

2. B — Vrai. Sur un intervalle de décroissance, les images suivent l’ordre inverse des abscisses. Puisque 3 < 8, f(3) > f(8), et la valeur donnée f(8) = −2 donne f(3) > −2.

3. C — Faux. Pour une fonction strictement décroissante, la valeur la plus petite est prise à la borne droite 8. Elle vaut f(8) = −2 ; 9 est le maximum.

4. D — Faux. Les seules valeurs et le sens de variation donnent −2 < f(3) < 9, pas une valeur exacte.

5. E — Faux. Les valeurs données sont −2 et 9 : −2 < 9, conformément à la décroissance.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. À la borne gauche : 4 − 2 × (−1) = 6. Cette image est la plus grande sur le segment, puisque le coefficient directeur −2 est négatif.

2. B — Vrai. La pente −2 rend f décroissante ; elle passe de 6 à la borne gauche à −2 à la borne droite, avec toutes les valeurs intermédiaires.

3. C — Faux. Un intervalle s’écrit avec la plus petite borne avant la plus grande, donc [−2 ; 6].

4. D — Vrai. À la borne droite : 4 − 2 × 3 = −2. Cette valeur constitue le minimum de f sur le segment donné.

5. E — Faux. À x = 3, f(3) = −2 < 0. La racine x = 2 appartient aussi à cet intervalle.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. À la borne du domaine, T(8 h) = 18 °C − (2 °C·h⁻¹)(8 h) = 2 °C.

2. B — Vrai. Le coefficient directeur est −2 °C·h⁻¹ : une augmentation de t de 1 h diminue T de 2 °C.

3. C — Vrai. On remplace t par 5 h : 18 °C − (2 °C·h⁻¹) × 5 h = 8 °C.

4. D — Vrai. À t = 0 h, le modèle donne T(0 h) = 18 °C. Le terme (2 °C·h⁻¹)t s’annule à t = 0 h, laissant seulement la valeur initiale.

5. E — Faux. Résoudre 18 °C − (2 °C·h⁻¹)t = 0 °C donne t = 9 h, hors du domaine [0 h ; 8 h].

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Tous les points de la courbe ont la même ordonnée 3. Les points (0 ; 3) et (2 ; 3) en sont deux exemples distincts.

2. B — Faux. La fonction k est constante : quelle que soit l’entrée, sa valeur est 3. En particulier k(−100) = 3.

3. C — Faux. k(3) = 3, et plus généralement l’équation k(x) = 0 n’a aucune solution. La constante 3 interdit tout zéro, quelle que soit l’abscisse choisie.

4. D — Faux. Une fonction constante ne vérifie pas k(a) < k(b) pour a < b : ses images sont égales.

5. E — Vrai. On peut écrire k(x) = 0 × x + 3 ; c’est une fonction affine de pente nulle.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. La pente est négative et p s’annule en 5/2 ; avant cette racine, la valeur est positive.

2. B — Faux. Après la racine, la fonction décroissante passe sous zéro ; par exemple p(3) = −1.

3. C — Vrai. Résoudre 5 − 2x = 0 conduit à 2x = 5, puis x = 5/2.

4. D — Vrai. Le terme constant 5 est l’image à l’origine : 5 − 2 × 0 = 5.

5. E — Vrai. Le coefficient directeur −2 est strictement négatif, donc p décroît lorsque x augmente. Pour chaque augmentation d’une unité de x, la valeur de p diminue exactement de 2.