Échantillonnage et simulations de fréquences

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. |f−p|=|0,70−0,75|=0,05 : il s’agit de 5 points de pourcentage.

2. B — Faux. Le succès est la germination : il y en a 28. Le nombre 40 est la taille de l’échantillon.

3. C — Vrai. On compte 28 germinations parmi 40 essais : f=28/40=0,70, soit 70 %.

4. D — Faux. 0,70 décrit cette série. Le modèle annoncé conserve p=0,75 ; une fréquence différente est possible.

5. E — Vrai. Il reste 40−28=12 absences de germination. Leur fréquence est 12/40=0,30, soit 30 %.

Réponse attendue : D

1. A — Faux. Succès signifie seulement que l’événement étudié est réalisé. Il peut désigner un défaut ou une panne.

2. B — Faux. Le modèle prévoit aussi les faces 1, 2, 4 et 5, qui sont des échecs.

3. C — Faux. Les faces favorables sont 3 et 6 : il y en a deux sur six, donc p=2/6=1/3.

4. D — Vrai. 6 est divisible par 3 ; il réalise bien l’événement choisi.

5. E — Faux. 4 n’est pas un multiple de 3 ; ce résultat est un échec de l’événement choisi.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Les échecs ont la fréquence 51/75=0,68, soit 68 %.

2. B — Vrai. Les essais qui ne sont pas des succès sont au nombre de 75−24=51.

3. C — Vrai. f=0,32 et n=75 donnent k=75×0,32=24, un entier autorisé.

4. D — Faux. Le pourcentage utilise une référence de 100, mais le nombre d’essais effectivement réalisés est 75.

5. E — Faux. 32 est la valeur du pourcentage. Le multiplier par la taille puis diviser par 100 donne 24.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. La probabilité est fixée à 0,4 ; les effectifs peuvent varier entre deux séries.

2. B — Vrai. Les dénominateurs sont tous deux 20 : 6/20=0,30 et 11/20=0,55.

3. C — Vrai. 0,55−0,30=0,25, soit 25 points de pourcentage.

4. D — Vrai. Les deux échantillons ont la même taille et le même modèle, mais leurs fréquences diffèrent.

5. E — Faux. La probabilité n’impose pas huit succès exactement dans chaque série de vingt.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Les deux séries sont disjointes : 30+50=80 essais.

2. B — Vrai. Les succès des deux équipes s’additionnent : 9+15=24.

3. C — Faux. Les fréquences ne s’ajoutent pas. On calcule (9+15)/(30+50)=24/80=0,30.

4. D — Vrai. f=24/80=3/10=0,30. Ici les deux groupes ont aussi chacun cette même fréquence.

5. E — Faux. Le dénominateur est le nombre d’essais, 80, et non le nombre d’équipes.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. Ce test ne retient que 1 à 4, soit quatre issues : sa probabilité est 4/12=1/3.

2. B — Vrai. Il retient les cinq entiers 1, 2, 3, 4 et 5, tous et seulement ceux attribués à l’orange.

3. C — Faux. Les deux bornes sont incluses : 12−1+1=12 entiers possibles.

4. D — Faux. L’orange est codé par 1 à 5. Le numéro 12 appartient au groupe des sept numéros bleus.

5. E — Vrai. Le tirage est uniforme sur douze entiers, avec cinq issues favorables : p=5/12.

Réponse attendue : B

1. A — Faux. La comparaison est stricte. Une valeur égale au seuil ne satisfait pas le test.

2. B — Vrai. La portion [0;0,35[ a une longueur 0,35 dans un intervalle de longueur 1.

3. C — Faux. random() renvoie des nombres de [0;1[, pas seulement deux valeurs entières.

4. D — Faux. Le seuil fixe une probabilité dans le modèle, pas un quota de succès pour chaque série.

5. E — Faux. Dans le modèle continu uniforme, la portion au-dessus de 0,35 a la longueur 1−0,35=0,65.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. La dernière valeur produite est 4−1=3 ; ne pas confondre cet indice et le nombre de passages.

2. B — Vrai. range(4) commence à 0 et s’arrête avant 4 : il produit exactement ces quatre entiers.

3. C — Vrai. Il produit 1, 2, 3 et 4, toujours quatre valeurs.

4. D — Faux. Le nombre 4 n’est pas une valeur produite par range(4). Il n’y a donc pas de cinquième passage.

5. E — Vrai. Chaque valeur de i déclenche un passage et donc un tirage ; il y a quatre valeurs.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Seuls les résultats 6 et 5 satisfont d>=5 ; les autres ne font pas augmenter k.

2. B — Faux. Le dernier résultat est 4, strictement inférieur à 5 ; il est donc un échec.

3. C — Vrai. Il y a deux succès parmi les cinq essais effectivement exécutés : f=2/5=0,4.

4. D — Faux. Le dénominateur compte les essais, pas seulement les succès : il vaut 5.

5. E — Vrai. Après 6, k passe à 1 ; après 2 il reste 1 ; après 5 il passe à 2, puis reste 2.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Le placement de k=0 reste incorrect, quelle que soit la taille choisie.

2. B — Faux. Elle dépend seulement du dernier passage : elle vaut 0 ou 1 avec une incrémentation simple.

3. C — Vrai. Une seule initialisation prépare le compteur ; la boucle peut ensuite augmenter sa valeur sans perdre l’historique.

4. D — Faux. Le compteur k est un entier de 0 à n. La fréquence est le quotient k/n.

5. E — Vrai. À chaque nouveau passage, k repart de zéro. Le résultat ne mémorise donc plus le total des passages précédents.

Réponse attendue : B

1. A — Faux. Le nombre de lancers a aussi augmenté : le dénominateur doit passer de 20 à 21.

2. B — Vrai. On ajoute un succès et un essai : k=11 et n=21, donc f=11/21.

3. C — Faux. La fréquence initiale valait exactement 1/2. Le succès ajouté augmente ici l’écart.

4. D — Faux. La pièce reste équilibrée dans le modèle, donc p=1/2. Seule la fréquence observée change.

5. E — Faux. 11/21−1/2=(22−21)/42=1/42, strictement positif.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Quatre séries de dix essais donnent 4×10=40 essais si l’on rassemble leur travail.

2. B — Vrai. La plus grande fréquence vaut 0,6 et la plus petite 0,3 ; leur différence vaut 0,3.

3. C — Faux. Les extrêmes observés concernent ces données. Une série ultérieure peut donner un autre effectif.

4. D — Vrai. On divise chacun des quatre effectifs par 10 : 3/10, 5/10, 6/10 et 4/10.

5. E — Faux. Les séries sont annoncées distinctes. Le quatrième point décrit seulement la quatrième série de dix essais.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. 7 compte les séries qui dépassent le seuil, pas les succès individuels.

2. B — Faux. 7/50=14 % est une proportion observée dans cette simulation, pas une égalité théorique imposée.

3. C — Vrai. On compte des échantillons : sept parmi cinquante, donc le dénominateur est 50.

4. D — Faux. 80 est le nombre d’essais à l’intérieur d’un échantillon, pas le nombre d’échantillons comparés.

5. E — Vrai. Il a produit 50 séries de 80 essais : 50×80=4000 essais.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. Zéro occurrence dans un nombre fini de séries ne démontre pas une probabilité nulle.

2. B — Faux. Le tableau porte sur cent réalisations. Il ne garantit pas le résultat de toutes les réalisations futures.

3. C — Vrai. Aucune série sur les cent n’est hors du critère : 0/100=0, soit 0 % observés.

4. D — Faux. Respecter une marge d’écart ne signifie pas avoir f=p exactement.

5. E — Faux. Une simulation finie peut ne montrer aucun dépassement, même si un dépassement est possible dans le modèle.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Le même mécanisme de sélection peut rester présent avec davantage de répondants.

2. B — Faux. Les habitants qui ne fréquentent pas ce groupe n’ont pas le même accès au questionnaire. La taille ne supprime pas cette sélection.

3. C — Vrai. Le résultat concerne d’abord les répondants. Le protocole aide à apprécier s’il peut être étendu à une population plus large.

4. D — Vrai. La participation est liée au groupe et au choix de répondre ; les répondants peuvent différer de la population entière.

5. E — Faux. La simulation décrit les hypothèses choisies. Elle ne mesure pas à elle seule les habitudes des habitants.