Droites du plan

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. AB = (3 − 1 ; 6 − 2) = (2 ; 4), vecteur non nul dont A et B sont deux points de d.

2. B — Vrai. Le quotient des variations est (6 − 2)/(3 − 1) = 4/2 = 2, car les abscisses sont distinctes. Le calcul compare une variation de 4 en ordonnée à 2 en abscisse.

3. C — Vrai. Avec une pente 2, on écrit y = 2x + p ; A impose 2 = 2 × 1 + p, donc p = 0.

4. D — Vrai. Dans y = 2x, l’entrée x = 0 donne y = 0 ; (0 ; 0) vérifie donc l’équation.

5. E — Faux. Les deux abscisses 1 et 3 diffèrent ; une droite verticale aurait une abscisse fixe et n’aurait pas de pente définie.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Sa pente est négative : l’ordonnée diminue lorsque l’abscisse augmente. Pour un pas de 1 vers la droite, y perd exactement 1 unité, car la pente vaut −1.

2. B — Vrai. Quand x augmente de 1, y diminue de 1 ; cette variation (1 ; −1) est parallèle à la droite.

3. C — Vrai. À x = 4, on obtient y = −4 + 4 = 0 : la droite coupe l’axe horizontal en ce point.

4. D — Vrai. À x = 0, l’équation donne y = 4 : c’est l’intersection avec l’axe des ordonnées.

5. E — Vrai. Dans y = mx + p, le coefficient de x est m = −1. Le terme constant 4 déplace la droite sans modifier cette pente.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Une relation y = mx + p donne une seule ordonnée pour chaque abscisse ; ici x = 3 admet toutes les ordonnées.

2. B — Faux. Sur l’axe des abscisses, y = 0 ; la condition x = 3 fixe alors le point d’intersection à (3 ; 0). Les coordonnées proposées sont interverties.

3. C — Faux. Tous les points de cette droite ont pour abscisse 3. L’abscisse −3 du point proposé ne vérifie pas x = 3, quelle que soit son ordonnée.

4. D — Vrai. Se déplacer verticalement ne modifie pas l’abscisse x = 3, donc (0 ; 1) suit la droite.

5. E — Vrai. Tous les points ont la même abscisse 3, tandis que leur ordonnée peut varier librement. La droite contient par exemple (3 ; 0) et (3 ; 1), ce qui confirme sa direction.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. L’ordonnée reste −2 quand x change : sa variation verticale est nulle. Le quotient variation verticale sur variation horizontale est donc zéro.

2. B — Faux. L’axe horizontal est y = 0 ; aucune ordonnée ne peut être à la fois 0 et −2.

3. C — Vrai. Sur l’axe vertical x = 0 ; la condition y = −2 donne le point indiqué.

4. D — Vrai. Le déplacement d’une unité horizontale et de zéro vertical suit la droite. Ses deux coordonnées ne sont pas nulles, donc il définit une direction.

5. E — Vrai. La relation y = −2 fixe l’ordonnée et laisse l’abscisse libre. Les points (0 ; −2) et (1 ; −2) illustrent cette liberté horizontale.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Pour x = 0, y = 3 ; directement 2 × 0 − 3 + 3 = 0.

2. B — Vrai. Avec une pente 2, augmenter x de 1 augmente y de 2 ; (1 ; 2) est parallèle à la droite.

3. C — Vrai. Dans l’équation réduite obtenue, le coefficient directeur est celui de x : 2. L’isolement de y fournit y = 2x + 3 ; la pente se lit alors directement.

4. D — Faux. L’équation réduite donne y = 2 × 1 + 3 = 5 ; 4 ne convient pas.

5. E — Vrai. Isoler y donne −y = −2x − 3, puis multiplier par −1 donne y = 2x + 3.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. On écrit y = −x/2 + p. En A : 3 = −(−1)/2 + p = 1/2 + p, donc p = 5/2.

2. B — Vrai. Le vecteur directeur a une abscisse non nulle 2 ; la pente est variation verticale/variation horizontale = −1/2.

3. C — Vrai. De A(−1 ; 3), ajouter u = (2 ; −1) conduit précisément au point (1 ; 2).

4. D — Faux. À x = 1, l’équation donne y = −1/2 + 5/2 = 2, pas 4. Le point proposé diffère de A + u = (1 ; 2), qui appartient bien à d.

5. E — Faux. Un vecteur directeur vertical aurait une abscisse nulle ; ici u a pour première coordonnée 2.

Réponse attendue : B

1. A — Faux. À x = 0, la première droite a pour ordonnée −2 et la seconde 4. Leurs pentes sont égales, mais leurs ordonnées à l’origine diffèrent.

2. B — Vrai. Deux droites non verticales de même coefficient directeur sont parallèles ou confondues. Les constantes −2 et 4 étant distinctes, ces parallèles ne sont pas confondues.

3. C — Faux. À l’abscisse 0, les ordonnées calculées sont −2 et 4, jamais 1. Comme les deux pentes sont égales et les constantes distinctes, aucune intersection n’existe.

4. D — Faux. Leurs ordonnées à l’origine sont −2 et 4, différentes ; elles ne contiennent pas les mêmes points.

5. E — Faux. Pour chaque droite, une augmentation de x de 1 fait augmenter y de 3. Le vecteur directeur (1 ; 3) convient ; (1 ; −3) donne la pente opposée.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Avec x = 2, chaque droite donne y = 2 × 2 + 1 = 5 et y = −2 + 7 = 5.

2. B — Faux. La substitution dans d₂ donne aussi −2 + 7 = 5 ; le point est commun aux deux.

3. C — Faux. Leurs pentes 2 et −1 diffèrent ; elles se coupent en un point unique. En effet, 2x + 1 = −x + 7 donne x = 2.

4. D — Vrai. Les coordonnées calculées vérifient les deux équations, donc forment leur intersection. La résolution 2x + 1 = −x + 7 donne 3x = 6, puis x = 2 et y = 5.

5. E — Vrai. On égalise les ordonnées : 2x + 1 = −x + 7 donne 3x = 6, puis x = 2.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Les trois points vérifient une même équation de droite ; ils sont donc alignés. L’équation commune est y = 2x + 1 ; elle vérifie successivement A, B et C.

2. B — Faux. Ils partagent l’abscisse 3, mais leurs ordonnées 7 et 8 diffèrent : ce sont deux points distincts.

3. C — Vrai. Pour x = 3, l’équation de (AB) donne 2 × 3 + 1 = 7, l’ordonnée de C.

4. D — Vrai. Sa pente est (5 − 1)/(2 − 0) = 2 et son ordonnée à l’origine est l’ordonnée de A, égale à 1.

5. E — Faux. L’équation de (AB) exige y = 7 à x = 3, alors que D a pour ordonnée 8.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Pour x = 0 et y = −3, le membre gauche vaut 2 × (−3) − 6 = −12. L’intersection réelle avec l’axe des ordonnées est (0 ; 3).

2. B — Vrai. À partir de 2y = −3x + 6, diviser par 2 donne y = −(3/2)x + 3.

3. C — Vrai. Le déplacement (2 ; −3) conserve 3x + 2y, puisque 3 × 2 + 2 × (−3) = 0.

4. D — Faux. En remplaçant x par 2 et y par 1, on obtient 3 × 2 + 2 × 1 − 6 = 2. Le résultat non nul exclut ce point de la droite.

5. E — Faux. On obtient 3 × 1 + 2 × 1 − 6 = −1, différent de zéro. Pour appartenir à d, la somme 3x + 2y − 6 doit valoir zéro.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. Une augmentation de 1 de x fait baisser y de 2 selon la pente ; ce vecteur suit la droite.

2. B — Vrai. La pente vaut −2 et le point P(0 ; 4) fixe l’ordonnée à l’origine à 4.

3. C — Faux. P a pour abscisse zéro et ordonnée 4 ; il est sur l’axe des ordonnées.

4. D — Vrai. Q a pour ordonnée zéro, condition qui caractérise l’axe horizontal. L’axe des abscisses rassemble exactement les points dont l’ordonnée est nulle.

5. E — Vrai. La variation d’ordonnée est 0 − 4 = −4 pour une variation d’abscisse 2 − 0 = 2 ; le quotient vaut −2.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Tous les points dont l’abscisse est 2 appartiennent à x = 2, quelle que soit l’ordonnée.

2. B — Vrai. A et B ont la même abscisse 2 et des ordonnées différentes ; la droite qui les joint est verticale.

3. C — Faux. Une pente nulle caractérise une horizontale ; la droite est verticale et son coefficient directeur n’est pas défini.

4. D — Faux. Son abscisse est 0, pas 2 ; il ne vérifie pas l’équation x = 2. A et B partagent l’abscisse 2, donc toute leur droite vérifie x = 2.

5. E — Vrai. AB = (2 − 2 ; 4 − (−1)) = (0 ; 5), vecteur vertical non nul.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Dans le plan, deux droites non verticales de pentes différentes ont un unique point commun.

2. B — Faux. Des droites confondues auraient la même pente ; 1 ≠ −2. Elles se rencontrent toutefois en un point, puisque leurs pentes sont différentes.

3. C — Vrai. Pour x = 1, d₁ donne y = 3 et d₂ donne y = −2 + 5 = 3.

4. D — Vrai. Égaliser x + 2 = −2x + 5 donne 3x = 3, donc x = 1.

5. E — Vrai. Le coefficient de x est 1 pour d₁ et −2 pour d₂ ; ces valeurs diffèrent.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Sur cet axe, y = 0 ; résoudre 3x + 1 = 0 donne x = −1/3. La valeur proposée oublie le signe négatif.

2. B — Vrai. R appartient à la droite : 7 = 2m + 1, donc 2m = 6 et m = 3.

3. C — Faux. À x = 0, l’équation donne y = 1, pas zéro ; elle coupe l’axe vertical en (0 ; 1).

4. D — Vrai. Après détermination de m, on remplace le paramètre par 3 dans y = mx + 1. La vérification 3 × 2 + 1 = 7 confirme que R est bien sur cette droite.

5. E — Faux. Le point R impose 7 = 2m + 1, donc m = 3. Une fonction affine de coefficient directeur positif est strictement croissante.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Une parallèle non verticale a le même coefficient directeur que Δ, soit −3. L’ordonnée à l’origine se règle ensuite pour que la droite passe par A.

2. B — Faux. La droite parallèle cherchée a pour équation y = −3x + 7. À x = 1, elle donne y = 4 et non −4.

3. C — Faux. Une avancée horizontale de 1 sur d correspond à une baisse verticale de 3. Le vecteur (1 ; −3) convient, contrairement au vecteur proposé.

4. D — Faux. Les constantes 7 et 4 diffèrent : d et Δ sont parallèles distinctes. À x = 0, elles passent par des ordonnées différentes, 7 et 4.

5. E — Vrai. On écrit y = −3x + p ; le point A donne 1 = −3 × 2 + p, donc p = 7.