Arithmétique

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. La décomposition 84 = 12 × 7 exhibe un quotient entier, 7. La vérification par multiplication évite toute approximation du quotient.

2. B — Faux. Un multiple entier de 5 finit par 0 ou 5 ; 84 ne vérifie pas ce critère et 84/5 n’est pas entier.

3. C — Vrai. 84/6 = 14 est entier, donc 84 se divise par 6 sans reste. Il suffit d'exhiber ce produit 6 × 14 pour prouver la divisibilité.

4. D — Faux. 84 = 2 × 42 : il est divisible par 2, donc pair. Son chiffre des unités est 4, ce qui permet aussi de reconnaître un nombre pair.

5. E — Vrai. 84 = 7 × 12, avec 12 entier ; c’est la définition d’un multiple de 7.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Soustraire 42 seulement au dénominateur change la valeur : 84/84 = 1, tandis que 84/126 = 2/3.

2. B — Vrai. Les deux nombres sont divisibles par 6 : 84/126 = 14/21 ; multiplier ou diviser les deux termes par le même réel non nul préserve la fraction.

3. C — Faux. 14 et 21 ont le diviseur commun 7 ; 14/21 se simplifie encore en 2/3. Diviser les deux termes par 7 conserve la valeur de la fraction.

4. D — Vrai. On divise les deux termes par 42 : 84 = 2 × 42 et 126 = 3 × 42, d’où 2/3.

5. E — Vrai. 2 et 3 sont des entiers consécutifs et n’ont aucun diviseur commun supérieur à 1. Il n'y a donc aucun facteur entier commun à retirer encore du numérateur et du dénominateur.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. L’hypothèse n = 2k donne 2n = 4k, donc une divisibilité par 4 seulement. Pour n = 2, on a 2n = 4, non divisible par 8.

2. B — Vrai. n + 1 = 2k + 1, forme d’un entier impair. Cette écriture vaut pour tout entier k et donne donc une preuve générale.

3. C — Faux. L’hypothèse n pair fournit explicitement n = 2k avec k entier. Après division par 2, on trouve n/2 = (2k)/2 = k, qui est au contraire un entier.

4. D — Faux. Écrire n = 2k montre n + 2 = 2(k + 1). Cette écriture est un multiple de 2 : le nombre reste pair.

5. E — Vrai. n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²) ; c’est deux fois un entier. Le nombre 2k² est entier, ce qui justifie la forme exigée pour un pair.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. n² = 4k(k+1)+1 laisse le reste 1 modulo 4 ; par exemple 3² = 9. Ce reste non nul exclut la divisibilité par 4 pour chaque entier impair.

2. B — Vrai. (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2k) + 1, de la forme 2m+1. Ici m = 2k² + 2k est bien entier pour chaque entier k.

3. C — Vrai. On remplace l’impair n par son écriture 2k + 1, puis on retire 1 : n − 1 = 2k. Le résultat est deux fois l’entier k, donc pair.

4. D — Vrai. n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1). Le facteur k + 1 étant entier, l'expression est divisible par 2.

5. E — Faux. La somme vaut 2n, multiple de 2 ; deux impairs additionnés donnent un pair. On obtient même un multiple de 2 quel que soit l'entier impair choisi.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. On utilise 18 = 9 × 2 et 45 = 9 × 5 ; la distributivité donne 9(2 + 5) = 63.

2. B — Faux. L’exemple 18 + 45 = 63 = 9 × 7 contredit directement cette affirmation universelle. Un seul contre-exemple suffit ici à réfuter le mot « jamais ».

3. C — Vrai. 18 + 45 = 63 = 9 × 7, quotient entier. Plus généralement, 9a + 9b = 9(a + b) pour deux entiers a et b.

4. D — Vrai. La soustraction de deux multiples de 9 garde le facteur commun : 45 − 18 = 9 × 5 − 9 × 2 = 9(5 − 2) = 27. Le quotient 3 est entier.

5. E — Vrai. Puisque 18 = 9 × 2, le produit vaut 9 × (2 × 45), avec le second facteur entier.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. 100 = 7 × 14 + 2, avec reste 2 non nul : il n’est pas divisible par 7.

2. B — Vrai. 7 × 14 = 98 ≤ 100 et le multiple suivant 7 × 15 = 105 > 100.

3. C — Vrai. On recherche le plus grand entier k tel que 7k ≤ 100 ; k = 14 convient et k = 15 ne convient pas.

4. D — Faux. 105 dépasse la borne imposée 100 ; il s’agit du premier multiple au-dessus de cette borne.

5. E — Vrai. La différence entre la borne et ce multiple est 100 − 98 = 2. Le multiple suivant, 105, dépasserait la borne de 100.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. La décomposition 157 = 12 × 13 + 1 donne le quotient entier 13. Le reste 1 est compris entre 0 et 11, condition nécessaire à une division euclidienne.

2. B — Vrai. 12 × 13 = 156 ; la différence à 157 est 1, comprise entre 0 et 11.

3. C — Vrai. Après avoir retiré 156 de 157, il reste 1, strictement inférieur au diviseur 12. La décomposition 157 = 12 × 13 + 1 vérifie directement les deux valeurs.

4. D — Vrai. La partie 12 × 13 = 156 est exactement divisible par 12. Ce produit donne la plus grande partie de 157 qui soit divisible par 12.

5. E — Faux. Une divisibilité exige un reste nul ; ici le reste euclidien vaut 1. Le quotient 157/12 n'est donc pas un entier, puisqu'il reste une unité.

Réponse attendue : B

1. A — Faux. Le partage entier donne 45 = 6 × 7 + 3. Après avoir donné 7 jetons à chacun des six élèves, trois jetons restent.

2. B — Vrai. La division euclidienne est 45 = 6 × 7 + 3 : chaque personne reçoit 7 jetons entiers.

3. C — Faux. Le reste 3 de la division de 45 par 6 n’est pas nul. On peut écrire 45 = 6 × 7 + 3, ce qui prouve que 6 ne divise pas 45.

4. D — Faux. Partager 45 jetons entre neuf personnes donne 45 ÷ 9 = 5 jetons par personne. Neuf parts de quatre n’utiliseraient que 36 jetons.

5. E — Faux. Les jetons sont indivisibles dans ce contexte ; 7,5 est le quotient décimal, pas une répartition en jetons entiers.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. 12 est multiple de 3 (4 × 3) et de 4 (3 × 4). Ce jour est le premier multiple commun positif de 3 et de 4.

2. B — Faux. 6 est multiple de 3, mais 6/4 n’est pas entier ; l’alarme B ne sonne pas ce jour-là.

3. C — Faux. 4 est un jour de B mais n’est pas multiple de 3 ; A ne sonne pas.

4. D — Vrai. C’est la condition initiale explicitement donnée ; le jour 0 est multiple de tout entier non nul.

5. E — Vrai. Les multiples positifs de 3 sont 3, 6, 9, 12 et ceux de 4 sont 4, 8, 12 ; leur premier commun est 12.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. On met au même dénominateur 20 : 2/5 = 8/20, et 9/20 est supérieur à 8/20.

2. B — Vrai. Les deux termes sont divisibles par 3 : 6 ÷ 3 = 2 et 15 ÷ 3 = 5.

3. C — Faux. On simplifie 6/15 en 2/5, puis on met au dénominateur 20 : 9/20 − 8/20 = 1/20, soit la moitié de 1/10.

4. D — Faux. 9/20 est strictement compris entre 0 et 1 ; il n’est ni 0 ni 1 et ne peut être entier.

5. E — Faux. 6 et 15 ont le diviseur commun 3 ; leur fraction se simplifie en 2/5.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Tout entier est pair ou impair. Le cas pair étant impossible, n appartient au cas impair.

2. B — Faux. n = −3 est négatif et son carré 9 est impair ; la parité ne détermine pas le signe.

3. C — Vrai. Si n = 2k était pair, n² = 4k² = 2(2k²) serait pair, contredisant l’hypothèse.

4. D — Vrai. L’implication démontrée pour n pair donne par contraposée « n² non pair ⇒ n non pair ».

5. E — Faux. Un entier impair n’a pas de quotient entier par 2 ; c’est la signification de « carré impair ».

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. La somme de ses chiffres vaut 3 + 6 = 9, multiple de 3 ; directement 36 = 3 × 12.

2. B — Vrai. Son chiffre des unités est pair ; on peut aussi écrire 36 = 2 × 18.

3. C — Vrai. Les deux derniers chiffres forment 36, multiple de 4 : 36 = 4 × 9.

4. D — Faux. Son chiffre des unités est 6, ni 0 ni 5 ; 36/5 n’est pas entier.

5. E — Vrai. La somme des chiffres 3 + 6 = 9 est multiple de 9 ; 36 = 9 × 4.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Deux entiers consécutifs ont des parités opposées ; par exemple 4 est pair et 5 impair.

2. B — Vrai. n + (n + 1) = 2n + 1, forme d’un entier impair. Le terme 2n est pair ; lui ajouter une unité rend la somme impaire.

3. C — Vrai. La parité alterne quand on ajoute 1 : si n est pair, il convient ; si n est impair, n + 1 est pair.

4. D — Vrai. La soustraction donne 1, quelle que soit la valeur entière de n. Cette identité reste vraie pour les entiers positifs, négatifs ou nuls.

5. E — Vrai. Le produit contient toujours le facteur pair identifié ; on peut le mettre sous la forme 2k.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. La condition vérifie un reste nul après division par 5, pas par 3. Par exemple n = 5 produit « oui », alors que 5 n’est pas multiple de 3.

2. B — Faux. La division euclidienne de 1 par 5 donne quotient 0 et reste 1. Le reste n’est pas nul : l’algorithme affiche « non ».

3. C — Faux. La division exécutée porte sur n divisé par 5, pas sur 5 divisé par n.

4. D — Vrai. 35 = 5 × 7 laisse un reste nul : 35 est un multiple de 5.

5. E — Vrai. 37 = 5 × 7 + 2 a pour reste 2, donc l’algorithme affiche « non ».

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Le nombre de lots doit diviser à la fois 18 et 30. Six convient : 18/6 = 3 stylos et 30/6 = 5 cahiers par lot.

2. B — Vrai. En répartissant également entre six lots, on obtient les quotients entiers 18 ÷ 6 = 3 et 30 ÷ 6 = 5.

3. C — Faux. 30 est divisible par 10 mais 18/10 n’est pas entier ; les stylos ne se répartiraient pas également.

4. D — Faux. 18/9 = 2 est entier, mais 30/9 ne l’est pas ; les cahiers empêchent neuf lots identiques.

5. E — Vrai. Les diviseurs communs positifs de 18 et 30 sont 1, 2, 3 et 6 ; aucun nombre plus grand ne divise les deux.