Variables aléatoires

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. On additionne 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, puis on divise par six issues équiprobables.

2. B — Faux. Une face donnée apparaît parmi les six faces équiprobables ; sa probabilité vaut 1/6. La valeur 4 est une face particulière, et les six faces ont chacune le même poids dans le modèle équilibré.

3. C — Vrai. Les valeurs possibles de X sont les entiers 1 à 6 ; 3,5 est une moyenne, pas une face du dé.

4. D — Faux. L'espérance décrit une moyenne théorique sur les répétitions ; un prochain résultat reste aléatoire.

5. E — Faux. Six est la valeur maximale d'une issue ; la moyenne de toutes les faces vaut 21/6 = 7/2.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. La moyenne pondérée vaut 1 × 0,3 + 0 × 0,7 = 0,3.

2. B — Faux. Le nombre 0,3 est sa probabilité de succès et son espérance ; ses seules valeurs possibles sont 0 et 1.

3. C — Faux. Le cas X = 0 est le contraire de A et possède une probabilité 1 − 0,3 = 0,7.

4. D — Vrai. Par définition, X prend la valeur 1 exactement lorsque l'événement A survient.

5. E — Vrai. Pour une Bernoulli, p(1 − p) = 0,3 × 0,7 = 0,21. On peut aussi vérifier E(X²)−E(X)²=0,3−0,09=0,21, puisque X²=X pour une indicatrice.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. La somme pondérée vaut (−1) × 0,2 + 0 × 0,5 + 2 × 0,3 = −0,2 + 0,6.

2. B — Vrai. On a E(X²) = 1 × 0,2 + 4 × 0,3 = 1,4, puis V(X) = 1,4 − 0,4² = 1,24.

3. C — Faux. Une variance ne peut pas être négative ; la soustraction correcte donne +1,24. La définition V(X)=E[(X−E(X))²] est une moyenne de carrés ; elle confirme que le résultat doit être positif.

4. D — Vrai. Elles sont positives et leur somme 0,2 + 0,5 + 0,3 vaut exactement 1.

5. E — Faux. En général ces valeurs diffèrent : ici E(X²) = 1,4 tandis que [E(X)]² = 0,16.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. La moyenne pondérée vaut (5 €) × 0,4 + (−2 €) × 0,6 = 2 € − 1,2 € = 0,8 €.

2. B — Faux. Les 2 € sont une perte et doivent entrer avec un signe négatif, pas positif.

3. C — Faux. Soustraire une somme fixe à chaque gain soustrait cette même somme à son espérance. La nouvelle variable est l'ancien gain moins le prix fixé ; la linéarité de l'espérance transmet exactement cette soustraction.

4. D — Faux. Une espérance est une moyenne théorique ; les gains effectifs possibles sont 5 € ou −2 € avant entrée.

5. E — Vrai. La nouvelle variable est X − 0,8 € ; son espérance vaut 0,8 € − 0,8 € = 0 €.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. On calcule 1² × 1/2 + 2² × 1/4 + 3² × 1/4 = 1/2 + 1 + 9/4.

2. B — Vrai. La somme 1/2 + 1/4 + 1/4 vaut 1, condition nécessaire à une loi de probabilité.

3. C — Vrai. La somme vaut 1 × 1/2 + 2 × 1/4 + 3 × 1/4 = 1/2 + 1/2 + 3/4.

4. D — Faux. Les trois secteurs n'ont pas des probabilités égales ; la pondération donne 7/4, pas 2.

5. E — Vrai. König-Huygens donne V(X) = 15/4 − (7/4)² = 60/16 − 49/16 = 11/16. Le calcul des carrés précède celui de la variance : confondre E(X²) avec E(X)² donnerait une autre valeur.

Réponse attendue : E

1. A — Faux. Y n'est pas constante ; elle prend deux valeurs distinctes avec probabilités positives et sa variance vaut 1.

2. B — Faux. Les deux valeurs −1 et +1 équiprobables se compensent ; leur espérance vaut zéro.

3. C — Faux. La transformation 2X − 1 déplace et étire les valeurs : elles deviennent −1 et 1.

4. D — Faux. La valeur −1 apparaît chaque fois que X = 0, événement de probabilité 1/2. Il faut transformer chaque issue de X séparément : X=0 conduit à Y=−1, et X=1 conduit à Y=1.

5. E — Vrai. La transformation donne Y = −1 si X = 0 et Y = +1 si X = 1 ; les probabilités restent égales.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. L'événement X ≥ 1 est le contraire de X = 0 ; sa probabilité vaut 1 − 0,2 = 0,8.

2. B — Vrai. Il reste 1 − 0,2 − 0,3 = 0,5 pour la troisième et dernière valeur possible. Cette valeur restante est déterminée par la normalisation de la loi, et non par une moyenne des probabilités connues.

3. C — Faux. Il faut additionner les cas X = 0 et X = 1 : 0,2 + 0,3 = 0,5.

4. D — Faux. Ces trois événements sont disjoints et couvrent toutes les issues ; leur somme doit être exactement 1.

5. E — Faux. Cette réponse ferait une somme 0,2 + 0,3 + 0,3 = 0,8, insuffisante pour une loi complète.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Le signe ≤ inclut également X = 0, qui a ici une probabilité non nulle. L'événement réunit les issues X=0 et X=1 ; leurs probabilités doivent être additionnées si elles sont distinctes.

2. B — Vrai. Les valeurs 0 et 1 conviennent ; leurs probabilités sont 0,1 et 0,4, de somme 0,5.

3. C — Vrai. Les valeurs 1 et 2 conviennent ; leurs probabilités s'ajoutent en 0,4 + 0,5 = 0,9.

4. D — Faux. L'événement X ≥ 1 contient aussi X = 2, de probabilité 0,5, en plus du cas X = 1.

5. E — Vrai. Parmi les valeurs possibles, seule 2 est strictement supérieure à 1 ; sa probabilité vaut 0,5.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. La mise au carré élimine la compensation des signes ; E(X²) vaut 8/3, alors que [E(X)]² vaut zéro.

2. B — Vrai. Les carrés sont 4, 0 et 4 ; leur moyenne vaut (4 + 0 + 4)/3 = 8/3.

3. C — Vrai. Les valeurs opposées −2 et +2 ont chacune probabilité 1/3, tandis que zéro est central.

4. D — Vrai. La formule V(X) = E(X²) − [E(X)]² donne 8/3 − 0² = 8/3.

5. E — Vrai. La moyenne équiprobable vaut (−2 + 0 + 2)/3 = 0. Les contributions extrêmes −2 et +2 s'annulent dans la moyenne, tandis que l'issue zéro ne change rien.

Réponse attendue : D

1. A — Faux. Un prix nul laisse un gain moyen positif de 1 €, pas une espérance nulle.

2. B — Faux. Le coût fixe est soustrait à chaque résultat et donc à leur espérance.

3. C — Faux. Quatre euros ne sont reçus que dans un quart des cas ; le gain moyen brut vaut 1 €.

4. D — Vrai. Le gain brut moyen vaut (4 €) × 1/4 + (0 €) × 3/4 = 1 € ; le prix doit être identique.

5. E — Faux. L'équité concerne l'espérance ; les résultats particuliers peuvent être positifs ou négatifs. Une espérance n'est pas une garantie sur une partie : le résultat réalisé reste l'une des valeurs possibles du jeu.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. La variance ne s'obtient pas en ajoutant le bonus 5 ; elle reste égale à V(X) = 4.

2. B — Vrai. Ajouter la même constante à toutes les valeurs déplace le centre sans changer les écarts à ce centre.

3. C — Vrai. La linéarité donne E(X + 5) = E(X) + 5 = 3 + 5 = 8. Ajouter cinq à chaque issue déplace toute la loi de cinq, et donc son centre de trois à huit.

4. D — Vrai. La variance de Y vaut 4, et l'écart type est sa racine carrée positive √4 = 2.

5. E — Faux. Le bonus est ajouté, pas multiplié : E(Y) = 3 + 5 et non 3 × 5.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. On soustrait le carré de la moyenne : 3 − (3/2)² = 3 − 9/4 = 3/4.

2. B — Vrai. La racine carrée positive de la variance 3/4 est √3/2 ; ce nombre mesure la dispersion dans l'unité de X.

3. C — Vrai. Le calcul donne 0 × 1/4 + 2 × 3/4 = 6/4 = 3/2.

4. D — Vrai. Les carrés valent 0 et 4 ; leur moyenne est 0 × 1/4 + 4 × 3/4 = 3.

5. E — Faux. Une variance ne peut être négative ; le calcul de König-Huygens donne +3/4. Le calcul soustrait le carré de l'espérance à E(X²) ; inverser ces deux termes créerait un signe impossible.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. Une probabilité doit être entre 0 et 1 ; l'espérance 2,2 n'est pas elle-même une probabilité.

2. B — Vrai. L'équation de moyenne est 1 + 2p = 2,2, donc 2p = 1,2 et p = 0,6.

3. C — Faux. Cette valeur donnerait E(X) = 1 + 2 × 0,4 = 1,8 et non 2,2. L'équation E(X)=1+2p=2,2 impose p=0,6, ce qui écarte directement la valeur proposée.

4. D — Faux. Une espérance pondérée peut prendre une valeur intermédiaire, ici 2,2, même si elle n'est pas une issue possible.

5. E — Vrai. Les deux valeurs épuisent les issues ; la probabilité restante vaut 1 − 0,6 = 0,4.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Onze euros sont une moyenne, tandis que les seules recettes réalisables sont 0 €, 10 € et 20 €.

2. B — Faux. Quarante-neuf euros carrés est la variance ; l'écart type est √(49 €²) = 7 €. La racine carrée rétablit l'unité euro : √(49 €²)=7 €, alors que la variance garde l'unité au carré.

3. C — Vrai. La moyenne vaut (0 €) × 0,2 + (10 €) × 0,5 + (20 €) × 0,3 = 11 €.

4. D — Vrai. Les carrés pondérés donnent (0 €²) × 0,2 + (100 €²) × 0,5 + (400 €²) × 0,3 = 170 €².

5. E — Vrai. König-Huygens donne 170 €² − (11 €)² = 170 €² − 121 €² = 49 €².

Réponse attendue : A

1. A — Vrai. Les images de −2, 0 et 1 par le carré sont respectivement 4, 0 et 1 ; les probabilités correspondantes restent attachées aux issues.

2. B — Faux. Un carré réel est toujours positif ou nul ; les valeurs de Y sont 4, 0 et 1.

3. C — Faux. En général E(X²) diffère du carré de E(X) ; ici E(Y) = 5/4 tandis que E(X) = −1/4.

4. D — Faux. La moyenne de Y est 4 × 1/4 + 0 × 1/2 + 1 × 1/4 = 5/4, strictement positive.

5. E — Faux. La valeur 4 provient uniquement de X = −2, événement de probabilité 1/4. Pour obtenir Y=4, on cherche d'abord les antécédents de 4 par x↦x² parmi les issues réellement possibles.