Trigonométrie

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Ce point correspond à un quart de tour, soit π/2 rad ou 90°, et non 180°.

2. B — Faux. Ce sont deux unités angulaires différentes : 180° correspondent à π rad. La conversion suit le rapport 180°/π rad ; identifier les unités ferait oublier ce facteur de conversion.

3. C — Faux. Deux pi radians correspondent à un tour entier de 360°, pas à un demi-tour. Un demi-tour finit au point opposé au départ, tandis que 2π ramène au point initial.

4. D — Vrai. Un demi-tour depuis (1 ; 0) atteint le point opposé sur le cercle unité, soit (−1 ; 0).

5. E — Vrai. Un angle de 180° est la moitié de 360° ; la moitié de 2π radians vaut π rad.

Réponse attendue : A

1. A — Vrai. La relation ℓ = Rθ donne (2 m) × (π/3) = (2π/3) m. Les radians rendent le quotient longueur d'arc sur rayon égal à l'angle, ici π/3.

2. B — Faux. Avec R = 2 m, la circonférence est 2πR = 4π m. On peut contrôler par quatre quarts de cercle de rayon 2 m : chacun mesure π mètres.

3. C — Faux. On compare l'angle π/3 à l'angle 2π d'un tour complet : (π/3)/(2π) = 1/6. L'arc représente donc un sixième du cercle, pas un tiers.

4. D — Faux. La formule ℓ = Rθ utilise précisément la mesure en radians ; aucune conversion supplémentaire n'est nécessaire.

5. E — Faux. Cette valeur oublierait le rayon 2 m dans la relation ℓ = Rθ.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Leur différence est 12π/6 = 2π, donc un tour entier. En retranchant 2π à 11π/6, on obtient −π/6, qui possède exactement les mêmes coordonnées.

2. B — Faux. Elle est sous l'axe horizontal avec abscisse positive, caractéristique du quatrième quadrant. Le sinus de −π/6 est négatif et son cosinus positif ; ces signes fixent le quatrième quadrant.

3. C — Faux. Le signe positif conviendrait à π/6, pas à son image après rotation horaire de π/6.

4. D — Vrai. L'image est dans le quatrième quadrant, où l'ordonnée est négative et de module 1/2.

5. E — Vrai. La réduction modulo 2π donne −π/6 ; le cosinus de cet angle est positif √3/2.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Cette valeur est l'ordonnée du point ; son abscisse cos(π/3) vaut 1/2 et doit être distinguée.

2. B — Vrai. La valeur remarquable cos(π/3) est 1/2 ; elle donne l'abscisse sur le cercle.

3. C — Faux. Dans le premier quadrant, cosinus et sinus sont tous deux strictement positifs. À π/3, l'image est (1/2 ; √3/2) ; les deux coordonnées contredisent l'annonce de valeurs négatives.

4. D — Vrai. La valeur remarquable sin(π/3) est √3/2 ; elle est positive en premier quadrant. L'ordonnée d'un point du cercle unité est son sinus ; sin(π/3)=√3/2 est positif.

5. E — Faux. L'angle π/3 est entre 0 et π/2 ; il se place dans le premier quadrant.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. Le demi-tour change aussi le signe de l'ordonnée sin(π/6) = 1/2. Le même symétrique central change aussi le signe de l'ordonnée, d'où −1/2 pour le sinus.

2. B — Vrai. L'angle est compris entre π et 3π/2, où abscisse et ordonnée sont négatives.

3. C — Faux. Le troisième quadrant est sous l'axe horizontal ; son sinus est négatif.

4. D — Vrai. Avec les valeurs −√3/2 et −1/2, on obtient 3/4 + 1/4 = 1, comme pour tout point du cercle unité.

5. E — Vrai. Le demi-tour change le signe de l'abscisse cos(π/6) = √3/2. Le point obtenu après π est le symétrique central de celui d'angle π/6 ; son abscisse change de signe.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. La valeur 1/2 correspond au cosinus de π/3, pas à celui de π/4. L'égalité des deux coordonnées positives et x²+y²=1 donnent 2x²=1, donc x=√2/2.

2. B — Vrai. Sur la diagonale du premier quadrant, l'abscisse et l'ordonnée sont égales et leurs carrés totalisent 1.

3. C — Vrai. La symétrie par rapport à la première bissectrice donne la même valeur positive pour l'ordonnée.

4. D — Faux. Chaque carré vaut 1/2 ; leur somme vaut 1, comme pour tout point du cercle unité.

5. E — Faux. L'angle π/4 est dans le premier quadrant ; son sinus y est positif. La coordonnée verticale du point à 45° est positive, comme sa coordonnée horizontale, et vaut √2/2.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. À angle zéro, le point du cercle est (1 ; 0) et son cosinus vaut 1.

2. B — Vrai. Le cercle unité coupe l'axe vertical en (0 ; 1) et (0 ; −1) seulement.

3. C — Vrai. Le point inférieur est (0 ; −1), également d'abscisse nulle, pour l'angle 3π/2. L'angle 3π/2 est sous l'origine sur l'axe vertical ; son abscisse, donc son cosinus, est zéro.

4. D — Vrai. Le point supérieur du cercle est (0 ; 1), de cosinus nul et d'angle π/2.

5. E — Faux. La borne droite 2π est exclue, et son cosinus vaut de toute façon 1. L'intervalle [0 ; 2π[ exclut son extrémité droite ; de plus, 2π a pour cosinus 1.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Puisque π rad vaut 180°, π/6 rad vaut 30°, tandis que 60° vaut π/3 rad.

2. B — Faux. L'angle est positif et inférieur à π/2 ; le point est dans le premier quadrant, au-dessus de l'axe.

3. C — Vrai. L'ordonnée de l'image de 30° sur le cercle unité est la valeur remarquable 1/2. Sur le cercle unité, la hauteur du point à 30° se lit comme son sinus, égal à 1/2.

4. D — Faux. Cette valeur correspond à cos(π/3), angle deux fois plus grand ; ici le cosinus vaut √3/2.

5. E — Vrai. L'abscisse est positive et vaut √3/2 ; elle dépasse l'ordonnée 1/2. Le triangle remarquable de 30° associe une petite ordonnée 1/2 à l'abscisse positive √3/2.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Une droite horizontale d'ordonnée comprise strictement entre −1 et 1 coupe le cercle en deux points.

2. B — Faux. Cet angle se situe dans le troisième quadrant et son sinus vaut −1/2.

3. C — Vrai. La valeur remarquable sin(π/6) = 1/2 vérifie la condition demandée. La même droite horizontale y=1/2 coupe aussi le cercle en un point symétrique du deuxième quadrant.

4. D — Faux. Le deuxième quadrant fournit aussi 5π/6, avec la même ordonnée 1/2. Le point d'angle 5π/6 partage cette même ordonnée ; deux solutions existent sur un tour.

5. E — Vrai. Le point symétrique par rapport à l'axe vertical conserve l'ordonnée du point d'angle π/6.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. La réflexion change l'ordonnée positive √3/2 en l'ordonnée négative −√3/2. Le signe négatif provient de l'ordonnée réfléchie, tandis que l'abscisse et donc le cosinus ne changent pas.

2. B — Faux. Seul le sinus change de signe entre deux angles opposés ; le cosinus reste égal.

3. C — Faux. Le cosinus est pair ; le signe de l'abscisse ne change pas lors de cette réflexion.

4. D — Vrai. L'angle opposé a la même abscisse que π/3 ; le cosinus est pair. Le cosinus est une fonction paire : cos(−θ)=cos θ, ici avec θ=π/3.

5. E — Faux. L'angle −π/3 se place sous l'axe horizontal avec abscisse positive, dans le quatrième quadrant.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. L'angle 2π/3 = π − π/3 est réfléchi par rapport à l'axe vertical ; son abscisse est opposée à 1/2.

2. B — Faux. Dans le deuxième quadrant, le point est au-dessus de l'axe horizontal et son sinus est positif.

3. C — Vrai. La conversion utilise 180° = π rad : on calcule 120 × π/180 = (2/3)π radians.

4. D — Vrai. L'angle 120° est entre 90° et 180°, donc entre π/2 et π. L'image se place après 90° mais avant 180° ; c'est précisément la portion supérieure gauche du cercle.

5. E — Faux. Un angle π/3 correspond à 60°, la moitié de 120°. La conversion directe donne 120×π/180=2π/3 rad, soit le double de π/3.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Après un tour entier, il revient au premier quadrant à l'angle π/4. Réduire l'angle modulo 2π ramène à π/4, compris entre zéro et π/2.

2. B — Faux. C'est une rotation de π qui donne le point opposé ; une rotation de 2π revient au point initial.

3. C — Vrai. L'angle réduit π/4 a pour cosinus la valeur remarquable positive √2/2. Le déplacement d'un tour entier laisse l'abscisse du point inchangée ; cos(π/4+2π)=cos(π/4).

4. D — Vrai. La différence des deux angles vaut 2π, un tour entier ; le cercle ramène au même point.

5. E — Faux. La périodicité conserve le sinus de π/4, positif et égal à √2/2.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Son carré de distance à l'origine vaut précisément 1 ; il appartient donc au cercle unité.

2. B — Vrai. La somme des carrés de ses coordonnées vaut 1/4 + 3/4 = 1, donc sa norme vaut 1.

3. C — Vrai. On a 4π/3 = π + π/3 ; le demi-tour oppose les deux coordonnées (1/2 ; √3/2).

4. D — Faux. Au premier quadrant, π/3 donne les coordonnées positives (1/2 ; √3/2), opposées aux coordonnées données. Le point d'angle π/3 est l'opposé central du point recherché ; il faut ajouter π.

5. E — Vrai. Son abscisse −1/2 et son ordonnée −√3/2 sont toutes deux négatives. Les deux coordonnées négatives placent l'image sous l'axe horizontal et à gauche de l'axe vertical.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. L'angle 5π/6 = π − π/6 a une abscisse opposée à celle de π/6.

2. B — Faux. Cinq sixièmes de π se situent entre π/2 et π, donc dans le deuxième quadrant.

3. C — Vrai. Les deux points réfléchis par rapport à l'axe vertical gardent la même ordonnée positive. La réflexion verticale conserve la hauteur du point d'angle π/6, donc son sinus 1/2.

4. D — Faux. Le deuxième quadrant se trouve au-dessus de l'axe horizontal ; le sinus y est positif.

5. E — Faux. L'abscisse est négative dans le deuxième quadrant ; il manque le signe moins. L'angle 5π/6 est situé à gauche de l'axe vertical, donc son abscisse cosinus est négative.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Les coordonnées du cercle satisfont une somme de carrés égale à 1, et un sinus ne peut dépasser 1.

2. B — Vrai. La racine de 9/25 donne deux signes, mais l'ordonnée est positive dans le deuxième quadrant. L'équation cos²θ+sin²θ=1 donne sin²θ=9/25 ; le quadrant II retient la racine positive.

3. C — Faux. Le module est 3/5, mais le signe négatif placerait le point sous l'axe horizontal, hors du quadrant II. Un sinus négatif placerait l'image dans la moitié inférieure, incompatible avec le quadrant indiqué.

4. D — Vrai. La somme des carrés vaut 16/25 + 9/25 = 1 ; ce point est bien sur le cercle unité.

5. E — Vrai. On utilise sin² θ + cos² θ = 1 ; avec cos² θ = 16/25, on obtient 1 − 16/25 = 9/25.