Première · Mathématiques

Simulation et échantillonnage

Chapitre 10

15 questions originales à réponses multiples pour vérifier les notions, les méthodes et les points de vigilance du chapitre.

Pour chaque situation, sélectionne toutes les propositions exactes. Plusieurs réponses sont possibles. Prévois papier et stylo pour les moyennes, les écarts et les programmes.

Comment répondre ?

Prévois une feuille et un stylo pour poser tes calculs et rédiger tes étapes. Chaque QCM propose cinq affirmations. Une ou plusieurs réponses peuvent être exactes. Coche-les, vérifie, puis ouvre la correction pour comprendre chaque proposition. Tu obtiens un point seulement si tu coches toutes les bonnes réponses, sans cocher de réponse fausse.

0 question vérifiée sur 15

Question 1

Moyenne observée et espérance

On tire quatre fois, de façon indépendante, la valeur X d’un dé équilibré ; l’échantillon obtenu est (2 ; 4 ; 5 ; 3). Le modèle donne E(X) = 3,5. Quelles propositions sont exactes ?

La moyenne de cet échantillon vaut 3,5. Une moyenne d’échantillon est une statistique calculée à partir des observations. L’espérance du modèle a été calculée en divisant 14 par 4. Chaque prochain échantillon de taille quatre aura la même moyenne. L’écart entre la moyenne observée et E(X) vaut zéro.

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Réponse attendue : A, B, E

A — Vrai. On additionne les quatre observations, puis on divise par quatre : (2 + 4 + 5 + 3)/4 = 14/4 = 3,5.
B — Vrai. Les quatre nombres observés suffisent pour calculer la moyenne 3,5 ; la loi de X n’est pas nécessaire pour cette opération.
C — Faux. 14/4 calcule la moyenne de cet échantillon. L’espérance du dé équilibré est (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5 : c’est une valeur du modèle.
D — Faux. On pourrait, par exemple, tirer quatre fois 1 et obtenir une moyenne de 1. Les observations changent d’un échantillon à l’autre.
E — Vrai. Les deux valeurs sont ici 3,5. Leur écart absolu est |3,5 − 3,5| = 0 ; cette coïncidence n’est pas systématique.

Méthode à retenir. Écrire séparément les données observées et les grandeurs qui décrivent le modèle.

Question 2

Succès dans un échantillon

Une épreuve donne 1 en cas de succès, 0 sinon. Le modèle suppose P(succès) = 0,5. Sur 20 réalisations indépendantes, on compte 12 succès. Quelles propositions sont valides ?

La fréquence de succès est égale à la moyenne de ces valeurs 0 ou 1. L’espérance du modèle vaut 0,6. L’écart absolu entre moyenne observée et espérance vaut 0,2. La moyenne des vingt valeurs 0 ou 1 est 0,6. Le résultat des 20 essais prouve que P(succès) = 0,6.

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Réponse attendue : A, D

A — Vrai. Chaque succès ajoute 1 à la somme et chaque échec ajoute 0 ; moyenne et fréquence valent donc toutes deux 12/20.
B — Faux. L’espérance est 1 × 0,5 + 0 × 0,5 = 0,5 ; 0,6 est la moyenne observée sur cet échantillon.
C — Faux. La moyenne de l’échantillon est 12/20 = 0,6, tandis que l’espérance du modèle vaut 0,5. Leur écart absolu vaut |0,6 − 0,5| = 0,1.
D — Vrai. La somme des observations vaut 12 × 1 + 8 × 0 = 12. La moyenne est 12/20 = 0,6.
E — Faux. Une fréquence sur 20 essais fluctue. Elle ne permet pas d’identifier avec certitude la probabilité du modèle.

Méthode à retenir. Pour une variable indicatrice valant 0 ou 1, la moyenne empirique est une fréquence.

Question 3

Une bande calculée pour un échantillon

Une variable aléatoire X a pour espérance μ = 12 et écart type σ = 5. On étudie expérimentalement les moyennes d’échantillons de taille n = 25 et la condition |m − μ| ≤ 2σ/√n. Quelles propositions sont correctes ?

La condition équivaut ici à 9 ≤ m ≤ 15. Le seuil de l’écart vaut 2. La moyenne m = 14 ne satisfait pas la condition. La moyenne m = 9,9 satisfait la condition. Toute moyenne d’échantillon de taille 25 est forcément comprise entre 10 et 14.

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Réponse attendue : B

A — Faux. Le seuil étant 2 autour de μ = 12, la condition |m − 12| ≤ 2 donne 10 ≤ m ≤ 14. L’intervalle proposé autorise des écarts jusqu’à 3.
B — Vrai. On remplace σ = 5 et n = 25 : 2σ/√n = (2 × 5)/√25 = 10/5 = 2.
C — Faux. Le seuil est 2σ/√n = 2 × 5/5 = 2. Pour m = 14, l’écart |14 − 12| vaut précisément 2, et l’inégalité large inclut l’égalité.
D — Faux. Pour appartenir à la bande, la distance de m au centre μ = 12 doit rester inférieure ou égale à 2. Or |9,9 − 12| = 2,1 : cette moyenne est hors de la bande.
E — Faux. La condition définit la bande étudiée, pas une garantie. Un échantillon peut produire une moyenne hors de la bande.

Méthode à retenir. Calculer d’abord 2σ/√n ; les bornes sont incluses par le signe ≤.

Question 4

Comparer deux tailles

Pour une même variable de moyenne théorique μ = 8 et d’écart type σ = 3, on compare expérimentalement la quantité 2σ/√n pour n = 9 et n = 36. Quelles propositions sont exactes ?

Les bandes correspondantes sont [6 ; 10] puis [7 ; 9]. Quand n est multiplié par 4, cette quantité est divisée par 4. Pour n = 9, cette quantité vaut 2. L’échantillon le plus grand a nécessairement une moyenne plus proche de 8. Pour n = 36, cette quantité vaut 1.

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Réponse attendue : A, C, E

A — Vrai. On centre les bandes en μ = 8 : 8 ± 2 donne [6 ; 10], et 8 ± 1 donne [7 ; 9].
B — Faux. La racine de 4n vaut 2√n. Le dénominateur double : la quantité est divisée par 2, pas par 4.
C — Vrai. Cette quantité mesure la demi-largeur de la bande étudiée. Avec σ = 3 et n = 9, elle vaut 2σ/√n = 6/√9 = 6/3 = 2.
D — Faux. Une bande numérique plus étroite ne garantit pas le résultat d’un tirage particulier : les moyennes observées fluctuent.
E — Vrai. La même dispersion du modèle est rapportée à la racine de la nouvelle taille 36. La demi-largeur vaut donc 2σ/√n = 6/√36 = 6/6 = 1.

Méthode à retenir. Quand n quadruple, √n double et la quantité 2σ/√n est divisée par deux.

Question 5

Proportion issue de 40 simulations

Un tableur simule N = 40 échantillons de taille n. Pour 37 de ces échantillons, la moyenne m vérifie |m − μ| ≤ 2σ/√n. Quelles conclusions sont justifiées ?

La proportion constatée prouve qu’un nouvel échantillon sera dans la bande avec probabilité exactement 0,925. Trois moyennes simulées sont hors de la bande. La proportion constatée vaut 37/40 = 0,925. La proportion vaut 37/40 même si on recommence avec une nouvelle série de 40 échantillons. Ici, la condition est vérifiée plus souvent qu’elle ne l’est pas.

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Réponse attendue : B, C, E

A — Faux. 0,925 est la fréquence de ces 40 simulations, pas une probabilité établie pour un nouvel échantillon.
B — Vrai. Il y a 40 − 37 = 3 simulations pour lesquelles la condition n’est pas vérifiée.
C — Vrai. On divise le nombre de cas favorables par le nombre total d’échantillons : 37/40 = 0,925, soit 92,5 %.
D — Faux. La fréquence peut changer avec les résultats de la nouvelle simulation. Une nouvelle série possède d'autres résultats aléatoires ; 37/40 décrit seulement la fréquence observée dans la première.
E — Vrai. 37 simulations vérifient l’inégalité et 3 la violent ; 37 > 3.

Méthode à retenir. Indiquer toujours N, le nombre de simulations, quand on cite une proportion empirique.

Question 6

Un simulateur de variable 0 ou 1

Un nombre r est tiré uniformément dans [0 ; 1[. Le programme renvoie X = 1 si r < 0,2, et X = 0 sinon. Les appels successifs sont indépendants. Quelles affirmations sont exactes ?

Sur cinq appels, on obtient nécessairement une fois 1. P(X = 1) = 0,2. E(X) = 0,2. La moyenne d’un échantillon de X est toujours exactement 0,2. P(X = 0) = 0,2.

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Réponse attendue : B, C

A — Faux. La valeur 1 a probabilité 0,2 à chaque appel, mais un échantillon fini peut contenir zéro, un ou plusieurs succès.
B — Vrai. L’intervalle des valeurs de r vérifiant r < 0,2 a longueur 0,2 dans un intervalle total de longueur 1.
C — Vrai. La somme pondérée des valeurs donne E(X) = 1 × 0,2 + 0 × 0,8 = 0,2.
D — Faux. Par exemple, cinq appels donnant 0 ont une moyenne de 0. L’espérance 0,2 n’est pas imposée à chaque échantillon.
E — Faux. X vaut 0 lorsque r appartient à [0,2 ; 1[, un intervalle de longueur 0,8. Sous le tirage uniforme, sa probabilité est donc 0,8.

Méthode à retenir. Interpréter le test r < 0,2 comme une longueur d’intervalle, puis distinguer espérance et moyenne observée.

Question 7

Lire une boucle Python

Une fonction exécute s = 0, puis pour i in range(n) ajoute à s la valeur obtenue par un nouvel appel de tirage(), puis renvoie s/n. On suppose n entier strictement positif. Quelles propositions sont correctes ?

Si n = 0, le même programme pourrait renvoyer la moyenne 0. Remplacer s/n par s ferait renvoyer la somme, pas la moyenne. Elle renvoie toujours E(X), l’espérance de la loi simulée. Elle renvoie une moyenne d’échantillon. Elle effectue n appels à tirage().

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Réponse attendue : B, D, E

A — Faux. L’expression s/n demanderait une division par zéro. La condition n > 0 est indispensable.
B — Vrai. La division par la taille n transforme la somme des observations en moyenne ; sans division, le résultat est le total.
C — Faux. Le résultat dépend des tirages de cette exécution ; E(X) est déterminée par la loi théorique et ne coïncide pas toujours avec la moyenne observée.
D — Vrai. Après n itérations, s est la somme des n observations ; s/n est leur moyenne arithmétique.
E — Vrai. range(n) donne n itérations pour n entier positif ; l’appel est placé dans la boucle.

Méthode à retenir. Repérer ce qui est calculé à chaque itération, puis interpréter la valeur renvoyée.

Question 8

Transformation des observations

Un échantillon de quatre valeurs est (10 ; 12 ; 8 ; 14). On ajoute 3 à chacune de ces valeurs pour former un nouvel échantillon. Quelles propositions sont exactes ?

La moyenne initiale vaut 11. La moyenne augmente de 12. Le nouvel échantillon est de taille 7. Les écarts de chaque valeur à la moyenne restent inchangés. La nouvelle moyenne vaut 14.

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Réponse attendue : A, D, E

A — Vrai. (10 + 12 + 8 + 14)/4 = 44/4 = 11. La transformation ultérieure des quatre mesures ne doit pas être appliquée avant le calcul de cette moyenne initiale.
B — Faux. La somme augmente de 4 × 3 = 12, mais la moyenne augmente de 12/4 = 3.
C — Faux. Ajouter 3 aux valeurs change chaque observation, mais pas le nombre d’observations : il en reste quatre.
D — Vrai. L’ancienne différence 10 − 11 = −1 devient 13 − 14 = −1 ; c’est pareil pour chaque valeur, car on ajoute 3 aux deux nombres.
E — Vrai. Les quatre nouvelles valeurs sont 13, 15, 11 et 17. Leur somme vaut 56, donc leur moyenne vaut 56/4 = 14.

Méthode à retenir. Une transformation des valeurs ne modifie pas la taille de l’échantillon.

Question 9

Réunir deux échantillons de tailles différentes

Un premier échantillon comprend 5 mesures de moyenne 4 ; un second en comprend 15 de moyenne 6. On réunit les 20 mesures. Quelles propositions sont valides ?

La moyenne réunie vaut (4 + 6)/2 = 5. La somme des mesures du second échantillon est 90. La somme des mesures du premier échantillon est 20. La moyenne réunie vaut 5,5. La moyenne réunie vaut 6 parce que le second échantillon est plus grand.

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Réponse attendue : B, C, D

A — Faux. Les groupes n’ont pas le même effectif. La moyenne doit pondérer 4 par 5 et 6 par 15.
B — Vrai. Pour le second groupe : 15 × 6 = 90. Cette somme rejoint les 20 unités du premier groupe pour obtenir la somme totale, avant division par vingt observations.
C — Vrai. Somme = effectif × moyenne = 5 × 4 = 20. La moyenne 4 du petit groupe ne peut pas être moyennée directement avec la moyenne 6 du grand groupe.
D — Vrai. La moyenne globale utilise la somme de toutes les mesures et le total des effectifs : (20 + 90)/(5 + 15) = 110/20 = 5,5. On ne donne pas le même poids aux deux groupes.
E — Faux. La moyenne 6 est celle du second groupe seulement ; les cinq mesures de moyenne 4 abaissent la moyenne globale à 5,5.

Méthode à retenir. Retrouver les sommes de chaque groupe avant de diviser par l’effectif total.

Question 10

Une loi et un échantillon de gains

Le gain X d’un jeu vaut 0 avec probabilité 3/4 et 4 € avec probabilité 1/4. Lors de quatre parties indépendantes, les gains observés sont (0 ; 4 ; 0 ; 0). Quelles affirmations sont correctes ?

Un échantillon contenant quatre fois 4 € est impossible. Avec vingt parties observées, leur moyenne serait nécessairement 1 €. La coïncidence entre moyenne observée et espérance est obligatoire. E(X) = 1 €. La moyenne des quatre gains observés vaut 1 €.

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Réponse attendue : D, E

A — Faux. Chaque partie peut donner 4 € ; quatre succès successifs sont possibles, avec probabilité (1/4)⁴ > 0.
B — Faux. L’espérance n’impose aucune égalité exacte à une moyenne d’échantillon fini, même si l’on accroît sa taille.
C — Faux. Quatre gains nuls formeraient un autre échantillon possible de moyenne 0 €, malgré la même espérance de 1 €.
D — Vrai. L’espérance de la loi vaut 0 × 3/4 + 4 € × 1/4 = 1 €. C’est un gain moyen théorique par partie.
E — Vrai. La somme observée est 4 € ; elle est divisée par quatre parties, soit 1 € par partie.

Méthode à retenir. Ne pas interpréter l’espérance comme une promesse pour une série finie de parties.

Question 11

Écart à la moyenne du modèle

Une variable X a pour espérance μ = 2. Deux échantillons simulés de cinq observations donnent les listes S₁ = (2 ; 1 ; 3 ; 2 ; 2) et S₂ = (1 ; 1 ; 2 ; 1 ; 2). Quelles conclusions sont exactes ?

Les deux échantillons ont le même écart absolu à μ. Les deux échantillons donnent la même moyenne parce qu’ils ont cinq valeurs. La moyenne de S₁ vaut 2. Pour S₂, |m − μ| = 0,6. La moyenne de S₂ vaut 1,4.

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Réponse attendue : C, D, E

A — Faux. S₁ a l’écart |2 − 2| = 0, tandis que S₂ a l’écart 0,6.
B — Faux. La taille commune n’impose pas des observations communes : les moyennes calculées sont respectivement 2 et 1,4.
C — Vrai. Les observations de S₁ totalisent 2 + 1 + 3 + 2 + 2 = 10 ; leur moyenne est 10/5 = 2.
D — Vrai. On compare la moyenne observée 1,4 à l’espérance 2 : |1,4 − 2| = 0,6.
E — Vrai. Les observations de S₂ totalisent 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 7 ; leur moyenne est 7/5 = 1,4.

Méthode à retenir. Calculer chaque moyenne avant de comparer la distance à μ.

Question 12

Faire varier la taille du simulateur

On appelle deux fois une fonction moyenne(n) qui simule n réalisations indépendantes d’une même variable et renvoie leur moyenne. La première fois n = 10, la seconde n = 100. Quelles propositions sont fondées ?

Les deux moyennes renvoyées peuvent être différentes. La moyenne de taille 100 est toujours numériquement plus proche de E(X) que celle de taille 10. Le second appel utilise dix fois plus de réalisations. La somme est divisée par 100 lors du second appel. La probabilité théorique d’une valeur de X change parce que n change.

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Réponse attendue : A, C, D

A — Vrai. Chaque appel réalise de nouveaux tirages ; leurs résultats peuvent différer même pour le même modèle.
B — Faux. On ne peut pas garantir un tel ordre pour deux réalisations particulières. Une petite série peut être très proche de E(X) par hasard.
C — Vrai. 100/10 = 10 : la taille du second échantillon est dix fois celle du premier.
D — Vrai. Pour une moyenne de n = 100 observations, on divise leur somme par le nombre 100.
E — Faux. La loi utilisée à chaque réalisation est la même dans les deux appels ; seule la taille des échantillons varie.

Méthode à retenir. Une tendance sur des séries répétées ne prouve pas une inégalité pour deux échantillons particuliers.

Question 13

Dix simulations dans une bande

On simule dix échantillons. Les écarts |m − μ| de leurs moyennes au modèle sont (0,2 ; 0,5 ; 1,1 ; 0,8 ; 0 ; 1,4 ; 0,6 ; 0,9 ; 1 ; 0,3). Pour cette expérience, le seuil 2σ/√n vaut 1. Quelles réponses sont justes ?

Huit des dix moyennes vérifient |m − μ| ≤ 1. La proportion constatée dans la bande vaut 80 %. On ne peut conclure de ces dix simulations que toutes les futures moyennes resteront dans la bande. Le seuil 1 représente la moyenne des dix écarts. L’écart exactement égal à 1 doit être rejeté.

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Réponse attendue : A, B, C

A — Vrai. Seuls les écarts 1,1 et 1,4 dépassent 1. Les huit autres, y compris 1 exactement, vérifient la condition.
B — Vrai. Huit succès parmi dix simulations donnent 8/10 = 0,8 = 80 %.
C — Vrai. Deux des dix moyennes étudiées sont déjà hors de la bande ; plus généralement, la simulation renseigne une fréquence observée, pas une garantie universelle.
D — Faux. Ce seuil est une valeur de comparaison 2σ/√n ; l’énoncé ne dit pas que les dix écarts ont pour moyenne 1.
E — Faux. L’inégalité est large, ≤ 1 : la valeur frontière 1 est incluse.

Méthode à retenir. Compter les cas vérifiant une inégalité large, bornes comprises.

Question 14

Changer l’unité d’une variable

X mesure une durée en minutes, de moyenne théorique μ = 30 min et d’écart type σ = 6 min. Un échantillon de taille n = 36 a pour moyenne 31,5 min. On exprime ensuite les mêmes durées en secondes. Quelles propositions sont justes ?

L’espérance exprimée en secondes vaut 1 800 s. La moyenne observée vaut 1 890 s. L’écart type exprimé en secondes reste égal à 6 s. La taille de l’échantillon devient n = 2 160 après conversion. L’écart absolu à l’espérance vaut 1,5 min, soit 60 s.

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Réponse attendue : A, B

A — Vrai. Une espérance de durée se convertit comme une durée ordinaire. Pour passer des minutes aux secondes, on multiplie par 60 : 30 min × 60 s·min⁻¹ = 1 800 s.
B — Vrai. La moyenne suit le même changement d’unité que les durées : 31,5 min × 60 s·min⁻¹ = 1 890 s.
C — Faux. σ mesure une dispersion dans la même unité que X ; 6 min correspondent à 360 s, et non 6 s.
D — Faux. Changer minutes en secondes multiplie les valeurs mesurées par 60, pas le nombre d’observations : n reste 36.
E — Faux. La différence observée est 31,5 − 30 = 1,5 minute. En multipliant par 60 secondes par minute, on obtient 90 s et non 60 s.

Méthode à retenir. Une unité modifie les valeurs d’une grandeur, pas l’effectif de l’échantillon.

Question 15

Lire les résultats sans extrapoler

Un dispositif délivre X = 1 avec probabilité 1/10 et X = 0 sinon. Une simulation indépendante de taille n = 10 produit dix zéros. Quelles affirmations sont exactes ?

La moyenne de cet échantillon est 0. Le résultat simulé réfute nécessairement le modèle. E(X) = 0,1. Il aurait été impossible d’observer dix valeurs 1. L’écart absolu entre moyenne observée et espérance vaut 0,1.

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Réponse attendue : A, C, E

A — Vrai. La somme des dix observations vaut 0 et leur moyenne vaut 0/10 = 0.
B — Faux. Sous le modèle, dix zéros ont une probabilité (9/10)¹⁰ > 0 : le résultat est possible.
C — Vrai. D’après la loi donnée, E(X) = 1 × (1/10) + 0 × (9/10) = 0,1.
D — Faux. C’est peu probable, mais possible sous les tirages indépendants : (1/10)¹⁰ > 0.
E — Vrai. On compare ici la moyenne réellement observée, 0, à la valeur théorique du modèle, 0,1. Leur écart absolu est |0 − 0,1| = 0,1, ce qui reste compatible avec une simulation finie.

Méthode à retenir. Une moyenne inhabituelle reste possible ; distinguer possible, probable et certain.

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