Fonction exponentielle

Réponse attendue : D

1. A — Faux. L'exponentielle d'un réel est strictement positive, que l'exposant soit positif ou négatif. Par exemple, si x est négatif, eˣ est l'inverse de e à un exposant positif ; cet inverse reste strictement supérieur à zéro.

2. B — Faux. La dérivée de eˣ est eˣ ; elle vaut e⁰ = 1 au point zéro, donc la tangente n'est pas horizontale.

3. C — Faux. L'exponentielle ne s'annule jamais et sa valeur à l'origine est précisément 1.

4. D — Vrai. La condition initiale caractérisant l'exponentielle donne la valeur 1 au point zéro. Le point de la courbe est donc (0 ; 1), et la dérivée y prend aussi la valeur 1.

5. E — Faux. Cette formule ne correspond pas à l'exponentielle simple ; sa dérivée est exactement eˣ.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. Le produit eˣe⁻ˣ vaut e^{x−x} = e⁰ = 1 et eˣ n'est jamais nul.

2. B — Faux. Un exposant négatif donne un inverse positif, non l'opposé d'un nombre positif. À x=2, e⁻²=1/e² ; confondre inverse et opposé changerait même le signe du résultat.

3. C — Vrai. Les exposants −2 et 2 s'additionnent en zéro ; le produit vaut e⁰ = 1.

4. D — Faux. La relation eˣe⁻ˣ = 1 résulte d'une propriété valable pour tout réel x. On vérifie aussi l'identité pour x=−2 : les exposants sont alors 2 et −2, de somme nulle.

5. E — Faux. L'exponentielle ne s'annule pour aucun réel fini ; elle peut seulement s'approcher de zéro.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Le signe du coefficient vient de la dérivée de −2x et vaut −2, pas +2.

2. B — Vrai. L'exposant vaut zéro à l'origine et toute exponentielle e⁰ vaut 1. La valeur initiale ne préjuge pas de l'évolution ensuite : la dérivée −2e^−2x est négative partout.

3. C — Vrai. La règle de chaîne multiplie e^{-2x} par la dérivée −2 de l'exposant. Le facteur −2 vient de la dérivée de −2x ; l'oublier donnerait une pente positive erronée.

4. D — Vrai. Pour tout x, e^{-2x} > 0 ; la dérivée est donc strictement négative.

5. E — Vrai. Pour x positif, l'exposant −2x est négatif, mais l'exponentielle e^{-2x} demeure strictement positive.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Une somme d'exposants produit un produit de valeurs, et non une somme de valeurs. En particulier, l'égalité exacte est e²⁺³=e⁵=e²e³ ; remplacer le produit par une somme modifie l'identité.

2. B — Faux. Le produit des puissances de même base additionne les exposants 2 et 3 ; leur produit 6 ne convient pas.

3. C — Vrai. Pour des puissances de même base e, on additionne les exposants : 2 + 3 = 5.

4. D — Faux. Chacun des facteurs exponentiels est strictement positif ; leur produit reste positif. Même sans calculer e² et e³ séparément, leur positivité impose déjà le signe du produit.

5. E — Vrai. La propriété e^{a+b} = e^a e^b s'applique avec a = 2 et b = 3.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Sa dérivée vaut (20 milliers d'individus par an) multiplié par une exponentielle strictement positive. Comme le taux 0,2 an⁻¹ est positif, P'(t) reste positif pour toute durée t admissible.

2. B — Vrai. À l'origine e⁰ = 1 ; la valeur initiale de P est donc 100 milliers d'individus.

3. C — Vrai. Au bout d'une année, le produit dans l'exposant vaut 0,2 et le coefficient garde son unité d'effectif.

4. D — Faux. L'exponentielle de zéro vaut 1, pas zéro ; la population initiale est 100 milliers d'individus. À t=0, le facteur e⁰ vaut 1 ; on retrouve donc le coefficient initial 100 milliers.

5. E — Vrai. La dérivation de l'exponentielle ajoute son coefficient temporel 0,2 an⁻¹ ; P′(t) est un effectif par année.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Après 2x = 6, on divise par 2 et vérifie e^{2×3} = e⁶. La stricte croissance de l'exponentielle garantit qu'aucun autre exposant que 6 ne donne e⁶.

2. B — Faux. La positivité n'impose pas l'égalité de deux valeurs exponentielles ; seule x = 3 convient. Être positifs ne rend pas deux nombres égaux : e² et e⁶ sont positifs mais distincts.

3. C — Faux. La base e reste la même dans les deux membres ; ce sont les exposants 2x et 6 qu'il faut comparer.

4. D — Faux. Alors le membre gauche vaut e¹², différent de e⁶ puisque les exposants 12 et 6 diffèrent.

5. E — Vrai. L'injectivité de l'exponentielle permet d'égaler les deux exposants réels : des images égales proviennent d'antécédents égaux.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Toutes les valeurs de l'exponentielle sont strictement positives, y compris celles d'exposant négatif.

2. B — Faux. Un exposant négatif signifie réciproque 1/e, nombre positif, et non nombre opposé −e. La notation e⁻¹ désigne 1/e ; un nombre négatif exigerait un signe moins extérieur.

3. C — Vrai. Appliquer la croissance stricte de l'exponentielle à −1 < 0 < 2 donne e⁻¹ < e⁰ = 1 < e².

4. D — Faux. À l'exposant zéro, la valeur est 1, condition fondamentale de l'exponentielle. L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse zéro est e⁰=1, au-dessus de l'axe horizontal.

5. E — Vrai. Comme 2 > 1 et que l'exponentielle est croissante, e² > e¹ = e.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Même pour x négatif, eˣ > 0 ; une puissance entière positive reste positive.

2. B — Faux. Multiplier par 3 est différent de former un produit de trois facteurs eˣ.

3. C — Faux. Élever eˣ au cube multiplie l'exposant par 3 ; cela ne transforme pas x en x³.

4. D — Vrai. Le cube est eˣ × eˣ × eˣ = e^{x+x+x} = e^{3x}. La règle eᵃeᵇ=e^a+b est appliquée deux fois ; trois facteurs eˣ conduisent à l'exposant 3x.

5. E — Vrai. L'exponentielle eˣ est strictement positive ; son cube conserve ce signe. Cette propriété vaut même lorsque x est négatif, car le cube d'un nombre positif reste positif.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. La formule donne 50e^{0,1(n+1)}/[50e^{0,1n}] = e^{0,1(n+1)−0,1n} = e^{0,1}. Le rapport ne dépend donc pas de n.

2. B — Faux. Le nombre 0,1 est l'incrément d'exposant ; le multiplicateur des effectifs est e^{0,1}. Une raison géométrique relie deux termes successifs ; elle doit multiplier le terme, et non s'ajouter à l'exposant.

3. C — Vrai. La raison e^{0,1} dépasse e⁰ = 1 ; multiplier chaque terme positif par cette raison le fait augmenter.

4. D — Vrai. Le rapport de deux termes consécutifs est constant et indépendant de n, caractéristique d'une suite géométrique. Le quotient N_n+1/N_n ne dépend pas de n, car e^0,1n se simplifie.

5. E — Faux. Une suite géométrique de raison supérieure à 1 a des écarts qui grandissent ; ce n'est pas une suite arithmétique.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. La dérivée de e^{2x} vaut 2e^{2x}, puis le coefficient extérieur 3 donne 6e^{2x}. On dérive d'abord l'exposant 2x en 2 ; ce facteur se multiplie ensuite au coefficient extérieur 3.

2. B — Vrai. À l'origine, e⁰ = 1 ; la formule dérivée donne 6 × 1 = 6.

3. C — Faux. Le nombre f′(0) vaut 6e⁰ = 6 ; la dérivée ne s'annule pas en zéro.

4. D — Faux. Cette expression oublie le facteur 2 provenant de la dérivée de l'exposant 2x.

5. E — Faux. L'exponentielle composée avec 2x est définie et dérivable sur tout ℝ. L'exposant 2x accepte tout réel x ; aucune racine carrée ni division par une expression variable n'intervient.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. L'exposant vaut zéro au temps initial ; e⁰ = 1 laisse la concentration égale à 8 mol·L⁻¹.

2. B — Vrai. À deux heures, l'exposant vaut −(0,5 h⁻¹) × (2 h) = −1 ; e⁻¹ = 1/e. Le temps de 2 h annule l'unité h⁻¹ du taux ; l'exposant −1 est sans dimension.

3. C — Vrai. Le coefficient 8 mol·L⁻¹ est positif et le facteur exponentiel ne s'annule jamais. Une exponentielle tend éventuellement vers zéro sans l'atteindre à un temps fini ; cela maintient le signe de C(t).

4. D — Faux. Le modèle est exponentiel, pas affine : il faut évaluer le facteur e^{-1}, non retrancher une quantité.

5. E — Faux. L'argument de l'exponentielle est sans dimension : 0,5 h⁻¹ multiplié par t en heures n'a pas d'unité.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Les deux membres sont alors e⁻¹ ; la borne est incluse à cause du signe ≤.

2. B — Faux. Le signe de l'exposant ne change pas le sens de variation de x ↦ eˣ, qui reste croissante.

3. C — Faux. Cette réponse inverse l'ordre, alors que l'exponentielle croissante le conserve. L'inégalité initiale compare les exposants x et −1 ; une fonction croissante interdit de renverser leur ordre.

4. D — Vrai. La croissance stricte donne eˣ ≤ e⁻¹ si et seulement si x ≤ −1. La borne −1 est incluse parce que l'inégalité autorise l'égalité eˣ=e⁻¹.

5. E — Faux. On aurait e⁰ = 1 > e⁻¹ puisque −1 < 0 et l'exponentielle est croissante.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Pour x négatif, eˣ reste positif ; eˣ + 1 est toujours non nul. La somme eˣ+1 dépasse 1 pour tout réel x ; aucune abscisse négative n'est à exclure du domaine.

2. B — Faux. Les dérivées au numérateur et au dénominateur ne s'annulent pas dans la règle du quotient ; le résultat est positif.

3. C — Vrai. Le numérateur eˣ − 1 est nul en zéro et croît avec x ; le dénominateur reste positif.

4. D — Vrai. La dérivée du quotient vaut 2eˣ/(eˣ + 1)², strictement positive sur ℝ. Le numérateur 2eˣ est positif et le dénominateur carré l'est aussi ; leur quotient ne peut s'annuler.

5. E — Vrai. Comme eˣ > 0, le dénominateur eˣ + 1 dépasse 1 et ne s'annule jamais.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Sa pente est f′(0) = e⁰ = 1, et non zéro. Une tangente horizontale exigerait f'(0)=0, alors que la pente calculée est strictement positive.

2. B — Vrai. Au point zéro, l'exponentielle vaut 1, et la droite y = x + 1 a la même ordonnée.

3. C — Faux. Cette droite passe par (0 ; 0), alors que la courbe exponentielle passe par (0 ; 1).

4. D — Vrai. La formule y = f(0) + f′(0)(x − 0) donne y = 1 + x. L'équation passe bien par (0 ; 1) et possède le coefficient directeur f'(0)=1.

5. E — Faux. La pente en zéro est e⁰ = 1 ; la valeur e correspond à l'image ou pente en x = 1.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Sa dérivée est négative pour x < −1, donc la fonction décroît d'abord. Pour x<−1, le facteur x+1 est négatif tandis que eˣ reste positif ; le produit dérivé est négatif.

2. B — Vrai. Dériver x donne 1 × eˣ, et dériver eˣ donne x × eˣ ; la somme se factorise.

3. C — Vrai. En substituant x = −1, on obtient h(−1) = −e^{-1} = −1/e. La dérivée (x+1)eˣ change de signe en −1 ; ce changement confirme que la valeur obtenue est un minimum.

4. D — Vrai. Le facteur x + 1 passe de négatif à positif en −1, tandis que eˣ reste positif.

5. E — Faux. Cette expression oublie la dérivation de l'exponentielle dans le second facteur du produit.