Dérivation

Réponse attendue : D

1. A — Faux. Ce nombre est seulement la variation d'ordonnée ; il reste à diviser par la variation d'abscisse 2. Avec f(3)=9 et f(1)=1, la pente de la droite est donc 8/2=4, pas 8.

2. B — Faux. Une sécante relie deux points distincts et sa pente 4 diffère de la pente tangentielle f′(1) = 2.

3. C — Faux. La somme des images vaut bien 9 + 1 = 10, mais elle ne définit pas une pente. Le taux de variation est (9 − 1)/(3 − 1) = 4.

4. D — Vrai. Les images sont f(3) = 9 et f(1) = 1 ; leur écart 8 divisé par 2 vaut 4.

5. E — Faux. Ses deux ordonnées 1 et 9 sont différentes ; sa pente vaut (9 − 1)/(3 − 1) = 4, donc elle n'est pas horizontale.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. La dérivée calculée vaut f′(3) = 2 × 3 − 6 = 0 ; le sommet de la parabole possède une tangente horizontale.

2. B — Vrai. Le signe de 2x − 6 est négatif avant 3 et positif après 3. Le changement de signe en x=3 traduit une descente puis une montée, et l'image f(3)=1 confirme le minimum.

3. C — Vrai. On écrit f(x) = (x − 3)² + 1 ; le carré est minimal et nul à x = 3.

4. D — Vrai. La dérivée de x² est 2x, celle de −6x est −6 et celle de la constante 10 est zéro.

5. E — Faux. La substitution donne 3² − 6 × 3 + 10 = 9 − 18 + 10 = 1.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Le nombre 1 est une ordonnée ; la pente vaut f′(1) = 3 × 1² = 3.

2. B — Faux. Les polynômes sont dérivables sur ℝ ; x³ a ici une tangente de pente 3. Au point x=1, on connaît f(1)=1 et f'(1)=3 ; ces deux nombres fixent l'équation de la tangente.

3. C — Vrai. La courbe passe par (1 ; 1) et la pente vaut 3 ; y = 1 + 3(x − 1) = 3x − 2.

4. D — Vrai. En x = 1, le cube vaut 1 ; la droite 3x − 2 a également l'ordonnée 1.

5. E — Faux. Cette droite a la bonne pente mais ne passe pas par (1 ; 1), car elle y donne 4.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Le nombre 8 est le demi-périmètre, pas chacun des deux côtés ; le carré optimal a des côtés de 4 m.

2. B — Faux. L'autre côté serait nul, interdit dans le domaine 0 < x < 8, et l'aire tendrait vers zéro. La formule A(x)=x(8−x) s'annule au bord x=8 ; le sommet intérieur donne une aire positive supérieure.

3. C — Vrai. La dérivée du nombre x(8 − x) est 8 − 2x ; elle passe de positive à négative en x = 4.

4. D — Vrai. Comme x(8 − x) = −x² + 8x = 16 − (x − 4)², cette écriture révèle directement le maximum.

5. E — Vrai. Le carré (x − 4)² est positif et s'annule en x = 4 ; l'autre côté vaut alors aussi 4 m.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Sa formule initiale contient une division par h ; on ne prend que la limite de valeurs avec h non nul.

2. B — Vrai. Le numérateur est 4 + 4h + h² − 4 = h(4 + h), puis la division par h donne 4 + h.

3. C — Faux. Le terme h² du numérateur devient h après division par h ; le quotient correct est 4 + h. Après développement, (2+h)²−4=4h+h² ; chaque terme est divisé par h avant de tendre vers zéro.

4. D — Vrai. Quand h tend vers zéro, le quotient 4 + h tend vers 4 ; c'est la pente tangentielle en x = 2.

5. E — Faux. Les deux nombres coïncident ici, mais l'un est une dérivée, l'autre une image ; aucune identité générale ne les relie.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Le coefficient local est la dérivée f′(9) = 1/6, pas la valeur f(9) = 3.

2. B — Vrai. Comme f(9) = 3 et f′(9) = 1/(2 × 3) = 1/6, on ajoute h/6.

3. C — Vrai. La fonction √x n'est pas affine ; sa tangente approche localement la courbe sans se confondre partout avec elle.

4. D — Faux. Le nombre 3,2² vaut 10,24 et non 9,2 ; on utilise une approximation près de 3.

5. E — Vrai. La formule f′(x) = 1/(2√x) sur les positifs donne f′(9) = 1/(2 × 3). Cette pente convertit une petite variation h de l'abscisse en variation approximative h/6 de la racine.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Le numérateur devient 2(x − 1) − (2x + 1) = −3 ; le dénominateur est (x − 1)².

2. B — Faux. La fonction n'est pas définie en x = 1 ; les variations se décrivent séparément de chaque côté.

3. C — Faux. Une division par zéro n'est pas définie ; l'abscisse 1 doit rester exclue du domaine. Même si le numérateur y vaut 3, aucune simplification ne peut donner une image lorsque le dénominateur s'annule.

4. D — Faux. La règle du quotient comporte la différence u′v − uv′, qui vaut −3 et non +3.

5. E — Vrai. La dérivée −3/(x − 1)² est strictement négative sur chacun des deux intervalles du domaine.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. La dérivation de x³ multiplie par l'exposant 3 ; elle donne 3x², pas x².

2. B — Vrai. L'équation 3x² − 6 = 0 donne x² = 2, donc les deux abscisses −√2 et +√2.

3. C — Vrai. Dans l'intervalle central, x² < 2, donc la dérivée 3x² − 6 est négative. Aux bornes x=±√2, la dérivée s'annule ; l'intervalle ouvert entre elles porte le signe négatif.

4. D — Vrai. La substitution directe dans 3x² − 6 donne −6 ; la pente en zéro est négative.

5. E — Faux. En −√2 et √2, la dérivée change de signe dans des sens différents ; l'un est un maximum, l'autre un minimum.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. La formule comporte une division par √0 = 0 ; elle n'est pas définie au bord x = 0.

2. B — Vrai. Le quotient [√h − 0]/h = 1/√h tend vers +∞ lorsque h tend vers 0 par valeurs positives.

3. C — Faux. Elle est dérivable sur ]0 ; +∞[, avec la dérivée explicite 1/(2√x). Le problème se limite au bord x=0 : pour chaque x strictement positif, 2√x est un dénominateur non nul.

4. D — Faux. La valeur de la fonction n'est pas la pente ; ici le taux de variation ne tend vers aucun nombre réel fini.

5. E — Vrai. La formule sur x > 0 donne 1/[2√4] = 1/(2 × 2) = 1/4.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. On a f(1,1) = 1,21 et f(1) = 1 ; leur différence 0,21 divisée par 0,1 vaut 2,1.

2. B — Vrai. La dérivée de x² est 2x ; en x = 1, elle vaut 2. Cette pente instantanée diffère de la pente sécante sur [1 ; 1,1], même si les deux sont proches.

3. C — Vrai. Le quotient général [(1 + h)² − 1]/h = 2 + h tend vers 2 quand h tend vers zéro.

4. D — Faux. La valeur de la fonction est une ordonnée ; la pente est la dérivée f′(1) = 2.

5. E — Faux. Pour l'écart 0,1 choisi, le quotient vaut 2,1 ; le nombre 2 n'est obtenu qu'en limite.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Développer (x² − 2) + 2x² + 2x donne 3x² + 2x − 2. Il faut conserver les deux contributions u'v et uv' ; la somme des termes semblables fournit ensuite le polynôme annoncé.

2. B — Vrai. La dérivée de x + 1 vaut 1 et celle de x² − 2 vaut 2x ; la règle du produit donne cette somme.

3. C — Faux. Le produit des dérivées n'est pas la dérivée du produit ; les deux termes u′v et uv′ sont nécessaires.

4. D — Faux. Elle est dans un facteur multiplié par x + 1, et contribue donc au terme −2 de f′.

5. E — Faux. La formule calculée donne f′(0) = −2 ; on peut vérifier en développant d'abord f(x) = x³ + x² − 2x − 2.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Substituer q = 5 dans 2q + 10 donne 2 × 5 + 10 = 20.

2. B — Faux. La dérivée d'une constante est zéro ; 100 € n'ajoute aucune contribution au coût marginal.

3. C — Vrai. q est un nombre d'unités ; la dérivée de q² + 10q + 100 par rapport à q vaut 2q + 10.

4. D — Faux. Cent soixante-quinze euros est le coût total ; la dérivée fournit 20 euros par unité. Comparer C(5) à C'(5) revient à comparer une facture totale à sa variation pour une unité supplémentaire.

5. E — Vrai. Le coût total vaut (5² + 10 × 5 + 100) € = 175 €, grandeur distincte de son taux de variation.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Le signe négatif de la dérivée de l'inverse est essentiel ; la fonction décroît pour x positif.

2. B — Faux. La droite y = 1 − x/4 vaut 1 en zéro ; le point (0 ; 0) n'y appartient pas.

3. C — Faux. Le réciproque 1/x exige x non nul ; zéro est exclu, même si une droite tangente peut y être évaluée.

4. D — Vrai. La dérivée de x⁻¹ vaut −x⁻² ; en x = 2, elle vaut −1/4. La dérivée est évaluée à l'abscisse du point de contact, tandis que f(2)=1/2 fixe l'ordonnée.

5. E — Vrai. L'équation y = 1/2 − (x − 2)/4 se simplifie en 1 − x/4 et passe bien par (2 ; 1/2).

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. La substitution donne (−2)³ − (−2) = −8 + 2 = −6. Le calcul de f(−2) doit respecter les parenthèses : le cube vaut −8 et le terme −x vaut +2.

2. B — Faux. Une dérivée paire a les mêmes valeurs aux abscisses opposées ; f′(−2) = f′(2) = 11.

3. C — Vrai. On calcule f(−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x).

4. D — Vrai. La dérivée est un polynôme en x² : f′(−x) = 3(−x)² − 1 = f′(x).

5. E — Faux. Ce sont deux puissances impaires ; leur différence reste impaire, pas paire.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. La valeur absolue de zéro vaut zéro ; c'est le nombre dérivé, et non la valeur f(0), qui manque.

2. B — Faux. La valeur absolue est continue, mais présente une pointe avec deux pentes latérales différentes.

3. C — Vrai. Si h > 0, |h| = h et [f(h) − f(0)]/h = h/h = 1.

4. D — Faux. Pour h < 0, |h| = −h ; le quotient −h/h vaut −1. Les limites des taux à droite et à gauche diffèrent ; aucune pente unique de tangente n'existe en zéro.

5. E — Vrai. Le taux à gauche vaut −1 et celui à droite +1 ; les deux limites ne sont pas égales.