Seconde · Mathématiques

Probabilités conditionnelles et arbres

Complément de programme

15 questions originales à réponses multiples pour vérifier les notions, les méthodes et les points de vigilance du chapitre.

Munis-toi d’un papier et d’un stylo. Pour chaque question, choisis toutes les réponses justes ; il peut y en avoir plusieurs. Repère le groupe conditionnant et écris les effectifs ou les branches de l’arbre avant de calculer.

Comment répondre ?

Prévois une feuille et un stylo pour poser tes calculs et rédiger tes étapes. Chaque QCM propose cinq affirmations. Une ou plusieurs réponses peuvent être exactes. Coche-les, vérifie, puis ouvre la correction pour comprendre chaque proposition. Tu obtiens un point seulement si tu coches toutes les bonnes réponses, sans cocher de réponse fausse.

0 question vérifiée sur 15

Question 1

Dé à six faces

On lance un dé équilibré à six faces. A : « le résultat est pair » ; B : « le résultat dépasse 4 ». Parmi ces propositions sur ce même lancer, lesquelles sont exactes ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 1
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : A, D

  1. A — Vrai. Sachant A réalisé, l’univers de référence est {2, 4, 6}. Seul 6 réalise B, d’où PA(B) = 1/3.

  2. B — Faux. A ∪ B = {2, 4, 5, 6}, soit quatre issues : P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3. L’union n’est pas seulement A.

  3. C — Faux. A contient 2, 4 et 6 ; B contient 5 et 6. Leur seule issue commune est 6, donc P(A ∩ B) = 1/6, et non 1/3.

  4. D — Vrai. A = {2, 4, 6} contient trois des six issues équiprobables : P(A) = 3/6 = 1/2.

  5. E — Faux. B = {5, 6} contient deux issues, donc P(B) = 2/6 = 1/3, et non 2/3.

Méthode à retenir. Énumérer les six issues puis changer de groupe de référence après « sachant A ».

Question 2

Tirages sans remise

Une urne contient trois boules rouges et deux bleues. On tire successivement deux boules au hasard, sans remise. R désigne « rouge », B « bleue ». Quelles probabilités sont correctes ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 2
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : A, B, C, E

  1. A — Vrai. On suit l’autre chemin : (2/5) × (3/4) = 6/20 = 3/10. Les deux ordres ont ici la même probabilité.

  2. B — Vrai. La première branche vaut 3/5 ; après une rouge, il reste deux bleues sur quatre boules. On multiplie : (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10.

  3. C — Vrai. Sous la condition « une rouge est déjà sortie », il reste deux rouges parmi quatre boules, soit 2/4 = 1/2.

  4. D — Faux. Sans remise, après la première rouge il n’en reste que deux parmi quatre. Donc P(R puis R) = (3/5) × (2/4) = 3/10 ; 9/25 supposerait une remise.

  5. E — Vrai. Après une première rouge sans remise, il reste deux boules bleues sur quatre boules. La probabilité conditionnelle est donc 2/4 = 1/2.

Méthode à retenir. Dessiner les deux niveaux de l’arbre et mettre à jour effectif et composition après le premier tirage.

Question 3

Deux sens du conditionnement

Un club compte 150 adhérents, dont 60 suivent un atelier de dessin. Parmi ces 60, 30 ont moins de 18 ans ; parmi les 90 autres, 15 ont moins de 18 ans. On choisit uniformément un adhérent. D : « atelier de dessin » et J : « moins de 18 ans ». Quelles probabilités sont exactes ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 3
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : B, C, D

  1. A — Faux. Le groupe D contient 60 adhérents, dont seulement 30 sont jeunes. La probabilité de D est 60/150 = 2/5 ; 30/150 décrit D ∩ J.

  2. B — Vrai. Trente adhérents cumulent les deux critères sur les 150 possibles. Ainsi P(D ∩ J) = 30/150 = 1/5.

  3. C — Vrai. Il y a 30 jeunes dans D et 15 jeunes hors de D, soit 45 au total. La probabilité non conditionnelle est 45/150 = 3/10.

  4. D — Vrai. Parmi les 60 inscrits à l’atelier, 30 ont moins de 18 ans. Le dénominateur est donc 60 : PD(J) = 30/60 = 1/2.

  5. E — Faux. On conditionne cette fois parmi les 45 mineurs (30 + 15). La probabilité est 30/45 = 2/3 ; inverser J et D change le dénominateur.

Méthode à retenir. Écris chaque dénominateur à partir de l’évènement placé en indice.

Question 4

Un test et ses faux positifs

Sur 1 000 personnes, 100 sont porteuses d’une maladie. Le test est positif pour 90 des personnes malades et pour 90 des 900 personnes non malades. Une personne est choisie uniformément. M : « malade », T : « test positif ». Quelles propositions sont exactes ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 4
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : C, D

  1. A — Faux. Les tests positifs sont au nombre de 90 + 90 = 180 sur 1 000 : P(T) = 180/1000 = 18 %, pas 9 %.

  2. B — Faux. Il y a 90 + 90 = 180 tests positifs, dont 90 chez une personne malade. PT(M) = 90/180 = 50 %. Le conditionnement a été inversé.

  3. C — Vrai. Parmi les 100 personnes malades, 90 ont un test positif : 90/100 = 90 %.

  4. D — Vrai. Un faux positif correspond à une personne non malade avec un test positif. L’énoncé en dénombre précisément 90.

  5. E — Faux. Parmi les tests positifs, 90 concernent les malades et 90 les non-malades : PT(non M) = 90/(90 + 90) = 50 %, et non 90 %.

Méthode à retenir. Écrire le tableau des quatre effectifs avant d’interpréter un résultat positif.

Question 5

Une roue non équilibrée

La roue d’un jeu peut indiquer 1, 2, 3 ou 4. Le modèle donne respectivement les probabilités 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4. E : « nombre pair » ; G : « nombre au moins égal à 3 ». Quelles affirmations sont justes ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 5
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : A, C, E

  1. A — Vrai. Parmi les issues paires, P(E) = 0,6. La part de l’issue 2 vaut 0,2/0,6 = 1/3.

  2. B — Faux. Une équiprobabilité donnerait 0,25 à chacune ; ici les quatre nombres ont des probabilités différentes.

  3. C — Vrai. Les issues paires sont 2 et 4 ; leurs probabilités s’additionnent : 0,2 + 0,4 = 0,6.

  4. D — Faux. Être pair et au moins égal à 3 ne laisse que l’issue 4. Sa probabilité est 0,4, pas 0,2.

  5. E — Vrai. G regroupe les issues 3 et 4, donc P(G) = 0,3 + 0,4 = 0,7.

Méthode à retenir. Additionner les poids des issues concernées ; ne supposer l’équiprobabilité que si le modèle le dit.

Question 6

Deux événements qui se recoupent

Sur une expérience donnée : P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,2. Quelles valeurs suivent de ces données ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 6
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : A, B, C

  1. A — Vrai. On retranche de B sa partie commune avec A : 0,4 − 0,2 = 0,2.

  2. B — Vrai. On additionne P(A) + P(B), puis on retire l’intersection comptée deux fois : 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7.

  3. C — Vrai. PA(B) = P(A ∩ B)/P(A) = 0,2/0,5 = 0,4. Le dénominateur est non nul.

  4. D — Faux. Le complémentaire de A ∪ B a pour probabilité 1 − 0,7 = 0,3.

  5. E — Faux. A comprend aussi l’intersection. Le morceau A sans B vaut P(A) − P(A ∩ B) = 0,5 − 0,2 = 0,3.

Méthode à retenir. Séparer les régions A seul, B seul, A et B, puis l’extérieur.

Question 7

Deux tickets avec remise

Un lot comporte 20 tickets, dont 7 gagnants. On tire un ticket, on le remet et on mélange avant le deuxième tirage ; les deux tirages sont indépendants. Quelles propositions sont vraies ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 7
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : A, C

  1. A — Vrai. La remise rend le second tirage indépendant du premier ; il y a de nouveau 7 tickets gagnants parmi 20.

  2. B — Faux. Il faut multiplier les probabilités des deux gains : (7/20)² = 49/400, inférieur à 7/20.

  3. C — Vrai. À chaque tirage, P(perdre) = 13/20. Avec remise, (13/20) × (13/20) = 169/400.

  4. D — Faux. Le nombre 169/400 correspond à perdre deux fois : (13/20)². Son contraire, gagner au moins une fois, a pour probabilité 1 − 169/400 = 231/400.

  5. E — Faux. Il y a deux ordres, gain-perte et perte-gain. Chacun vaut (7/20)(13/20) = 91/400, donc la somme vaut 182/400 = 91/200.

Méthode à retenir. La remise conserve les proportions ; « au moins une fois » se traite efficacement par l’événement contraire.

Question 8

Arbre météo et trajet

Selon le modèle d’une journée, P(pluie) = 1/4. Sachant la pluie, P(vélo) = 1/5 ; sachant l’absence de pluie, P(vélo) = 3/5. P désigne « pluie » et V « vélo ». Quelles égalités décrivent les branches ou les chemins ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 8
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : A, C, D, E

  1. A — Vrai. Une fois la pluie fixée, les deux issues vélo et pas de vélo se complètent : 1 − 1/5 = 4/5.

  2. B — Faux. 1/5 est une probabilité conditionnelle. Le chemin complet vaut P(P) × PP(V) = (1/4)(1/5) = 1/20.

  3. C — Vrai. C’est précisément la donnée « parmi les journées de pluie, un trajet à vélo dans un cas sur cinq ».

  4. D — Vrai. P(pas de pluie) = 3/4 ; on suit la branche vélo de poids 3/5. Produit : (3/4)(3/5) = 9/20.

  5. E — Vrai. Le chemin pluie puis vélo a les pondérations 1/4 et 1/5 : leur produit vaut 1/20.

Méthode à retenir. Une branche conditionnelle et un chemin complet ont des significations différentes.

Question 9

Une carte d’un jeu ordinaire

On tire uniformément une carte d’un jeu de 52 cartes (13 cœurs, 4 as, dont l’as de cœur). C : « cœur », A : « as ». Quelles propositions sont exactes ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 9
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : B, D

  1. A — Faux. Les 13 cœurs contiennent l’as de cœur : pour obtenir un cœur sans as, on compte seulement les 12 autres cœurs, donc P(C sans A) = 12/52.

  2. B — Vrai. Une seule carte, l’as de cœur, satisfait les deux critères parmi les 52 cartes.

  3. C — Faux. Les quatre as et les treize cœurs partagent une carte : 4 + 13 − 1 = 16, donc P(A ∪ C) = 16/52.

  4. D — Vrai. Parmi les quatre as, seul l’as de cœur est un cœur : PA(C) = 1/4.

  5. E — Faux. Quand on sait que la carte est un cœur, il reste 13 possibilités dont un seul as : PC(A) = 1/13.

Méthode à retenir. Le groupe de référence est de quatre as ou treize cœurs suivant l’ordre du « sachant ».

Question 10

Tirages avec remise

Une urne contient quatre boules vertes et six jaunes. On tire deux fois avec remise. V : « vert », J : « jaune ». Quelles propositions décrivent correctement les deux tirages ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 10
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : B, D, E

  1. A — Faux. Grâce à la remise, la proportion de jaunes au second tirage reste 6/10 = 0,6.

  2. B — Vrai. Chaque tirage donne P(V) = 4/10 = 0,4 ; avec remise, 0,4 × 0,4 = 0,16.

  3. C — Faux. 0,6 est le poids d’une seule branche jaune. Deux branches jaunes avec remise donnent 0,6 × 0,6 = 0,36.

  4. D — Vrai. Deux chemins incompatibles y conduisent : V puis J et J puis V. Chacun vaut 0,24, donc le total vaut 0,48.

  5. E — Vrai. On suit le chemin vert puis jaune : (4/10)(6/10) = 24/100 = 0,24.

Méthode à retenir. Préciser si l’ordre est fixé : « une de chaque » exige la somme de deux chemins.

Question 11

Fréquence et modèle

On simule 200 lancers indépendants d’un dé modélisé comme équilibré. On observe 38 fois la face 6. Quelles conclusions sont justifiées ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 11
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : B, E

  1. A — Faux. 200/6 n’est même pas un entier ; le nombre observé fluctue et n’est pas déterminé d’avance par la probabilité.

  2. B — Vrai. La probabilité théorique correspond à une issue favorable parmi six équiprobables, soit 1/6 ≈ 0,167.

  3. C — Faux. La fréquence des faces 6 fluctue selon les séries de lancers ; 38/200 = 0,19, tandis que le modèle équilibré donne P(6) = 1/6. Leur égalité exacte n’est pas garantie.

  4. D — Faux. Une fréquence sur un échantillon fini varie d’une simulation à l’autre. Cet écart seul ne prouve pas que le modèle est faux.

  5. E — Vrai. Une fréquence est un quotient d’effectifs : 38/200 = 0,19, soit 19 %.

Méthode à retenir. Distinguer fréquence expérimentale et probabilité du modèle.

Question 12

Conditionner dans le bon sens

Deux événements satisfont P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,1. Quelles relations sont exactes ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 12
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : E

  1. A — Faux. Le dénominateur est maintenant P(B) = 0,5. Ainsi PB(A) = 0,1/0,5 = 0,2.

  2. B — Faux. La règle du chemin est P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) = 0,4 × 0,25 = 0,1. Ici P(B) × 0,25 = 0,125.

  3. C — Faux. Les cas A sans B ont pour probabilité P(A) − P(A ∩ B) = 0,4 − 0,1 = 0,3. La valeur 0,4 comprend aussi A ∩ B.

  4. D — Faux. Parmi les cas A, la part hors de B vaut P(A sans B)/P(A) = 0,3/0,4 = 0,75 ; la valeur 0,25 est celle de PA(B).

  5. E — Vrai. A a une probabilité non nulle : PA(B) = P(A ∩ B)/P(A) = 0,1/0,4 = 0,25.

Méthode à retenir. Dans PA(B), le sous-indice A fixe le dénominateur P(A).

Question 13

Compléter une loi

Un dispositif produit exactement l’une des quatre issues α, β, γ, δ. Leurs probabilités sont respectivement 0,15 ; 0,25 ; 0,40 ; x. On pose E = {α, δ}. Quelles propositions sont valides ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 13
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : D, E

  1. A — Faux. α et δ sont deux issues alternatives d’un même tirage : on ajoute leurs probabilités, on ne les multiplie pas.

  2. B — Faux. Les issues β et γ sont distinctes : leurs probabilités s’ajoutent, 0,25 + 0,40 = 0,65. La valeur 0,60 oublie 0,05.

  3. C — Faux. Le complémentaire de E a probabilité 1 − 0,35 = 0,65 ; il correspond aux issues β ou γ.

  4. D — Vrai. E réunit les deux issues disjointes α et δ : P(E) = 0,15 + 0,20 = 0,35.

  5. E — Vrai. La somme des quatre probabilités vaut 1, donc x = 1 − (0,15 + 0,25 + 0,40) = 0,20.

Méthode à retenir. Dans un modèle fini, les poids des issues élémentaires sont positifs et totalisent 1.

Question 14

Une seconde branche d’arbre

Un arbre donne P(A) = 0,3 et PA(B) = 0,4. On considère uniquement les chemins qui commencent par A. Quelles affirmations sont correctes ?

Arbre partiel : P(A) = 0,3 et P(non A) = 0,7 ; depuis A, P(B sachant A) = 0,4 et P(non B sachant A) = 0,6.
Arbre partiel : seules les deux branches issues de A sont détaillées.
Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 14
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : A, B, D, E

  1. A — Vrai. Les deux chemins débutant par A partitionnent A. Leurs probabilités s’ajoutent : 0,12 + 0,18 = 0,30.

  2. B — Vrai. À partir du nœud A, les poids des branches B et pas B totalisent 1 : 1 − 0,4 = 0,6.

  3. C — Faux. 0,6 n’est que le poids conditionnel de la seconde branche. Le chemin complet vaut 0,3 × 0,6 = 0,18.

  4. D — Vrai. Le chemin A puis B se calcule en multipliant ses deux poids : 0,3 × 0,4 = 0,12.

  5. E — Vrai. Le chemin A puis pas B a les poids 0,3 et 0,6, soit 0,3 × 0,6 = 0,18.

Méthode à retenir. Les probabilités de branches quittant un même nœud totalisent 1 ; celles d’un chemin se multiplient.

Question 15

Images retouchées selon leur catégorie

Une photographe a produit 80 images : 32 paysages et 48 portraits. Huit paysages et 12 portraits ont été retouchés. On choisit uniformément une image. L : « paysage » et R : « retouchée ». Quelles propositions sont justes ?

Sélectionner toutes les réponses exactes pour la question 15
Afficher la correction détaillée

Réponse attendue : A, B, C, D

  1. A — Vrai. L’évènement L ∩ R contient les huit paysages retouchés parmi 80 images possibles : 8/80 = 1/10.

  2. B — Vrai. Dans les 32 paysages, huit ont été retouchés. On obtient PL(R) = 8/32 = 1/4.

  3. C — Vrai. Il reste 80 − 20 = 60 images non retouchées. Parmi les paysages, 32 − 8 = 24 n’ont pas été retouchés ; 24/60 = 2/5.

  4. D — Vrai. Le groupe des images retouchées comprend 8 + 12 = 20 images ; huit sont des paysages. Donc PR(L) = 8/20 = 2/5.

  5. E — Faux. La retouche concerne aussi 12 portraits. Le total est 20 et P(R) = 20/80 = 1/4 ; 8/80 concerne seulement L ∩ R.

Méthode à retenir. Construis le tableau à quatre cases avant de calculer les fréquences conditionnelles.

Ton bilan

Vérifie les questions une à une pour construire ton bilan.

Une erreur dans ce QCM ? Écris-moi à remi@alors-on-science.com en précisant la question. L’objet du message et le lien vers la banque sont déjà renseignés.

Ton score est calculé dans ton navigateur : il n’est ni enregistré ni envoyé au site.