Gravitation et orbites

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. La distance est élevée au carré dans F = GMm/r² ; doubler r ne divise pas la force par deux.

2. B — Vrai. Changer la distance modifie la norme, mais deux masses positives continuent à s’attirer mutuellement.

3. C — Vrai. La gravitation varie comme l’inverse du carré de la distance ; doubler r divise 80 N par quatre.

4. D — Faux. L’énoncé ne change aucune masse ; seule la distance varie, et c’est elle qui explique le changement de force.

5. E — Faux. La loi de Newton entre deux masses positives décrit une attraction, quelle que soit leur distance non nulle.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. La géométrie du cercle centré sur la Terre impose r = R + h ; augmenter h augmente donc r.

2. B — Vrai. La conversion de 6 400 km en mètres donne 6 400 000 m, soit 6,4 × 10⁶ m.

3. C — Vrai. Le rayon orbital 7 000 km doit être multiplié par 1 000 pour être exprimé en mètres.

4. D — Vrai. Pour la gravitation et le mouvement circulaire, le rayon orbital est r = R + h = 6 400 + 600 = 7 000 km.

5. E — Faux. 600 km désigne l’altitude au-dessus de la surface ; le centre se trouve encore à 6 400 km sous celle-ci.

Réponse attendue : E

1. A — Faux. La force de gravitation fournit précisément l’accélération qui courbe la trajectoire orbitale.

2. B — Faux. Le sens +x éloigne le satellite de l’astre ; la force gravitationnelle attire au contraire vers celui-ci.

3. C — Faux. Dans le modèle circulaire, la vitesse est tangente à l’orbite tandis que la force pointe radialement vers le centre.

4. D — Faux. L’astre exerce cette force sur le satellite ; le satellite exerce aussi une force opposée sur l’astre.

5. E — Vrai. La gravitation est attractive : l’astre se trouve à gauche du satellite, donc la force pointe vers x négatif.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. La vitesse instantanée suit la direction de déplacement locale, qui est la tangente au cercle.

2. B — Faux. Une vitesse de norme constante mais de direction changeante possède une dérivée non nulle, orientée vers le centre.

3. C — Vrai. L’accélération centripète change la direction du vecteur vitesse, sans changer sa norme dans le modèle uniforme.

4. D — Vrai. Une trajectoire circulaire uniforme exige une accélération centripète de norme v²/r vers le centre.

5. E — Vrai. La gravitation est attractive ; pour un satellite extérieur, elle est radiale et dirigée vers l’astre central.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. La masse du satellite s’élimine entre la force GMm/r² et ma ; v = √(GM/r) n’en dépend pas.

2. B — Faux. La relation utilise la distance entre les centres ; pour une altitude h, il faut introduire r = R + h.

3. C — Faux. 4,0 × 10⁷ est v² ; prendre sa racine carrée donne environ 6,3 × 10³ m·s⁻¹.

4. D — Vrai. La relation circulaire impose v² = GM/r = 4,0 × 10¹⁴ / 1,0 × 10⁷ = 4,0 × 10⁷ m²·s⁻².

5. E — Vrai. L’égalité v²/r = GM/r² donne v = √(GM/r) = √(4,0 × 10⁷), soit environ 6,3 × 10³ m·s⁻¹.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Un tour représente la circonférence 2πr ; la durée est la distance divisée par la vitesse uniforme.

2. B — Vrai. Les quelque 6 280 s d’un tour correspondent à 6 280/60 ≈ 105 min.

3. C — Vrai. Avec les mêmes unités de longueur, T = 2π × 7 000/7,0 ≈ 2π × 1 000 ≈ 6 280 s.

4. D — Faux. Une période est une durée ; le quotient d’une distance par une vitesse s’exprime ici en secondes.

5. E — Faux. r/v correspond au temps pour parcourir une distance égale au rayon, non la circonférence entière.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Le même astre fixe le coefficient de la loi de Kepler, mais les rayons différents conduisent à des périodes différentes.

2. B — Faux. La troisième loi de Kepler fait intervenir la puissance 3/2 du rayon ; 4^(3/2) vaut huit.

3. C — Vrai. Le rapport des périodes vaut (4r/r)^(3/2) = 4^(3/2) = 8.

4. D — Vrai. La vitesse circulaire varie comme 1/√r ; au rayon 4r, elle est divisée par deux.

5. E — Vrai. Avec T² proportionnel à r³, le rapport des carrés est (4r/r)³ = 64.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Une période égale avec le sens opposé ferait défiler le satellite par rapport au sol au lieu de le fixer.

2. B — Vrai. Un satellite géostationnaire reste au-dessus d’une longitude et latitude constantes ; son cercle doit être équatorial.

3. C — Faux. Une orbite passant par les pôles est inclinée par rapport à l’équateur et ne reste pas au-dessus d’un point fixe.

4. D — Faux. Une orbite inclinée ou rétrograde garde éventuellement cette période, mais le point situé dessous change.

5. E — Faux. Dans le référentiel géocentrique, le satellite décrit un cercle ; son immobilité apparente concerne le sol en rotation.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Dans le modèle newtonien, GM/(2R)² est positif pour un astre de masse non nulle.

2. B — Vrai. La gravitation est attractive à l’extérieur de l’astre ; seul l’éloignement change la norme.

3. C — Faux. Il faut élever le facteur deux de la distance au carré ; la norme est divisée par quatre.

4. D — Vrai. La distance au centre vaut 2R et la surface se situe à R ; l’altitude est 2R − R = R.

5. E — Vrai. La norme g(r) = GM/r² ; à 2R elle est quatre fois plus petite qu’à R.

Réponse attendue : A

1. A — Vrai. La première loi de Kepler place le corps attracteur en l’un des foyers, et non au centre géométrique en général.

2. B — Faux. Pour l’ellipse, la troisième loi fait intervenir le demi-grand axe a ; un rayon circulaire n’existe pas pour cette trajectoire.

3. C — Faux. Sur une ellipse non circulaire, les foyers sont distincts du centre ; l’étoile est située à un foyer.

4. D — Faux. Sur une ellipse non circulaire, la distance au foyer varie entre le périastre et l’apoastre.

5. E — Faux. La loi des aires implique un déplacement plus rapide près de l’étoile que loin d’elle.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. L’apoastre est le point le plus éloigné ; la loi des aires conduit à une vitesse plus faible là qu’au périastre.

2. B — Faux. Sur une ellipse non circulaire, la distance au foyer varie ; c’est précisément ce qui distingue périastre et apoastre.

3. C — Vrai. Près de l’étoile, un rayon plus court doit balayer la même aire dans le même temps ; le déplacement angulaire est plus grand.

4. D — Faux. La direction de la vitesse change le long de la trajectoire et sa norme varie entre les deux positions.

5. E — Vrai. La deuxième loi de Kepler affirme l’égalité des aires balayées par le rayon planète–étoile en temps égaux.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. L’équation v² = GM/r ne contient pas la masse du satellite ; même rayon et même astre donnent la même vitesse.

2. B — Faux. Les accélérations sont égales, mais F = ma est deux fois plus grande sur le satellite de masse 2m.

3. C — Faux. La période 2π√(r³/GM) est indépendante de la masse du satellite dans ce modèle.

4. D — Vrai. En divisant la force par la masse de chaque satellite, on retrouve GM/r² pour les deux.

5. E — Vrai. La norme gravitationnelle GMm/r² est proportionnelle à la masse du satellite ; la doubler double la force.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Dans le modèle où la masse de l’étoile domine, la constante est fixée par cette étoile commune.

2. B — Vrai. Le rapport des périodes est (a_B/a_A)^(3/2) = 9^(3/2) = 27.

3. C — Faux. La période n’est pas proportionnelle au demi-grand axe ; il faut élever le rapport 9 à la puissance 3/2.

4. D — Vrai. Le rapport des carrés est (9)³ = 729, conformément à T² proportionnel à a³.

5. E — Faux. La troisième loi utilise précisément le demi-grand axe a des ellipses, et inclut le cercle comme cas particulier.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Le produit r³/GM a pour unité m³/(m³·s⁻²) = s² ; le facteur 4π² est sans dimension.

2. B — Vrai. Pour que GM/r possède l’unité d’une vitesse au carré, GM doit avoir l’unité m³·s⁻².

3. C — Faux. m³·s⁻² est l’unité inverse de T²/r³ ; le quotient demandé s’exprime en s²·m⁻³.

4. D — Vrai. L'unité de T²·r⁻³ est s²·m⁻³ : le facteur r⁻³ apporte m⁻³.

5. E — Faux. m·s⁻² est l’unité d’une accélération ; GM est cette accélération multipliée par r², d’où m³·s⁻².

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. La formule extérieure GMm/r² suppose notamment une répartition sphérique ou un modèle ponctuel ; un fort aplatissement demande vérification.

2. B — Vrai. La gravitation newtonienne et l’accélération centripète s’écrivent avec la séparation des centres ; l’altitude seule est insuffisante.

3. C — Faux. La vitesse √(GM/r) dépend de la masse de l’astre central M, même si elle ne dépend pas de celle de la sonde.

4. D — Faux. Une force attractive centrale peut aussi produire une trajectoire elliptique ou non liée selon les conditions initiales.

5. E — Vrai. v = √(GM/r) a été obtenue en égalant gravitation et accélération centripète pour un cercle.