Mesures et incertitudes

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Le diamètre doit être défini : une autre direction pourrait donner une valeur différente si la bille n’est pas parfaitement sphérique.

2. B — Faux. Elle est une estimation issue de trois mesures ; la répétition n’élimine pas un décalage instrumental commun.

3. C — Faux. L’étendue est 8,6 − 8,4 = 0,2 mm ; elle décrit une plage observée, pas u_A de la moyenne.

4. D — Vrai. Les écarts à 8,5 mm sont −0,1 ; 0 ; +0,1 mm : s = √[(0,01 + 0 + 0,01) mm²/(3 − 1)] = 0,10 mm. Le dénominateur n − 1 correspond à l'écart-type expérimental des observations, pas de la moyenne.

5. E — Vrai. (8,4 + 8,5 + 8,6) mm/3 = 8,5 mm ; trois observations contribuent à la valeur centrale.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. 0,071 s est la dispersion d’une observation ; pour la moyenne des cinq lectures, u_A = s/√5 ≃ 0,032 s.

2. B — Vrai. La somme vaut 10,5 s ; 10,5/5 = 2,10 s.

3. C — Vrai. Les seuls écarts non nuls sont −0,1 s et +0,1 s ; s = √[(0,02 s²)/(5 − 1)] ≃ 0,071 s.

4. D — Faux. Un décalage commun subsiste dans la moyenne ; seule la dispersion statistique est réduite par la répétition indépendante.

5. E — Vrai. u_A = 0,0707 s/√5 = 0,0316 s ; l’indépendance des lectures est supposée. Diviser par √5 concerne l'estimation de la moyenne, pas la dispersion des lectures individuelles.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Sa barre a une hauteur 5, supérieure aux autres effectifs 2 et 3. La classe modale renseigne sur l'effectif le plus élevé, pas sur la moyenne exacte.

2. B — Vrai. La première barre a une hauteur 2 et correspond à cet intervalle semi-ouvert.

3. C — Faux. L’axe vertical exprime ici un effectif sans dimension ; la température en °C figure sur l’axe horizontal.

4. D — Vrai. Chaque lecture est rangée dans une seule classe : 2 + 5 + 3 = 10, comme le nombre annoncé.

5. E — Faux. Un histogramme par intervalles perd les positions exactes des lectures à l’intérieur de chaque classe ; seule une estimation par centres est possible.

Réponse attendue : A

1. A — Vrai. En gardant le mesurande stable et en répétant l’opération, on observe une dispersion éventuelle. Chaque nouvelle acquisition doit être réalisée dans des conditions de répétabilité définies.

2. B — Faux. Une évaluation de type A nécessite une série, mais la notice du capteur peut fournir des données pour une évaluation de type B.

3. C — Faux. Ni le dernier chiffre affiché ni la répétition des copies ne prouvent l’absence d’incertitude instrumentale ou de biais.

4. D — Faux. Aucune nouvelle acquisition n’a été faite : il n’existe qu’une indication observée et dix copies.

5. E — Faux. L’écart-type nul des copies est artificiel ; il ne renseigne pas sur la variabilité de mesures refaites.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Le modèle ci-dessus porte seulement sur l’arrondi ; il ne décrit pas un décalage éventuel de l’appareil.

2. B — Vrai. L’affichage arrondit au pas q = 0,01 g, donc la limite d’arrondi de cette seule contribution est la moitié du pas : a = q/2 = 0,01 g/2 = 0,005 g.

3. C — Vrai. Cette incertitude-type ne contient pas la justesse ou l’étalonnage ; le modèle uniforme porte sur une seule cause.

4. D — Faux. Le pas d’affichage n’est pas, sous ce modèle, l’incertitude-type de l’arrondi : celle-ci vaut environ 0,0029 g.

5. E — Vrai. u_B = a/√3 = 0,005 g/√3 ≃ 0,00289 g. La racine de trois vient de l'écart-type d'une distribution uniforme sur cet intervalle.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Les deux décimales décrivent un affichage, alors que la notice admet ici une contribution bornée de 0,24 °C.

2. B — Vrai. u_B = 0,24 °C/√3 = 0,1386… °C, soit environ 0,14 °C. Ce nombre dépend du modèle uniforme posé, pas seulement de la borne ±0,24 °C.

3. C — Vrai. La notice donne la plage de contribution de −0,24 à +0,24 °C autour de l’indication.

4. D — Faux. Le nombre de chiffres affichés n’entre pas dans le calcul de cette contribution ; la formule dépend de la plage et de son modèle.

5. E — Vrai. Si la notice fournissait déjà une incertitude-type, ou une autre loi, cette opération ne serait pas justifiée.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. La valeur centrale conserve ici deux décimales de plus que l’incertitude ; on l’arrondit au millième.

2. B — Vrai. L suit le millième fixé par u : 4,6728 cm devient 4,673 cm ; les deux termes portent la même unité. Aligner les rangs décimaux rend l'écriture cohérente avec la précision annoncée.

3. C — Faux. La notation ±u exprime ici une incertitude-type ; elle n’est pas un intervalle de certitude absolue.

4. D — Vrai. 0,0834 cm, arrondi à deux chiffres significatifs, donne 0,083 cm ; son dernier chiffre est au millième de centimètre.

5. E — Vrai. Un arrondi à chaque étape risquerait de changer l’ultime décimale ; on arrondit à la fin.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Les trois lectures sont proches mais restent centrées 0,5 °C au-dessus de la référence : fidélité et justesse sont distinctes.

2. B — Faux. La valeur centrale du décalage peut être connue alors que sa propre incertitude reste à évaluer ; aucune donnée ne permet ici de la déclarer nulle.

3. C — Faux. 0,50 °C est le décalage central ; la dispersion autour de 35,5 °C donne s = √[(0,01 + 0,01) °C²/(3 − 1)] = 0,10 °C.

4. D — Vrai. L’appareil lit +0,5 °C trop haut ; on soustrait 0,5 °C à la moyenne 35,5 °C. La correction modifie la valeur centrale, mais son incertitude doit encore être considérée.

5. E — Vrai. Les trois affichages portent sur le même bain : on additionne les valeurs de température et l’on divise par trois, soit (35,4 + 35,5 + 35,6) °C/3 = 35,5 °C. Ce résultat reste brut avant correction du décalage.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Pour seize lectures indépendantes de même dispersion, l’incertitude de la moyenne est u_A,16 = s/√16 = 0,32 cm/4 = 0,080 cm, et non 0,32 cm.

2. B — Faux. L’énoncé garde s = 0,32 cm dans les deux séries ; c’est l’incertitude de la moyenne qui est réduite ici.

3. C — Vrai. √16/√4 = 4/2 = 2 ; 0,16 cm est deux fois 0,080 cm. Augmenter l'effectif de quatre fois divise l'incertitude de moyenne par deux.

4. D — Vrai. Une erreur systématique partagée par les lectures ne disparaît pas par division par √n.

5. E — Vrai. L’écart-type 0,32 cm décrit la dispersion des lectures ; la moyenne de quatre lectures indépendantes a u_A,4 = s/√4 = 0,32 cm/2 = 0,16 cm.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. 0,06 V/√3 = 0,0346… V ; le modèle uniforme est donné explicitement. Ce résultat ne prouve pas la justesse de A ; il quantifie seulement la contribution modélisée.

2. B — Vrai. 0,03 V/√3 = 0,0173… V ; ce calcul ne concerne pas les autres sources possibles.

3. C — Faux. Une borne plus étroite pour une contribution n’établit pas que l’indication B coïncide avec une référence exacte.

4. D — Faux. Moyenner deux appareils sans analyser étalonnage et sources communes ne garantit ni la valeur recherchée ni sa qualité.

5. E — Vrai. 4,31 V − 4,28 V = 0,03 V ; cela décrit l’écart d’indication, sans en expliquer la cause.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Avec la masse volumique fournie, m = ρV = 0,998 g·mL⁻¹ × 10,00 mL = 9,98 g.

2. B — Faux. Autour de 10,00 g, les écarts sont −0,04 ; 0 ; +0,04 g : s = √(0,0032 g²/2) = 0,040 g.

3. C — Vrai. V = m/ρ = 10,00 g/(0,998 g·mL⁻¹) = 10,020… mL. La masse volumique légèrement inférieure à 1 g·mL⁻¹ explique un volume supérieur à 10,00 mL.

4. D — Vrai. On garde les trois masses avant arrondi et l’on divise leur somme par l’effectif n = 3 : (9,96 + 10,00 + 10,04) g/3 = 10,00 g. La moyenne n’est pas encore un volume.

5. E — Faux. Il manque au moins la tolérance annoncée et la qualité de la balance et de ρ ; un écart central seul ne démontre pas cette conformité.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Δt = 3,00 × 10⁻³ s ; v = 1,020 m/(3,00 × 10⁻³ s) = 340 m·s⁻¹. Employer la distance aller simple sous-estimerait la célérité d'un facteur deux.

2. B — Vrai. Il manque les qualités de la mesure de distance et du temps ; le calcul présent ne fournit qu’une valeur centrale.

3. C — Vrai. 3,00 ms = 3,00 × 10⁻³ s = 0,00300 s.

4. D — Vrai. Elle va à la plaque puis en revient : 2 × 0,510 m = 1,020 m.

5. E — Faux. Il manque le trajet retour ; ce quotient donne 170 m·s⁻¹, deux fois trop petit.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. La série est symétrique autour de 16,3 cm : somme 81,5 cm, divisée par 5.

2. B — Faux. Moyenner cinq lectures surestimées de 0,30 cm laisse leur moyenne surestimée de 0,30 cm avant correction.

3. C — Vrai. Dans l’approximation d’un objet à l’infini, l’image réelle se forme près du foyer image ; on annonce cette hypothèse optique.

4. D — Vrai. L’indication surestime de 0,30 cm : 16,3 cm − 0,30 cm = 16,0 cm. La répétition réduit l'incertitude statistique de la moyenne brute, sans supprimer ce décalage commun.

5. E — Faux. Ajouter aggraverait la surestimation de l’instrument ; le signe de la correction est négatif.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Pour les 32 lectures indépendantes de B, u_A(B) = s_B/√32 = 0,12 °C/√32 = 0,02121… °C. Ce calcul ne décrit pas un éventuel décalage commun.

2. B — Faux. Une dispersion moindre ne renseigne pas à elle seule sur un décalage d’étalonnage ; celui-ci reste à vérifier.

3. C — Faux. Elle suppose des acquisitions indépendantes et comparables ; recopier une lecture 32 fois ne fournit pas une série exploitable.

4. D — Vrai. Pour huit lectures indépendantes, l’incertitude de leur moyenne vaut s_A/√8 : 0,24 °C/√8 = 0,08485… °C, soit 0,085 °C. Ce calcul vise la moyenne de A et suppose des lectures indépendantes.

5. E — Faux. 0,12 °C décrit les lectures individuelles ; pour la moyenne de 32 lectures, on divise par √32.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Une incertitude-type de 0,2 cm ne garantit pas que l’intervalle obtenu en ajoutant et en retranchant 0,2 cm contienne la valeur vraie ; la référence de 12,1 cm a elle aussi une incertitude inconnue.

2. B — Vrai. Une valeur de référence peut elle-même dépendre d’une autre méthode de mesure et avoir une incertitude.

3. C — Vrai. Une comparaison solide examine les deux résultats et leurs méthodes ; la seule valeur centrale 12,1 cm n’informe pas sur sa précision.

4. D — Vrai. L’écart central 0,1 cm est du même ordre ou plus petit que 0,2 cm, mais la référence possède peut-être une incertitude inconnue. Une affirmation de compatibilité chiffrée exigerait aussi l'incertitude de la référence.

5. E — Vrai. 12,1 cm − 12,0 cm = 0,1 cm ; il faut garder l’unité de longueur.