Concentration et loi des grands nombres

Réponse attendue : A

1. A — Vrai. La variance vaut 4 et le seuil au carré vaut 5² = 25 ; Bienaymé-Tchebychev fournit leur quotient.

2. B — Faux. Bienaymé-Tchebychev donne seulement une borne inférieure. Si X vaut 8 ou 12 avec probabilités égales, sa variance est 4 et cette probabilité vaut 1.

3. C — Faux. Une variance mesure une dispersion moyenne, sans interdire des valeurs plus éloignées de l'espérance. L'écart type 2 n'est pas une borne absolue pour chaque issue.

4. D — Faux. Le théorème comporte le carré du seuil ; le majorant correct est 4/25. Avec un seuil 5, le dénominateur doit être 25, non 5.

5. E — Faux. L'inégalité donne seulement un majorant ; selon la loi de X, la probabilité réelle peut être plus petite.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. La linéarité donne la somme de cent espérances 3 divisée par cent, soit 3. La division par cent intervient après l'addition des cent espérances individuelles.

2. B — Vrai. Pour cent variables indépendantes de variance 4, la variance de la moyenne vaut 100 × 4/100² = 4/100 = 0,04.

3. C — Faux. Trois cents est l'espérance de la somme brute ; la moyenne M comporte la division par 100.

4. D — Faux. Le théorème de Bienaymé-Tchebychev donne au plus 0,04 ; l'égalité n'est pas garantie. Une borne supérieure peut être stricte ; elle n'est pas un calcul exact de probabilité.

5. E — Faux. C'est la variance d'une observation individuelle ; la moyenne de cent observations indépendantes a une variance cent fois moindre.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. La formule 9/n varie en sens inverse de n ; elle diminue quand on collecte davantage d'observations indépendantes.

2. B — Faux. La valeur fournie σ² = 9 et la taille 50 suffisent à la calculer ; la moyenne n'apparaît pas dans 9/50.

3. C — Faux. Le nombre 9/100 est la variance ; l'écart type est sa racine carrée, égale à 3/10. Prendre une racine rétablit l'unité de la grandeur moyenne, contrairement à la variance.

4. D — Vrai. Doubler l'effectif de 50 à 100 divise la variance de la moyenne par 2. La formule V(Mₙ) = 9/n donne respectivement 9/50 et 9/100.

5. E — Vrai. La formule σ²/n avec n = 50 donne 9/50 ; la variance de la somme a d'abord été divisée par 50².

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Le nombre 0,24 est la variance d'une seule indicatrice de Bernoulli ; la fréquence de 400 essais divise par 400.

2. B — Faux. Même avec p = 0,6, une série finie peut contenir plus de 60 % de succès ; la fréquence est aléatoire.

3. C — Vrai. La borne de Bienaymé-Tchebychev vaut V(F)/(0,1)² = 0,0006/0,01 = 0,06. Ce majorant vaut six pour cent, sans fournir la probabilité binomiale exacte.

4. D — Vrai. La moyenne de 400 indicatrices a espérance p = 0,6 et variance 0,6 × 0,4/400 = 0,0006.

5. E — Faux. La quantité 0,06 est seulement un majorant théorique, pas la valeur exacte de la queue binomiale. L'inégalité contrôle la probabilité par le haut ; elle n'impose aucune égalité.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. On compte 60 faces parmi 100 lancers, d'où 60/100 = 0,6, une valeur différente de 0,5. Cette fréquence appartient à l'échantillon observé, tandis que 0,5 décrit le modèle théorique.

2. B — Vrai. Cette loi décrit le rapprochement des fréquences vers p = 0,5 quand n grandit ; elle n'interdit aucune fréquence réalisable pour une série finie de 100 lancers.

3. C — Faux. Une fréquence isolée est aléatoire ; elle ne détermine pas exactement le paramètre de la pièce. Une autre série de cent lancers peut produire une fréquence différente sous le même modèle.

4. D — Faux. Un bilan observé ne modifie pas les hypothèses de réalisation ; l'indépendance concerne les essais, pas le résultat agrégé.

5. E — Vrai. Une probabilité de face égale à 0,5 n'impose pas exactement 50 faces sur chacune des séries de longueur 100.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, applicable pour toute variable d'espérance m et de variance finie v. La condition a > 0 évite une division par zéro dans le majorant.

2. B — Faux. Le théorème vaut pour toute variable réelle de variance finie, bien au-delà de la seule loi binomiale. Seules l'espérance et la variance finie interviennent dans l'énoncé de cette inégalité.

3. C — Vrai. L'événement avec le signe strict est inclus dans l'événement ≥ a ; sa probabilité ne peut être supérieure.

4. D — Faux. Le seuil a doit être strictement positif pour que a² serve à mesurer un écart non trivial.

5. E — Faux. La borne vaut alors zéro pour a > 0 ; une variable de variance nulle reste à sa moyenne presque sûrement.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. La somme des 25 variances vaut 25 × 9 ; la division de la somme par 25² donne 9/25.

2. B — Faux. Le nombre 0,36 est la variance ; l'écart type est sa racine carrée 0,6. Confondre les deux indicateurs ferait annoncer un écart type trop petit.

3. C — Vrai. La racine carrée de V(M) = 0,36 est 0,6, valeur positive par définition. La variance de la moyenne est 9/25, soit 0,36, avant cette racine.

4. D — Vrai. L'indépendance permet d'additionner les 25 variances : V(X₁ + ⋯ + X₂₅) = 25 × 9 = 225. Pour la moyenne, il faut encore diviser par 25².

5. E — Faux. Sans indépendance, des dépendances peuvent modifier la variance de la somme ; l'hypothèse intervient précisément ici.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Pour une Bernoulli équilibrée, p(1 − p) = 1/4 ; la variance de la fréquence est 1/(4n), divisée par 0,01.

2. B — Faux. La variance de la moyenne est p(1 − p)/n = 0,25/n, et non celle d'une somme d'indicatrices. La moyenne divise la somme des indicatrices par n et sa variance par n².

3. C — Faux. À n = 50, le calcul donne 25/50 = 0,5, supérieur à 0,05 ; l'objectif de majoration n'est pas atteint.

4. D — Faux. L'inégalité donne une condition suffisante via un majorant ; l'échec du majorant ne démontre aucune borne inférieure réelle.

5. E — Vrai. L'inégalité 25/n ≤ 0,05 équivaut, pour n positif, à n ≥ 25/0,05 = 500. Le choix 500 garantit seulement que le majorant demandé ne dépasse pas 0,05.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Les variances sont seulement majorées par 4 ; elles peuvent être différentes, donc la première ne détermine pas leur somme.

2. B — Vrai. Les variances des variables indépendantes s'additionnent, au plus 4n ; la division par n² donne 4/n. Il suffit d'utiliser la borne 4 sur chacune des n variances individuelles.

3. C — Vrai. La linéarité de l'espérance s'applique même si les lois diffèrent ; on divise la somme des n espérances par n.

4. D — Faux. L'indépendance ne force pas l'identité des lois ou des espérances ; le contraire est expressément permis dans l'énoncé. La formule de variance ne demande aucune égalité entre les espérances des observations.

5. E — Faux. C'est vrai seulement si les espérances convenaient à cette égalité ; la formule générale est la moyenne des μᵢ.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. On a V(X₁ + X₂) = V(2X) = 16 ; si les copies étaient indépendantes, la variance de leur somme serait 4 + 4 = 8. Cette contradiction prouve leur dépendance.

2. B — Faux. La variance constante 4 ne décroît pas ; répéter une même observation n'ajoute aucune information indépendante.

3. C — Vrai. La somme de n termes identiques vaut nX ; divisée par n, elle redonne exactement X. Cette égalité est valable issue par issue, sans approximation ou passage à une limite.

4. D — Vrai. Comme la moyenne Mₙ est la variable X elle-même, sa variance reste V(X) = 4. Répéter une même réalisation ne crée aucune nouvelle information ni réduction de dispersion.

5. E — Vrai. Les variables Xᵢ sont égales issue par issue ; leurs valeurs dépendent entièrement l'une de l'autre.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Elle décrit une concentration à mesure que n augmente, et non une identité à chaque taille finie. Même une très grande taille finie permet encore des écarts possibles à p.

2. B — Vrai. La fréquence est la moyenne de n indicatrices de Bernoulli(p), donc la linéarité donne p. La linéarité de l'espérance vaut pour chaque taille finie n strictement positive.

3. C — Vrai. Les n indicatrices indépendantes ont chacune variance p(1 − p) ; la variance de leur moyenne divise cette valeur par n.

4. D — Vrai. Pour 0 < p < 1, une suite de n échecs a probabilité positive et donne Fₙ = 0, différent de p.

5. E — Faux. Fₙ dépend du nombre aléatoire de succès et peut prendre les fractions k/n, pour k allant de 0 à n.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. La linéarité fonctionne pour toutes les suites de tirages possibles ; elle ne dépend pas d'une égalité des issues.

2. B — Faux. Le nombre np est l'espérance du nombre brut de succès ; la fréquence divise ce nombre par n.

3. C — Vrai. L'égalité porte sur l'espérance de la variable aléatoire Fₙ ; une réalisation particulière peut prendre une autre valeur.

4. D — Vrai. Écrire Fₙ = (X₁ + ⋯ + Xₙ)/n avec E(Xᵢ) = p donne np/n = p. L'indépendance sert au calcul de variance, tandis que la linéarité suffit ici.

5. E — Vrai. Remplacer p par 1/2 dans p(1 − p)/n donne (1/2)(1/2)/n = 1/(4n). La valeur maximale p(1 − p) = 1/4 est atteinte lorsque p = 1/2.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Le nombre 3,5 est une espérance ; une série concrète de cent dés peut produire une autre moyenne.

2. B — Vrai. La moyenne de cent variables de même espérance 7/2 garde cette espérance, par linéarité. La division par cent compense exactement la somme des cent espérances identiques.

3. C — Vrai. Avec un écart seuil 1, Bienaymé-Tchebychev donne V(M)/1², soit 35/1200. La variance de M vaut 35/(12 × 100) grâce aux cent dés indépendants.

4. D — Faux. Un dé a pour variance 35/12 ; la variance de la moyenne de 100 dés indépendants est donc (35/12)/100 = 35/1200, dix fois plus petite que la valeur proposée.

5. E — Faux. Le théorème donne seulement un majorant général ; le calcul exact demanderait la loi de la somme.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. La borne 0,2 ne calcule pas la probabilité binomiale exacte ; elle peut la surestimer.

2. B — Vrai. Si F = 0, on a |F − 0,2| = 0,2, égal au seuil large ≥ 0,2.

3. C — Vrai. La variance d'une indicatrice vaut 0,2 × 0,8 = 0,16 ; celle de la fréquence est 0,16/20 = 0,008.

4. D — Faux. Pour une fréquence de vingt essais indépendants, la variance individuelle est divisée par 20. Pour une moyenne d'indicatrices indépendantes, on divise cette variance par vingt.

5. E — Vrai. Avec la variance calculée, le majorant est 0,008/(0,2)² = 0,008/0,04 = 0,2. La variance de la fréquence vaut 0,2 × 0,8/20 = 0,008.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Elle est inversement proportionnelle à n, donc elle diminue lorsque la taille d'échantillon croît. Le dénominateur contient n ; à seuil ε fixé, augmenter n diminue le quotient.

2. B — Vrai. Le majorant σ²/(nε²) tend vers zéro ; une probabilité positive et majorée par cette quantité aussi.

3. C — Faux. Elle porte sur une concentration probabiliste à mesure que n grandit, pas sur une égalité certaine à n fini.

4. D — Vrai. Appliquer Bienaymé-Tchebychev à Mₙ avec variance σ²/n donne exactement cette borne. Pour chaque ε fixé positif, ce majorant tend vers zéro quand n augmente.

5. E — Vrai. La linéarité conserve la moyenne μ ; l'indépendance donne n variances σ² divisées ensuite par n².