Géométrie dans l’espace : vecteurs, droites et plans

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. On calcule (3 − 1 ; −1 − 0 ; 5 − 2) = (2 ; −1 ; 3).

2. B — Faux. Au moins leur première coordonnée diffère, puisque 1 ≠ 3 ; la distance √14 est non nulle. Deux points sont confondus seulement si leurs trois coordonnées sont égales une à une.

3. C — Faux. Ce sont les coordonnées du vecteur opposé BA ; AB se calcule toujours B moins A. Changer l'ordre des points inverse chaque différence de coordonnées et donc le sens du vecteur.

4. D — Faux. La norme ne se calcule pas par la somme signée des coordonnées ; elle vaut √(4 + 1 + 9).

5. E — Vrai. Dans un repère orthonormé, AB² = 2² + (−1)² + 3² = 14 ; la longueur positive vaut √14.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Multiplier successivement 1, 2 et −1 par −3 donne −3, −6 et 3, les trois coordonnées de v.

2. B — Vrai. Deux vecteurs non nuls colinéaires représentent la même direction de droite ; leurs droites supports peuvent être distinctes.

3. C — Faux. Sa première coordonnée vaut 1, non zéro ; un vecteur nul aurait ses trois coordonnées nulles. Cette vérification par une seule composante non nulle suffit à réfuter la nullité.

4. D — Faux. La colinéarité permet un facteur non nul différent de 1 ; ici v est précisément −3u.

5. E — Faux. Les deux premières coordonnées conviendraient, mais la troisième devrait valoir −2 et non zéro. Une égalité vectorielle exige la concordance des trois composantes, pas seulement des deux premières.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. On prend s = 1, t = 0 dans la représentation paramétrique ; on obtient les trois coordonnées annoncées. Les trois coordonnées doivent être vérifiées avec un même couple de paramètres s et t.

2. B — Faux. Les deux paramètres sont indépendants ; par exemple s = 1, t = 0 produit déjà un point valide.

3. C — Vrai. On additionne A, le vecteur su et le vecteur tv composante par composante ; les deux paramètres sont libres. Les directions u et v étant indépendantes, cette écriture parcourt bien tout le plan.

4. D — Faux. Un plan défini comme passant par A contient A ; les paramètres s = t = 0 redonnent précisément ce point.

5. E — Faux. Le vecteur u a une première coordonnée non nulle alors que celle de v est nulle ; ils ne sont pas proportionnels.

Réponse attendue : E

1. A — Faux. Avec M(t) = (1 + 2t ; 2 − t ; 3t), le point C(5 ; 0 ; 6) correspond à t = 2, pas à t = 3.

2. B — Faux. Une droite réelle contient aussi les points pour t = 1/2, ou pour toute autre valeur réelle. Par exemple t = 1/2 donne un point intermédiaire entre A et B sur cette droite.

3. C — Faux. La première coordonnée de la direction serait alors 1 au lieu de 2 ; la bonne formule est 1 + 2t.

4. D — Faux. Leurs premières coordonnées sont respectivement 3 et 5 ; ce sont deux points distincts de la même droite. L'appartenance à une même droite n'implique jamais la coïncidence de deux paramètres distincts.

5. E — Vrai. A + d = (1 + 2 ; 2 − 1 ; 0 + 3) = (3 ; 1 ; 3), exactement B.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. À t = 0, le point est (0 ; 0 ; 1), dont la cote est 1 et non zéro. La coordonnée z reste égale à 1 pour toute valeur du paramètre, jamais à zéro.

2. B — Vrai. Tous les points de D ont z = 1, tandis que tous les points de P ont z = 0 ; ces conditions sont incompatibles.

3. C — Vrai. Lorsque t augmente de 1, x augmente de 1, y de 2 et z ne change pas ; cette direction reste horizontale.

4. D — Faux. Aucun point de D ne satisfait l'équation z = 0 ; elle se trouve à la hauteur constante z = 1.

5. E — Faux. Une vraie droite possède une direction non nulle ; ici (1 ; 2 ; 0) la laisse parallèle au plan. La composante verticale nulle de (1 ; 2 ; 0) exprime précisément l'absence de traversée du plan horizontal.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Pour t = 3, les coordonnées de D sont (3 ; 2 × 3 ; −1 + 3) = (3 ; 6 ; 2).

2. B — Faux. Les deux premières coordonnées correspondent à t = 2, mais la troisième de D vaudrait alors 1, pas 2. Tester la seule coordonnée z suffit ici à rejeter ce point du plan horizontal z = 2.

3. C — Faux. La coordonnée z = −1 + t varie avec le paramètre ; elle ne vaut 2 qu'en un seul point.

4. D — Vrai. La condition de P est −1 + t = 2, d'où t = 3 ; elle possède une unique solution.

5. E — Faux. L'équation en t, −1 + t = 2, admet bien la solution t = 3. En substituant t = 3, on obtient M(3) = (3 ; 6 ; 2), situé dans P.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Ils ont au contraire la droite entière x = 1, y = 2 en commun. La coordonnée z reste libre, donc il existe une infinité de points communs aux deux plans.

2. B — Vrai. Ses coordonnées vérifient x = 1 et y = 2 ; sa cote z = 0 est libre sur la droite d'intersection des deux plans.

3. C — Vrai. Deux points de la forme (1 ; 2 ; t) ne diffèrent que par leur troisième coordonnée ; la direction verticale convient.

4. D — Vrai. Les conditions x = 1 et y = 2 fixent deux coordonnées ; la troisième z peut prendre tout réel t.

5. E — Faux. Le point (1 ; 0 ; 0) satisfait P sans satisfaire Q ; les deux ensembles ne sont pas identiques. Le premier plan laisse y libre, alors que le second impose y = 2 : ils diffèrent.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Leur première et leur deuxième coordonnée montrent qu'aucun scalaire ne peut transformer u en v. Leur produit par des scalaires ne peut changer la position de leur unique coordonnée non nulle.

2. B — Faux. Cette somme vaut (1 ; 1 ; 0), alors que w possède les coordonnées (2 ; 3 ; 0).

3. C — Vrai. On obtient 2(1 ; 0 ; 0) + 3(0 ; 1 ; 0) = (2 ; 3 ; 0), soit précisément w.

4. D — Faux. Toute combinaison de u et v a une troisième coordonnée nulle, alors que celle de t vaut 1.

5. E — Vrai. Le vecteur w appartient au plan vectoriel engendré par les deux directions indépendantes u et v. L'égalité w = 2u + 3v fournit directement la combinaison linéaire recherchée.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Les trois moyennes sont (2 + 0)/2 = 1, (−4 + 2)/2 = −1 et (6 − 2)/2 = 2.

2. B — Vrai. Le milieu d'un segment partage celui-ci en deux segments de même longueur, quel que soit le repère choisi. Cette propriété géométrique reste vraie en dimension trois, comme sur une droite du plan.

3. C — Faux. La moyenne des cotes 6 et −2 est (6 − 2)/2 = 2 ; le nombre 4 correspond à leur somme.

4. D — Faux. B − A décrit le vecteur AB et donne (−2 ; 6 ; −8), pas les coordonnées du point milieu.

5. E — Vrai. Partir de A puis parcourir la moitié du vecteur AB conduit exactement au milieu du segment. La relation vectorielle donne aussi les trois coordonnées moyennes sans calculer séparément trois segments.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. Le paramètre 1/2 appartient précisément à l'intervalle [0 ; 1] qui caractérise le segment. Le paramètre 1/2 situe P exactement au milieu du trajet allant de A vers B.

2. B — Vrai. On a P = A + (1/2)(B − A), avec le paramètre 1/2 dans [0 ; 1]. Chaque coordonnée de P est la moyenne des coordonnées correspondantes de A et B.

3. C — Faux. La formule A + λAB donne A pour λ = 0 et B pour λ = 1.

4. D — Faux. Q = A + (3/2)AB : le paramètre 3/2 place Q sur la droite (AB), au-delà de B, et non sur le segment où 0 ≤ λ ≤ 1.

5. E — Vrai. Son paramètre est 3/2 > 1 ; il se situe sur le prolongement de la droite au-delà de B.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Le membre de droite vaut (1 ; 1 ; 0), différent de (0 ; 0 ; 1). La troisième coordonnée du membre droit vaut zéro, celle de e₃ vaut un.

2. B — Faux. Toute combinaison de ces deux directions a une cote nulle ; w a une troisième coordonnée égale à 4.

3. C — Vrai. Ils sont indépendants et chaque triplet (x ; y ; z) s'écrit xe₁ + ye₂ + ze₃. Chacun sélectionne une coordonnée indépendante, ce qui permet de reconstituer sans ambiguïté tout vecteur.

4. D — Vrai. On additionne (2 ; 0 ; 0), (0 ; −3 ; 0) et (0 ; 0 ; 4), ce qui restitue les coordonnées de w.

5. E — Vrai. Le vecteur e₃ possède une cote 1, impossible à obtenir par combinaison des vecteurs e₁ et e₂ de cote nulle.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Tous les points (t ; 0 ; 0) de D₁ ont pour cote zéro, alors que tous les points (0 ; s ; 1) de D₂ ont pour cote un. Les droites ne peuvent donc se couper.

2. B — Vrai. Tout point de D₁ a z = 0, tandis que tout point de D₂ a z = 1 ; une intersection est impossible.

3. C — Vrai. Aucun multiple non nul du premier vecteur ne peut avoir la deuxième coordonnée égale à 1. Même un facteur nul donnerait le vecteur nul, et jamais (0 ; 1 ; 0).

4. D — Faux. L'origine (0 ; 0 ; 0) est dans D₁, mais aucun point de D₂ n'a une cote nulle.

5. E — Vrai. Des droites parallèles possèdent des directions colinéaires ; les deux directions calculées sont indépendantes. Leurs directions sont respectivement horizontales suivant x et suivant y, deux axes distincts.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Le changement de paramètre t = 1 + s montre qu'elles possèdent tous leurs points en commun. Pour chaque t réel, choisir s = t − 1 produit exactement le même point.

2. B — Vrai. Pour tout s, le point de D₂ est celui de D₁ obtenu avec t = 1 + s ; réciproquement s = t − 1.

3. C — Vrai. Augmenter leur paramètre respectif de 1 ajoute exactement (1 ; 1 ; 0) à leurs coordonnées. Un décalage de l'origine du paramètre ne change ni la direction ni l'ensemble géométrique.

4. D — Faux. Il correspond aussi à t = 1 sur D₁ ; les deux descriptions désignent le même ensemble.

5. E — Vrai. Il correspond à t = 0 sur D₁ et à s = −1 sur D₂, ce qui donne dans chaque cas l'origine.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Les équations imposent des cotes différentes, donc aucun point de P n'est dans Q.

2. B — Vrai. Chaque plan contient les directions horizontales ; ils ont des cotes constantes différentes. Tout vecteur de direction (a ; b ; 0) peut être porté dans chacun de ces plans.

3. C — Vrai. Sa cote vaut 1, ce qui satisfait P, et diffère de 3, ce qui exclut Q.

4. D — Vrai. Pour M(t) = (0 ; 0 ; t), la condition z = 1 donne t = 1 et la condition z = 3 donne t = 3 ; ce sont deux points d'intersection distincts.

5. E — Vrai. Un point commun devrait satisfaire z = 1 et z = 3 simultanément, contradiction. Les deux égalités demanderaient 1 = 3, ce qui est impossible pour une même cote.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Le point D a pour cote 1 alors que tout point du plan (ABC) a pour cote zéro. Les trois sommets A, B et C ont tous une cote nulle ; leur plan est z = 0.

2. B — Faux. Les vecteurs AB = (1 ; 0 ; 0) et AC = (0 ; 1 ; 0) ne sont pas colinéaires.

3. C — Vrai. Les trois points distincts A, B et C ont une cote nulle et ne sont pas alignés, donc ils définissent ce plan horizontal.

4. D — Vrai. Sur (AD), les points sont (0 ; 0 ; t) ; la condition z = 0 impose t = 0, qui est A.

5. E — Faux. La droite (BC) reste dans le plan z = 0, tandis que D possède la cote 1. Ainsi aucun point de (BC) ne peut avoir la cote z = 1 du sommet D.