Calcul intégral

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Le théorème fondamental donne F(2) − F(0) = 2³ − 0³ = 8. Comme 3x² est positive sur [0 ; 2], le résultat positif convient aussi au sens géométrique.

2. B — Faux. La croissance de l'intégrande ne change pas son signe : 3x² ≥ 0 sur le segment, donc l'intégrale est positive.

3. C — Faux. Cette expression est la valeur de l'intégrande au bord x = 2, pas son intégrale ; la primitive donne 8.

4. D — Faux. La dérivée de x² vaut 2x, et non 3x² ; la primitive correcte est x³. Dériver la primitive proposée est le contrôle décisif avant de remplacer les bornes.

5. E — Vrai. L'intégrande 3x² est positive ou nulle et strictement positive sur ]0 ; 2] ; son intégrale sur [0 ; 2] est positive.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. Le segment d'intégration [1 ; e] ne contient pas zéro ; la fonction y est continue. Une singularité extérieure au segment n'empêche pas d'intégrer une fonction continue sur celui-ci.

2. B — Faux. Sur [1 ; e], 1/x est strictement positif, donc son intégrale est positive. Le calcul exact donne ln(e) − ln(1) = 1.

3. C — Vrai. La primitive ln(x) est définie sur le segment positif ; ses valeurs aux bornes sont 1 et 0.

4. D — Faux. Cette valeur est celle de l'intégrande à la borne supérieure ; une valeur ponctuelle n'est pas l'intégrale.

5. E — Faux. C'est l'intégrale de la fonction constante 1 sur ce segment, et non celle de 1/x. La fonction 1/x décroît sur ce segment ; son intégrale vaut précisément ln(e) − ln(1) = 1.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. L'égalité des valeurs aux bornes ne dit rien sur l'intégrale ; le sinus est positif entre elles.

2. B — Vrai. On calcule −cos(π) − [−cos(0)] = 1 − (−1) = 2. Sur [0 ; π], le sinus reste positif ou nul, ce qui confirme le signe du résultat.

3. C — Faux. Le calcul doit utiliser la primitive −cos et soustraire sa valeur initiale ; il donne +2.

4. D — Faux. La dérivée de cos(x) vaut −sin(x) ; il faut prendre −cos(x) comme primitive. Le signe moins est nécessaire pour que la dérivée de la primitive redonne +sin(x).

5. E — Vrai. Sur [0 ; π], sin(x) est positif ou nul, donc l'intégrale est l'aire comprise entre la courbe et l'axe.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. La partie positive sur ]0 ; 1] a la même aire en valeur absolue ; les deux contributions s'annulent.

2. B — Faux. On a (−x)³ = −x³, ce qui caractérise une fonction impaire, et non paire. Par exemple, pour x = 1, les valeurs en 1 et −1 sont opposées.

3. C — Faux. L'intégrale signée soustrait la partie située sous l'axe ; additionner les aires absolues définirait une autre grandeur.

4. D — Vrai. L'intégrande est impaire et les bornes sont symétriques ; l'aire signée négative à gauche annule celle de droite.

5. E — Vrai. La primitive prend la valeur 1/4 aux deux bornes, donc leur différence vaut zéro. Les bornes opposées fournissent le même carré quatrième, d'où l'annulation après soustraction.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. L'aire totale est une intégrale de |x − 1| ; l'intégrale de x − 1 tient compte du signe et vaut zéro.

2. B — Vrai. La primitive x²/2 − x donne 0 en x = 2 et aussi 0 en x = 0 ; la différence vaut zéro.

3. C — Vrai. Chaque partie triangulaire de base 1 et hauteur 1 a une aire 1/2 ; les deux aires s'additionnent. La somme des aires non signées est 1/2 + 1/2, tandis que les intégrales signées s'annulent.

4. D — Vrai. Elle est négative pour 0 ≤ x < 1, nulle en 1 et positive pour 1 < x ≤ 2. Les deux aires signées se compensent dans l'intégrale.

5. E — Faux. Ici la fonction x − 1 est non nulle sauf en 1, mais ses contributions négatives et positives se compensent. Les valeurs en x = 0 et x = 2 sont opposées, bien que la fonction soit non nulle.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Pour x > 0, eˣ > 1 ; l'aire sous eˣ dépasse donc l'aire du rectangle de hauteur 1 et largeur 1.

2. B — Vrai. Une primitive de eˣ est eˣ ; entre 0 et 1 on obtient e¹ − e⁰ = e − 1.

3. C — Faux. Être égale à sa dérivée aide à trouver une primitive ; l'intégrande est positive et l'intégrale non nulle. Le calcul aux bornes donne e − 1, strictement positif puisque e dépasse 1.

4. D — Faux. Il faut soustraire la valeur de la primitive à la borne inférieure : e⁰ = 1. La valeur e correspond seulement à la borne supérieure ; on doit encore retirer la valeur initiale.

5. E — Faux. La fonction eˣ est strictement positive pour tout réel ; une intégrale sur un segment orienté de 0 à 1 est positive.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. La dérivée de x² + 3x est 2x + 3 ; l'évaluation donne (1 + 3) − 0 = 4.

2. B — Faux. La propriété de linéarité donne une somme, ici 1 + 3 = 4, pas le produit.

3. C — Vrai. Les primitives respectives sont x² et 3x ; leurs variations entre 0 et 1 valent 1 et 3. Par linéarité, l'intégrale totale vaut 4.

4. D — Vrai. La linéarité de l'intégrale autorise à séparer les deux termes sur les mêmes bornes. Les deux termes sont intégrés séparément, puis leurs contributions respectives sont ajoutées.

5. E — Faux. La dérivée de 2x² est 4x et non 2x ; la primitive correcte commence par x². Il suffit de dériver l'expression proposée pour constater que son terme linéaire est doublé.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Dans l'ordre 5 vers 2, l'intégrale est l'opposée de celle du sens 2 vers 5, donc négative.

2. B — Faux. La relation exacte est ∫ₐᵇ f = −∫ᵦᵃ f, sauf si l'intégrale initiale vaut zéro. Ici l'intégrande est positive entre 2 et 5 ; inverser les bornes rend donc le résultat négatif.

3. C — Vrai. La primitive x²/2 vaut 25/2 en 5 et 4/2 en 2 ; leur différence vaut (25 − 4)/2.

4. D — Faux. L'expression x² n'est pas une primitive de x ; il faut le facteur 1/2. La primitive correcte x²/2 donne (25 − 4)/2 = 21/2.

5. E — Vrai. L'échange des bornes multiplie toute intégrale par −1 ; il ne modifie pas l'expression de l'intégrande.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. La primitive x³/3 évaluée entre 0 et 3 donne 27/3 − 0 = 9. Le calcul produit une aire signée de 9 unités d'aire sous la courbe positive.

2. B — Vrai. Par définition, la moyenne intégrale est (1/(3 − 0))∫₀³ x² dx = 9/3 = 3. La longueur de l'intervalle est 3 ; diviser par cette longueur ramène l'aire à une hauteur moyenne.

3. C — Vrai. La fonction x² croît de 0 à 9 sur le segment ; une moyenne de valeurs se situe dans cet intervalle.

4. D — Faux. Le nombre 9 est l'intégrale et aussi la valeur f(3), mais la moyenne exige de diviser l'intégrale par 3.

5. E — Faux. La moyenne des seules valeurs aux bornes vaut 4,5, mais la fonction x² n’est pas affine. La moyenne intégrale est (1/3)∫₀³x² dx = 9/3 = 3.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. La différence x(2 − x) est positive ou nulle lorsque 0 ≤ x ≤ 2 ; la droite est donc au-dessus de la parabole.

2. B — Faux. Résoudre 2x = x² donne x(x − 2) = 0 ; les intersections sont exactement aux deux bornes 0 et 2.

3. C — Faux. Cette différence est négative entre 0 et 2 ; son intégrale donnerait l'opposé de l'aire géométrique. Inverser les courbes échange le signe de l'intégrande et donne −4/3, pas une aire positive.

4. D — Vrai. L'aire entre deux graphes se calcule par l'intégrale du graphe supérieur moins le graphe inférieur. La différence x(2 − x) est non négative entre les deux points d'intersection 0 et 2.

5. E — Vrai. La primitive x² − x³/3 donne en 2 la valeur 4 − 8/3 = 4/3, et zéro en 0.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. En inversant les bornes, F(0) = −∫₀¹(t² + 1)dt = −[t³/3 + t]₀¹ = −(1/3 + 1) = −4/3. Le signe négatif vient de l'orientation 1 vers 0 ; l'intégrale de 0 à 1 est positive.

2. B — Vrai. Les deux bornes coïncident ; par convention et propriété de l'intégrale, ∫₁¹ (t² + 1) dt vaut zéro. C'est vrai même si l'intégrande en 1 vaut 2, car l'intervalle a une longueur nulle.

3. C — Vrai. L'intégrande t² + 1 est continu sur ℝ ; le théorème fondamental donne F′(x) égal à sa valeur en t = x.

4. D — Vrai. Une primitive est t³/3 + t ; on obtient (8/3 + 2) − (1/3 + 1) = 7/3 + 1 = 10/3.

5. E — Faux. L'expression 2x est la dérivée de t² + 1, alors que la dérivée de l'intégrale à borne mobile est l'intégrande lui-même.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Diviser l'encadrement 2 ≤ I ≤ 6 par la longueur 2 donne 1 ≤ I/2 ≤ 3. Les bornes 1 et 3 sont ainsi des hauteurs moyennes possibles pour la fonction.

2. B — Vrai. En intégrant 1 ≤ f(x) ≤ 3 de 0 à 2, on obtient ∫₀² 1 dx = 2 et ∫₀² 3 dx = 6.

3. C — Faux. La fonction constante 1 donne I = 2 et la fonction constante 3 donne I = 6 ; les données n'imposent pas 4.

4. D — Vrai. La borne inférieure 2 de l'intégrale est positive, donc I ne peut être nul ou négatif. Plus précisément, intégrer l'inégalité 1 ≤ f donne I ≥ ∫₀²1 dx = 2.

5. E — Faux. Il faut tenir compte de la longueur 2 du segment ; la borne supérieure correcte est 3 × 2 = 6.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. La règle de chaîne donne (1/2) × 2xe^{x²} = xe^{x²}, l'intégrande de départ. Le coefficient 1/2 compense la dérivée 2x de l'exposant intérieur x².

2. B — Faux. La composition e^{x²} fournit directement une primitive après compensation du facteur 2 ; aucune intégration par parties n'est nécessaire.

3. C — Vrai. La primitive précédente donne (1/2)e¹ − (1/2)e⁰ = (e − 1)/2. L'exposant x² vaut zéro à la première borne et un à la seconde.

4. D — Faux. La dérivée de e^{x²} contient le facteur 2x ; l'intégrande possède seulement x, d'où le facteur 1/2 oublié.

5. E — Vrai. Pour 0 < x ≤ 1, les facteurs x et e^{x²} sont positifs ; l'intégrale sur le segment est positive.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Les règles de l'exponentielle donnent e^{2ln(2)} = (e^{ln(2)})² = 2² = 4. La valeur 2 omet le facteur 2 de l'exposant.

2. B — Vrai. La règle de chaîne donne 2e^{2x} pour la dérivée de e^{2x} ; le coefficient 1/2 compense.

3. C — Faux. Le calcul 4 − 1 oublie le facteur 1/2 présent dans la primitive de e^{2x}. La règle de chaîne montre que dériver e^{2x} produit 2e^{2x}, d'où cette compensation.

4. D — Vrai. L'évaluation de la primitive donne (1/2) × (4 − 1) = 3/2. À la borne supérieure, e^{2ln(2)} = 4 ; à la borne inférieure, e⁰ = 1.

5. E — Faux. L'exponentielle est définie sur tous les réels, et ln(2) est un réel positif parfaitement admissible.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Cette unité est celle de la vitesse ; une intégrale de vitesse en m·s⁻¹ sur un temps en s donne des mètres.

2. B — Faux. Une vitesse instantanée ne donne pas seule le déplacement ; l'intégration sur la durée donne 9 m.

3. C — Vrai. Le déplacement 9 m divisé par la durée 3 s donne 3 m·s⁻¹. Cette moyenne temporelle compare un déplacement total à toute la durée, et non à l'instant final.

4. D — Vrai. À t = 3 s, le produit (2 m·s⁻²) × (3 s) vaut 6 m·s⁻¹. La substitution conserve les unités : m·s⁻² multiplié par s donne bien m·s⁻¹.

5. E — Vrai. Une primitive de (2 m·s⁻²)t est (1 m·s⁻²)t². Entre t = 0 s et t = 3 s, sa variation vaut 9 m.