Primitives et équations différentielles

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Par définition, la dérivée de la primitive F vaut f ; elle ne serait nulle que pour une fonction f nulle.

2. B — Faux. Ajouter n'importe quelle constante à une primitive donne une nouvelle primitive de la même fonction. Sans valeur imposée à F en un point, rien ne permet de déterminer cette constante.

3. C — Vrai. Sa dérivée vaut 3x² − 4x + 1, exactement l'expression de la fonction proposée. On retrouve chaque terme de f, y compris le terme constant issu de la dérivée de x.

4. D — Faux. Sa dérivée vaut 9x² − 8x + 1 et non 3x² − 4x + 1 ; il manque les divisions par les nouveaux exposants.

5. E — Vrai. Sur l'intervalle ℝ, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante ; la dérivée de C est nulle.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. La constante 7 disparaît à la dérivation, et la dérivée du premier terme reste e^{2x}.

2. B — Faux. Elle est continue, et la fonction (1/2)e^{2x} fournit explicitement une primitive sur ℝ.

3. C — Faux. Sa dérivée vaut 2e^{2x}, soit deux fois la fonction demandée ; il manque le facteur 1/2.

4. D — Faux. Sa dérivée vaut (1/2)e^x, ce qui diffère de e^{2x} pour les réels généraux. En x = 0, cette dérivée vaut 1/2 alors que f(0) vaut 1.

5. E — Vrai. La règle de chaîne donne F′(x) = (1/2) × 2e^{2x} = e^{2x}. Le facteur un demi compense exactement la dérivée de l'exposant intérieur 2x.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Sur cet intervalle, le logarithme est défini et sa dérivée vaut exactement 1/x. La restriction x > 0 garantit que l'argument du logarithme reste dans son domaine réel.

2. B — Vrai. Quand x < 0, ln(|x|) = ln(−x) et sa dérivée vaut (−1)/(−x) = 1/x. La dérivation de −x apporte un signe négatif, compensé par le dénominateur négatif.

3. C — Vrai. Pour x négatif, |x| = −x, donc [ln(|x|)]′ = (−1)/(−x) = 1/x. Cette primitive est valable sur ]−∞ ; 0[.

4. D — Faux. Le logarithme réel de x n'est pas défini lorsque x est négatif ; on doit écrire ln(|x|).

5. E — Faux. La fonction 1/x elle-même est indéfinie en zéro ; les intervalles de résolution restent de part et d'autre.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. En dérivant, la règle de chaîne donne (1/3) × 3cos(3x) = cos(3x). L'égalité des dérivées vaut pour tout réel x, ce qui suffit à vérifier la primitive.

2. B — Faux. Une fonction périodique continue possède des primitives ; sin(3x)/3 en donne une ici.

3. C — Vrai. Soustraire une constante ne change pas la dérivée ; elle reste cos(3x). Cette nouvelle fonction diffère de la première par −5, et leurs dérivées coïncident partout.

4. D — Faux. Sa dérivée vaut −cos(3x), avec un signe opposé à la fonction demandée.

5. E — Faux. La dérivée de cette expression vaut 3cos(3x), trois fois la fonction f.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Le dénominateur vaut 0² + 1 = 1 ; ainsi f(0) = 0. Le quotient est donc défini à l'origine, puisque son dénominateur n'y est pas nul.

2. B — Faux. Sa dérivée vaut 4x/(x² + 1), le double de f ; aucun facteur 2 supplémentaire n'est nécessaire. Le facteur extérieur 2 se retrouve inchangé après dérivation et double toute la fonction.

3. C — Faux. Cette expression est indéfinie en zéro et sa dérivée pour x ≠ 0 est 2/x, différente de f.

4. D — Vrai. La dérivée de l'intérieur x² + 1 vaut 2x ; la règle donne F′(x) = 2x/(x² + 1).

5. E — Vrai. On a x² ≥ 0, donc x² + 1 ≥ 1 > 0 ; la formule logarithmique est valable sur ℝ.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. L'intervalle ℝ est connexe ; toutes les primitives d'une fonction continue s'obtiennent en ajoutant une constante réelle.

2. B — Vrai. La dérivation du logarithme composé donne eˣ/(1 + eˣ), puisque l'argument reste strictement positif. Ici u = 1 + eˣ et u′ = eˣ : on reconnaît exactement la forme u′/u.

3. C — Faux. La dérivée de l'exponentielle eˣ est eˣ ; aucun quotient par x n'apparaît. La formule eˣ/x serait d'ailleurs indéfinie en zéro, contrairement à la dérivée réelle.

4. D — Faux. Cette expression se simplifie en x, dont la dérivée vaut 1 ; f(x) n'est pas identiquement égale à 1.

5. E — Faux. L'exponentielle eˣ reste positive, donc 1 + eˣ > 1 pour tout x réel.

Réponse attendue : D

1. A — Faux. Les solutions Ce^{2x} ont des valeurs initiales distinctes C ; seule C = 3 satisfait y(0) = 3.

2. B — Faux. En x = 0, Ce⁰ = C ; on obtient donc C = y(0) = 3. Le nombre 2 règle la croissance dans l'exposant, tandis que C fixe la valeur initiale.

3. C — Faux. Sa valeur en zéro vaut 2 et non 3 ; l'exposant 3x ne correspond pas non plus au coefficient différentiel 2.

4. D — Vrai. La dérivée vaut 6e^{2x} = 2 × 3e^{2x}, et la valeur en zéro est 3e⁰ = 3. Les deux contrôles sont nécessaires : satisfaire seulement l'équation ne fixerait pas la constante C.

5. E — Faux. La solution y(x) = 3e^{2x} est strictement positive et sa dérivée y′(x) = 6e^{2x} est positive sur ℝ : elle croît.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. La dérivée de cette droite est −3, tandis que −3y(x) = −6 + 9x ; l'égalité échoue.

2. B — Vrai. La dérivée vaut −6e^{-3x} = −3y(x), et à x = 0 on obtient la valeur 2. Le coefficient −3 de l'équation réapparaît lors de la dérivation de l'exposant.

3. C — Faux. Le produit 2e^{-3x} reste strictement positif pour tout x réel, même si sa limite vaut zéro.

4. D — Vrai. Puisque −3x tend vers −∞, l'exponentielle e^{-3x} tend vers zéro ; le facteur 2 reste constant. Cette limite n'est jamais atteinte à un réel fini, car l'exponentielle reste positive.

5. E — Faux. La valeur initiale n'est pas une limite ; le facteur exponentiel décroît de 1 vers 0.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. La fonction z = y + 4 satisfait z′ = z et z(0) = 4 ; d'où z = 4eˣ puis y = z − 4.

2. B — Faux. Seule la solution d'équilibre y = −4 est constante ; la solution initialisée y(0) = 0 croît. Le signe de y′ dépend de y + 4 ; pour y(0) = 0, il est positif.

3. C — Vrai. Si y = −4, alors y′ = 0 et y + 4 = 0 ; les deux membres coïncident.

4. D — Faux. Cette fonction vaut 4 en zéro, en contradiction avec y(0) = 0 ; il manque la translation −4.

5. E — Vrai. L'équation différentielle donne directement y′(0) = y(0) + 4 = 0 + 4 = 4. Cette pente initiale se lit directement dans l'équation, sans résoudre d'abord la fonction.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Pour une solution constante, y′ = 0, donc −2y + 6 = 0 et y = 3. En substituant 3, on vérifie bien −2 × 3 + 6 = 0.

2. B — Faux. La solution y(x) = 3(1 − e^{−2x}) tend vers 3 puisque e^{−2x} tend vers zéro. La valeur 3 est l'équilibre.

3. C — Faux. L'équilibre exige d'annuler le second membre −2y + 6 ; cela conduit à y = 3. Le coefficient −2 multiplie y : il faut donc diviser 6 par 2 pour l'annuler.

4. D — Vrai. La différence z = y − 3 vérifie z′ = −2z et z(0) = −3 ; ainsi z = −3e^{-2x}.

5. E — Faux. Elle vaudrait 6 à l'origine au lieu de zéro ; de plus sa limite serait 0 au lieu de l'équilibre 3.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Les solutions générales sont x² + C ; la condition 1 + C = 0 impose C = −1.

2. B — Faux. Pour y(x) = x² + C, on a y(1) = 1 + C ; demander y(1) = 0 donne C = −1.

3. C — Faux. Sa dérivée vaut 4x, le double du second membre demandé, même si sa valeur en x = 1 vaut 1.

4. D — Vrai. En substituant x = 0 dans y(x) = x² − 1, on obtient la valeur −1. Cette valeur n'est pas la condition imposée ; elle se déduit après avoir fixé C.

5. E — Vrai. La dérivation de x² − 1 donne 2x − 0, vérifiant l'équation différentielle sur ℝ. La vérification porte sur tous les réels, et non seulement sur la donnée au point 1.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Au point zéro, sin(0) + C = C, donc C doit valoir +1.

2. B — Vrai. La dérivée est cos(x), et y(0) = sin(0) + 1 = 1. La dérivée de la constante 1 est nulle : elle modifie la valeur initiale sans modifier y′.

3. C — Vrai. Sur l'intervalle ℝ, la différence de deux primitives d'une même fonction est constante. Toute autre solution possède la même dérivée et diffère donc de celle-ci par une constante.

4. D — Vrai. La famille des primitives de cos est sin(x) + C. Comme sin(0) = 0, l'égalité y(0) = 1 impose C = 1.

5. E — Vrai. Le sinus de π/2 vaut 1 ; la solution donnée prend donc la valeur 1 + 1 = 2.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Avec C = 1, la fonction vaut e⁰ = 1 au point zéro, ce qui contredit la condition.

2. B — Vrai. Sa dérivée est nulle et ay vaut aussi zéro pour tout x ; au point 0, sa valeur est zéro.

3. C — Faux. La fonction identiquement nulle résout y′ = ay pour n'importe quelle valeur réelle du paramètre a. Même si a est négatif ou nul, le produit de a par la fonction nulle reste nul.

4. D — Vrai. À l'origine, e^{a×0} = 1, donc y(0) = C ; la valeur initiale nulle impose C = 0.

5. E — Vrai. Toutes les solutions de y′ = ay s'écrivent Ce^{ax}, et une seule constante vérifie y(0) = 0. L'exponentielle ne s'annule jamais ; la condition initiale force donc effectivement C = 0.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. L'argument d'une exponentielle doit être sans dimension : le produit (0,5 h⁻¹) × t, avec t en h, n'a pas d'unité.

2. B — Vrai. En posant U = T − 20 °C, on a U′ = −(0,5 h⁻¹)U et U(0 h) = 60 °C ; donc U(t) = 60 °C × e^{−(0,5 h⁻¹)·t}.

3. C — Vrai. Le produit de 0,5 h⁻¹ par un écart de température en °C a pour unité °C·h⁻¹, celle de T′. Un coefficient exprimé en heures, au lieu d'heures inverses, rendrait le bilan d'unités incorrect.

4. D — Faux. Les 60 °C représentent l'écart initial avec l'ambiance ; la température initiale est 20 °C + 60 °C = 80 °C.

5. E — Vrai. Le terme exponentiel positif e^{−(0,5 h⁻¹)·t} tend vers zéro ; il reste donc la température ambiante 20 °C. Dans l'exposant, on écrit précisément −(0,5 h⁻¹)·t afin d'obtenir une grandeur sans dimension.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. L'équation porte sur e^{3x}, donc on obtient 3x = ln(2), et non directement x = ln(2). La fonction exponentielle étant strictement croissante, l'équation e^{3x} = 2 admet un seul zéro.

2. B — Vrai. En posant z = y − 2, on a z′ = 3z et z(0) = −1 ; donc z = −e^{3x}.

3. C — Vrai. L'équation 2 − e^{3x} = 0 donne e^{3x} = 2 ; le logarithme et la division par 3 donnent x = ln(2)/3.

4. D — Faux. La constante 2 résout certes l'équation différentielle, mais elle ne vérifie pas y(0) = 1. Son équilibre convient à l'équation, mais une condition initiale différente sélectionne une autre trajectoire.

5. E — Faux. La solution y(x) = 2 − e^{3x} vérifie y′(x) = −3e^{3x} < 0 pour tout réel x ; elle est strictement décroissante.