Fonction logarithme népérien

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. On résout ln(2x − 4) = 0, donc 2x − 4 = 1, puis x = 5/2 ; cette valeur appartient au domaine.

2. B — Faux. Au point x = 2, l'argument est nul et le logarithme n'est pas défini ; le zéro se trouve en 5/2.

3. C — Vrai. L'inégalité 2x − 4 > 0 équivaut à x > 2. L'égalité x = 2 est exclue, puisque ln(0) n'existe pas.

4. D — Faux. Pour x négatif, l'argument 2x − 4 est strictement négatif ; le logarithme réel ne le prend pas en entrée.

5. E — Faux. La limite lorsque x tend vers 2 par la droite est −∞, mais la fonction elle-même n'est pas définie au point 2.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Pour tout réel t, ln(eᵗ) = t ; le réel t vaut ici 3, donc la composition renvoie 3.

2. B — Vrai. Le nombre 5 est strictement positif, ce qui rend ln(5) défini ; l'exponentielle annule ensuite l'effet du logarithme.

3. C — Faux. Le logarithme de eᵗ est l'exposant t, et non la base e ; avec t = 3 on obtient 3.

4. D — Faux. La formule ln(eᵗ) = t conserve l'exposant 3 ; aucun inverse multiplicatif n'intervient. Une vérification directe donne aussi ln(e³) = 3ln(e) = 3, car ln(e) vaut 1.

5. E — Faux. Le logarithme népérien de −5 n'est pas défini dans ℝ ; la formule réciproque exige un argument strictement positif.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Puisque 6 > 1 et ln est strictement croissante avec ln(1) = 0, sa valeur en 6 est positive.

2. B — Faux. Les logarithmes des deux facteurs négatifs sont indéfinis en réel ; la décomposition utilisée exige des facteurs positifs.

3. C — Faux. Il n'existe pas de formule additive de cette forme ; le membre gauche est ln(5) et le droit ln(6).

4. D — Faux. La propriété de produit transforme le logarithme d'un produit en somme, pas en produit de logarithmes. La somme ln(2) + ln(3) retrouve ln(6) ; le produit de ces logarithmes ne correspond à aucune telle règle.

5. E — Vrai. Les facteurs 2 et 3 sont strictement positifs ; on peut appliquer la formule du logarithme d'un produit.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. Une somme correspondrait à ln(8 × 2) = ln(16), pas à ln(8/2) = ln(4). Le signe plus s'emploierait avec le produit 8 × 2, qui donne 16 et non 4.

2. B — Faux. Comme 8/2 = 2², l'exposant à placer devant ln(2) est 2, et non 4. On peut contrôler avec 8/2 = 4, puis ln(4) = ln(2²) = 2ln(2).

3. C — Vrai. Les nombres 8 et 2 sont positifs ; la propriété ln(a/b) = ln(a) − ln(b) s'applique. En réduisant ensuite, ln(8) − ln(2) = 3ln(2) − ln(2) = 2ln(2).

4. D — Faux. Le quotient 8/2 vaut 4 = 2² ; son logarithme vaut 2ln(2), et non 3ln(2) qui correspondrait à ln(8).

5. E — Faux. La formule du quotient des arguments donne une différence de logarithmes, non leur quotient. Ici 8/2 = 4 ; la transformation correcte doit donc redonner ln(4), pas un quotient de logarithmes.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. La fonction logarithme népérien est dérivable pour x > 0 et sa dérivée vaut le réciproque de l'argument.

2. B — Faux. Le logarithme réel exige x > 0 ; zéro est exclu et aucune dérivée au point 0 n'est définie.

3. C — Faux. La valeur f(1) est zéro, mais la pente est f′(1) = 1/1 = 1 ; il faut distinguer ordonnée et dérivée.

4. D — Vrai. Avec f(1) = ln(1) = 0 et f′(1) = 1, la formule y = f(1) + f′(1)(x − 1) donne x − 1.

5. E — Faux. En x = 1, cette droite aurait l'ordonnée 2 alors que le point de tangence est (1 ; 0).

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Il faut appliquer l'exponentielle, opération réciproque du logarithme ; un second logarithme n'isole pas l'inconnue. À partir de ln(x) = 2, écrire e^{ln(x)} = e² donne directement x = e² sur le domaine positif.

2. B — Faux. En x = 2, le logarithme ln(2) n'est pas égal à 2 ; la fonction réciproque fournit x = e².

3. C — Faux. Le logarithme de x n'est pas défini pour x négatif dans ℝ ; la solution positive est unique.

4. D — Vrai. Appliquer l'exponentielle donne eˡⁿ⁽ˣ⁾ = e², soit x = e². Cette valeur est positive et vérifie l'équation.

5. E — Vrai. Puisque e > 1, son carré e² est supérieur à 1 ; il satisfait bien le domaine du logarithme.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Le logarithme est strictement croissant sur ]0 ; +∞[ ; si x > 2, alors ln(x) > ln(2), ce qui satisfait l'inégalité large.

2. B — Faux. Le logarithme réel n'est pas défini en un argument négatif ; on ne peut pas tester ln(−2).

3. C — Vrai. Substituer x = 2 donne ln(2) = ln(2), donc la borne 2 est bien incluse. Le domaine x > 0 est respecté : le nombre 2 peut bien être substitué dans les deux logarithmes.

4. D — Faux. La dérivée 1/x est positive sur x > 0 ; le logarithme est croissant, ce qui conserve le sens de l'inégalité.

5. E — Vrai. Sur le domaine x > 0, la fonction ln est strictement croissante ; ln(x) ≥ ln(2) équivaut à x ≥ 2.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. L'annulation de f n'est pas celle de f′ ; f′(1) = 1, tandis que f′(1/e) = 0. Pour trouver le minimum intérieur, on annule plutôt ln(x) + 1 et on examine le signe de cette dérivée.

2. B — Faux. Cette expression dérive seulement le logarithme, sans traiter le facteur x ; la règle du produit ajoute ln(x).

3. C — Vrai. La dérivée change de négatif à positif lorsque ln(x) passe par −1 ; f(1/e) = (1/e)(−1). La dérivée est négative avant 1/e et positive après, ce qui confirme qu'il s'agit bien du minimum global.

4. D — Faux. Le produit de deux fonctions n'a pas automatiquement leurs variations ; f′(x) = ln(x) + 1 est négatif pour x < 1/e.

5. E — Vrai. La dérivée du produit vaut 1 × ln(x) + x × (1/x) = ln(x) + 1 pour x positif.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Sur les positifs proches de zéro, le logarithme descend sans borne ; il n'existe pas de valeur ln(0).

2. B — Faux. Le symbole −∞ décrit la limite lorsque x approche 0 par valeurs positives, et n'est pas une valeur de la fonction.

3. C — Vrai. Le logarithme est strictement croissant et ln(1) = 0. Tout x supérieur à 1 a donc un logarithme strictement positif.

4. D — Vrai. Le logarithme est strictement croissant et non majoré sur les réels positifs ; sa limite à l'infini est +∞.

5. E — Vrai. La limite du logarithme par la droite en zéro est infinie en valeur absolue ; cela caractérise l'asymptote verticale.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Pour x > 1, ln(x) > ln(1) = 0 et le dénominateur x est positif. Ce contrôle des signes utilise simultanément x positif et ln(x) positif, deux conditions nécessaires au quotient.

2. B — Faux. Pour x > e > 1, numérateur et dénominateur sont tous deux positifs ; le quotient reste positif.

3. C — Faux. Une forme ∞/∞ ne fixe aucune valeur. La croissance comparée donne exactement zéro. Une forme indéterminée demande une comparaison de croissance ; le logarithme augmente moins vite que la fonction x.

4. D — Vrai. Le logarithme croît plus lentement que la fonction x sur les positifs ; leur quotient tend vers zéro.

5. E — Vrai. Les deux termes divergent, mais leur rapport dépend de leurs vitesses de croissance ; ici il vaut zéro à la limite.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Même si −3 résout l'équation quadratique transformée, ln(x − 1) y serait le logarithme de −4. La condition de définition x > 1 provient de x − 1 > 0 et exclut immédiatement −3.

2. B — Vrai. Les conditions x − 1 > 0 et x + 1 > 0 se recoupent en x > 1.

3. C — Faux. La somme des arguments x − 1 et x + 1 vaut 2x, mais la propriété concerne leur produit, pas leur somme.

4. D — Vrai. Résoudre x² = 9 donne ±3 ; seul 3 satisfait la condition x > 1. Le report dans l'équation initiale donne ln(2) + ln(4) = ln(8), ce qui confirme la racine admissible.

5. E — Faux. La somme des logarithmes est ln[(x − 1)(x + 1)] = ln(x² − 1), donc c'est x² − 1 = 8 qu'il faut résoudre pour x > 1.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Le carré de −2 vaut 4, strictement positif ; le logarithme de 4 est bien défini.

2. B — Vrai. Au point zéro, l'argument x² vaut 0 et le logarithme réel exige un argument strictement positif. En revanche, pour tout x non nul, x² est positif et son logarithme réel existe.

3. C — Faux. Pour x négatif, ln(x) n'existe pas en réel ; il faut utiliser 2ln(|x|). L'écriture valable des deux côtés de zéro est 2ln(|x|), puisque |x| reste strictement positif.

4. D — Faux. La propriété de puissance donne un facteur 2 devant ln(x), pas un carré du nombre ln(x). Avec x = e, le membre gauche vaut ln(e²) = 2, mais le carré proposé vaut [ln(e)]² = 1.

5. E — Vrai. Comme |x| > 0, la formule de puissance est applicable : ln(|x|²) = 2ln(|x|). La valeur absolue rend l'argument positif même pour x négatif ; cette précaution évite d'écrire un logarithme inexistant.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. La résolution d'eᵗ = 10 donne t = ln(10), pas t = 10 ; l'exponentielle de 10 dépasse largement 10.

2. B — Vrai. À l'origine e⁰ = 1, qui est strictement inférieur à 10 ; la grandeur n'a pas encore atteint la cible.

3. C — Faux. Le logarithme est strictement croissant sur les positifs ; une fonction croissante conserve le sens de l'inégalité. Appliquer ln à eᵗ ≥ 10 conduit donc à t ≥ ln(10), avec le même sens.

4. D — Vrai. La croissance stricte de ln permet d'appliquer ln aux deux membres : ln(eᵗ) = t, d'où le seuil.

5. E — Vrai. La fonction eᵗ est continue et strictement croissante ; l'égalité eᵗ = 10 possède cette unique solution.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Au point critique e, ln(e) = 1, donc f(e) = 1/e ; le signe de f′ change de positif à négatif.

2. B — Vrai. Le dénominateur est positif ; 1 − ln(x) est positif avant e, nul en e, puis négatif après.

3. C — Vrai. La règle du quotient donne [(1/x) × x − ln(x)]/x² = [1 − ln(x)]/x². Le dénominateur x² n'est jamais nul puisque le domaine de définition impose x > 0.

4. D — Faux. L'abscisse du maximum est e, mais son ordonnée est f(e) = ln(e)/e = 1/e. L'abscisse indique où se trouve l'extremum ; sa valeur se calcule en évaluant la fonction à cette abscisse.

5. E — Faux. Dériver seulement le numérateur puis diviser par x oublierait la dérivée du dénominateur ; il manque −ln(x)/x².

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Être croissant donne ln(2) > ln(1) = 0, mais ne donne pas ln(2) ≥ 1 ; la concavité fournit le majorant 1.

2. B — Vrai. La fonction ln est concave car sa dérivée seconde vaut −1/x² < 0 ; elle reste au-dessous de toute tangente, en particulier ln(x) ≤ x − 1.

3. C — Vrai. La tangente en x = 1 est y = x − 1. Le logarithme est concave puisque sa dérivée seconde vaut −1/x² < 0.

4. D — Vrai. Il suffit de substituer x = 2 à l'inégalité de la tangente : ln(2) ≤ 2 − 1 = 1.

5. E — Vrai. On a ln(1) = 0 et 1 − 1 = 0 ; la courbe touche sa tangente précisément au point choisi.