Limites de fonctions

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. Une fonction ayant une limite finie 2 à l'infini admet par définition la droite horizontale d'ordonnée 2 comme asymptote.

2. B — Vrai. Après division par x², f(x) = (2 − 3/x + 1/x²)/(1 + 1/x²). Les fractions en 1/x tendent vers zéro.

3. C — Faux. Le numérateur croît aussi comme 2x² ; le quotient de deux expressions de même degré tend vers le rapport 2/1.

4. D — Faux. Le dénominateur vaut (−1)² + 1 = 2 > 0 ; il est d'ailleurs strictement positif sur ℝ.

5. E — Faux. À l'infini, les termes de plus haut degré dominent : 2x² au numérateur et x² au dénominateur, d'où 2.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. À gauche, x − 2 reste négatif et s'approche de zéro ; son inverse décroît sans borne vers −∞.

2. B — Vrai. À droite de 2, x − 2 est positif et tend vers zéro ; son inverse devient positif arbitrairement grand.

3. C — Faux. À gauche, 1/(x − 2) tend vers −∞ ; à droite, vers +∞. Il faut distinguer les deux côtés.

4. D — Faux. Le dénominateur serait nul à x = 2 ; g n'y est pas définie, donc aucun nombre ne peut être g(2).

5. E — Vrai. Au voisinage de 2, au moins une limite latérale est infinie ; la droite d'abscisse 2 est donc asymptote verticale.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. La limite finie 4 exclut une asymptote verticale pour cette fonction ; la difficulté concerne seulement la valeur absente au point 2.

2. B — Faux. La fonction h telle qu'elle est définie reste indéfinie en x = 2. Une prolongation continue pourrait seulement lui donner cette valeur.

3. C — Vrai. Sur les points du voisinage autres que 2, h(x) = x + 2 ; la limite est donc 2 + 2 = 4.

4. D — Faux. La factorisation x² − 4 = (x − 2)(x + 2) donne h(x) = x + 2 pour x ≠ 2. Le terme x − 2 s'élimine au lieu de rester.

5. E — Faux. Le symbole 0/0 n'est pas une valeur numérique ; c'est une forme indéterminée qu'on résout en factorisant.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. Pour x > 0, |x|/x = 1 ; ainsi r(x) = √(1 + 1/x²), dont la limite est 1.

2. B — Faux. On factorise x² sous la racine, puis on extrait |x|. Diviser la racine par x² modifierait l'expression.

3. C — Vrai. Pour x < 0, |x|/x = −1 ; ainsi r(x) = −√(1 + 1/x²), dont la limite est −1.

4. D — Faux. Le dénominateur x s'annule au point 0 ; la fonction r n'est pas définie à cette abscisse.

5. E — Faux. La racine de x² vaut |x| et non x ; le quotient |x|/x vaut −1 lorsque x est négatif.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Le terme dominant est −2x³ ; il tend vers −∞ pour x positif grand, et les termes d'ordre inférieur ne changent pas cette limite.

2. B — Faux. Un terme constant ne peut dominer un polynôme cubique dont le module croît sans borne à l'infini.

3. C — Faux. C'est le monôme de degré 3 qui domine le monôme de degré 1 ; aucune limite finie n'existe ici.

4. D — Faux. Le terme x³ change de signe avec x ; à −∞, le produit −2x³ devient positif arbitrairement grand.

5. E — Vrai. À gauche, x³ tend vers −∞, donc −2x³ vers +∞ ; le terme linéaire reste de degré inférieur.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Une fonction toujours strictement positive ne peut tendre vers −∞ ; l'exposant négatif signifie réciproque. Le signe de eᵗ est positif pour tout exposant réel, même négatif.

2. B — Faux. L'exponentielle ne s'annule pour aucun réel fini ; elle devient seulement arbitrairement proche de zéro. Une limite n'est pas nécessairement une valeur atteinte, même très loin sur l'axe réel.

3. C — Faux. Leurs comportements sont opposés : e^x diverge vers +∞ alors que son inverse converge vers 0. La relation de réciprocité explique pourquoi l'une grandit pendant que l'autre diminue.

4. D — Vrai. Puisque e^x tend vers +∞ et reste strictement positif, son inverse e^−x tend vers zéro. Écrire e⁻ˣ = 1/eˣ permet de relier cette limite à la croissance de eˣ.

5. E — Vrai. L'exponentielle d'un réel est toujours positive, même lorsque son exposant est négatif ; sa limite zéro n'est jamais atteinte.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. L'expression d'origine comporte une division par x ; au point zéro, elle est indéfinie malgré l'existence de sa limite.

2. B — Vrai. Le numérateur se factorise en x(x + 3). La simplification par x est licite uniquement pour x non nul.

3. C — Vrai. Pour x non nul, t(x) = x + 3 ; par exemple, si |x| < 1, alors 2 < t(x) < 4. La discontinuité de définition en 0 ne crée aucune divergence.

4. D — Faux. La substitution donne la forme indéterminée 0/0 ; après factorisation, la limite est 3 et non zéro.

5. E — Vrai. Sur les points voisins de zéro, t(x) = x + 3. Comme x tend vers zéro, la limite vaut 3.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Le passage à l'inverse échange un petit dénominateur strictement positif avec une valeur très grande, pas avec zéro.

2. B — Faux. C'est précisément la division par 0 qui interdit de définir f(0) par cette expression. En x = 0, le dénominateur s'annule ; une limite infinie n'attribue pas de valeur au point.

3. C — Vrai. À droite aussi, x² > 0 et tend vers zéro. Son inverse dépasse toute borne positive au voisinage de l'origine.

4. D — Vrai. Quand x approche zéro par valeurs négatives, x² reste positif et tend vers 0 ; 1/x² tend donc vers +∞.

5. E — Faux. Le carré x² est positif pour x non nul, quelle que soit la direction d'approche ; son inverse ne devient jamais négatif.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Le produit des deux conjuguées vaut (x² + x) − x² = x ; le dénominateur conjugué est non nul pour x > 0.

2. B — Vrai. Dans l'expression 1/[√(1 + 1/x) + 1], le terme 1/x tend vers zéro ; le dénominateur tend vers 2.

3. C — Faux. Le second terme x tend aussi vers +∞ et la différence se compense ; elle tend en réalité vers 1/2.

4. D — Vrai. Dans le quotient rationalisé, on extrait x de la racine car x > 0, puis on divise numérateur et dénominateur par x.

5. E — Faux. Soustraire deux expressions de même ordre crée une forme indéterminée ; la rationalisation montre ici la limite non nulle 1/2.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Les deux régimes sont inverses : en 0⁺, 3/x grandit sans borne ; en +∞, il décroît vers zéro.

2. B — Faux. L'infini décrit un comportement limite, pas une valeur réelle. La fonction 3/x n'est pas définie pour x = 0.

3. C — Vrai. Le nombre 3 reste fixe ; divisé par un x positif arbitrairement grand, il donne un quotient positif proche de zéro.

4. D — Vrai. La fonction a pour limite finie zéro à l'infini ; l'axe des abscisses joue donc ce rôle d'asymptote.

5. E — Vrai. Le dénominateur positif devient arbitrairement petit, de sorte que 3/x devient positif arbitrairement grand. Pour x = 0,1, on obtient déjà 30 ; en rapprochant x de zéro, on dépasse toute borne.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Le numérateur x² + 2 et le dénominateur x⁴ + 1 sont chacun strictement positifs sur ℝ.

2. B — Vrai. Après division par x⁴, on obtient (1/x² + 2/x⁴)/(1 + 1/x⁴), de numérateur limite zéro. Le dénominateur tend vers 1 après cette division, ce qui fixe la limite du quotient.

3. C — Vrai. Pour tout x réel, x⁴ ≥ 0, donc x⁴ + 1 ≥ 1 > 0. Le quotient est ainsi défini sur tout ℝ.

4. D — Vrai. Une limite nulle à l'infini signifie que la distance verticale entre la courbe et l'axe des abscisses tend vers zéro.

5. E — Faux. Le dénominateur croît plus vite que le numérateur de degré 2 ; le quotient positif tend vers zéro.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Le terme principal 3x + 2 tend vers +∞ et la correction 1/(x − 1) tend vers 0 ; leur somme diverge vers +∞.

2. B — Faux. La fonction ne tend pas vers 2 : elle comporte le terme dominant 3x qui grandit sans borne.

3. C — Vrai. En soustrayant 3x + 2 à c(x) = 3x + 2 + 1/(x − 1), il reste exactement 1/(x − 1), qui tend vers zéro en +∞.

4. D — Vrai. La différence est exactement 1/(x − 1), qui tend vers zéro lorsque le dénominateur tend vers +∞.

5. E — Vrai. Par définition, une droite y = ax + b est asymptote quand c(x) − (ax + b) tend vers zéro.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. La borne 1 est valable mais trop grossière ; la borne exacte 1/x² tend vers zéro et impose la limite zéro.

2. B — Vrai. Comme f(x) est positive ou nulle, sa valeur absolue vaut f(x) ; la majoration donnée est conservée.

3. C — Faux. Un encadrement ne fixe pas les variations : une fonction positive oscillante sous 1/x² peut respecter les mêmes bornes.

4. D — Vrai. La borne inférieure zéro et la borne supérieure 1/x² convergent toutes deux vers zéro ; le théorème des gendarmes s'applique.

5. E — Vrai. C'est une donnée explicite de l'encadrement 0 ≤ f(x), valable pour tout x dans l'intervalle annoncé. Cet encadrement donne le signe sans fournir la formule exacte de la fonction.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. La puissance vaut 2 × 2 × 2 = 8, pas 6 ; le calcul conduit à 8 − 4 + 1 = 5.

2. B — Faux. Le degré intervient dans l'étude aux infinis ; en un point fini, le polynôme est continu et sa limite vaut 5.

3. C — Vrai. Le calcul direct donne 8 − 4 + 1 = 5. La valeur de la fonction et sa limite au point coïncident.

4. D — Faux. Le polynôme est continu en 2 : ses deux limites latérales valent toutes deux d(2) = 8 − 4 + 1 = 5.

5. E — Vrai. Un polynôme est continu, donc sa limite en 2 est d(2) = 2³ − 2 × 2 + 1 = 5.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Lorsque x est positif, |x| = x ; le quotient x/x vaut donc 1 sur toute la demi-droite positive.

2. B — Faux. Le dénominateur s'annule en zéro. Le quotient |0|/0 est indéfini et ne reçoit pas la valeur zéro.

3. C — Vrai. Lorsque x est négatif, |x| = −x ; le quotient −x/x vaut donc −1 sur toute la demi-droite négative.

4. D — Faux. La continuité de |x| ne suffit pas pour son quotient par x qui s'annule ; les limites latérales sont précisément opposées.

5. E — Vrai. La limite à gauche vaut −1 et celle à droite vaut 1 ; elles ne sont pas égales, donc la limite en 0 n'existe pas.