Dénombrement et combinatoire

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Le second choix n'a plus cinq possibilités puisque le premier livre ne peut être replacé ; on multiplie 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

2. B — Vrai. Une fois le premier emplacement fixé, les quatre livres restants sont encore distincts et permutables librement, soit 24 cas.

3. C — Faux. Par convention 0! = 1, et non zéro. Le nombre de rangements vaut 5! = 120.

4. D — Vrai. Les livres sont distincts et chaque place est ordonnée : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

5. E — Faux. Une étagère distingue gauche et droite : échanger deux livres donne ici un autre rangement, donc on doit compter les permutations.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. Une puissance compterait trois choix indépendants avec répétition ; les élèves sont distincts et on n'en choisit aucun deux fois.

2. B — Faux. Sans fonctions, ces deux listes décrivent la même équipe. Leur dédoublement est précisément éliminé par la division par 3!.

3. C — Vrai. Il y a 7 × 6 × 5 listes ordonnées de trois élèves, mais chacune représente 3! = 6 fois la même équipe ; 210/6 = 35.

4. D — Faux. L'équipe retenue a trois membres sur sept ; son complément en contient quatre, et non trois. Cette bijection donne C(7,3) = C(7,4).

5. E — Faux. Ce produit distingue les ordres des trois élèves, alors que l'équipe ne change pas lorsque ses membres sont permutés.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Chacune des quatre chemises peut être portée avec chacun des trois pantalons ; les quatre groupes de trois possibilités donnent 12.

2. B — Faux. Une addition compterait un vêtement isolé. Une tenue demande simultanément un choix parmi quatre et un parmi trois.

3. C — Faux. Aucun rangement de tous les vêtements n'est demandé : on prélève seulement un élément de chaque catégorie, soit 12.

4. D — Vrai. La nouvelle chemise se combine avec les trois pantalons existants, ce qui porte le total de 12 à 15.

5. E — Faux. Les deux catégories sont déjà distinguées. Choisir d'abord le pantalon ne crée pas une tenue différente avec les mêmes deux vêtements.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Le coefficient binomial compte seulement quels trois finalistes montent sur le podium ; chacun de ces 56 groupes produit 3! = 6 classements, soit 336 podiums.

2. B — Vrai. Les places étant ordonnées, un échange modifie les attributions même si les trois personnes présentes restent les mêmes.

3. C — Vrai. Huit choix pour l'or, sept pour l'argent puis six pour le bronze donnent 336 listes de trois personnes distinctes.

4. D — Faux. Le produit 8 × 7 × 6 distingue déjà les trois places dans l'ordre ; multiplier encore par 6 recompterait chaque podium.

5. E — Faux. Cette puissance permettrait qu'un même finaliste soit classé simultanément à plusieurs places, ce qui est exclu.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Ce produit convient sans répétition. Ici le même chiffre peut être réutilisé aux deuxième et troisième positions.

2. B — Vrai. À chacune des trois positions, cinq chiffres sont autorisés, y compris ceux déjà utilisés. Le principe multiplicatif donne 5 × 5 × 5.

3. C — Vrai. Le zéro initial est permis et la répétition également ; chaque position peut donc contenir zéro simultanément.

4. D — Faux. L'énoncé parle d'un code, et précise que le zéro initial est admis ; l'interdire retrancherait des possibilités.

5. E — Faux. Les positions sont ordonnées : ces deux suites de chiffres occupent les places différemment et constituent deux codes.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Le chiffre zéro se répète en positions 1 et 3 ; cela contrevient à la contrainte des trois caractères distincts.

2. B — Vrai. Une fois zéro fixé, les deux places suivantes reçoivent deux chiffres distincts parmi les quatre autres : 4 × 3 = 12.

3. C — Vrai. Le premier chiffre a cinq possibilités, le deuxième quatre parmi ceux restants, le dernier trois ; le produit vaut 60.

4. D — Vrai. On sélectionne trois chiffres parmi cinq, puis on ordonne les trois chiffres distincts : 10 × 6 = 60 codes.

5. E — Faux. La première position peut être zéro dans cet énoncé : en retirer les 12 cas donnerait le nombre d'un autre problème.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Pour chacun des six éléments, deux états sont possibles, présent ou absent. Le produit de six facteurs 2 vaut 64.

2. B — Faux. L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble ; il compte parmi les 64 possibilités du dénombrement.

3. C — Faux. Un ensemble indique seulement la présence ou l'absence de chaque élément ; la répétition n'a pas de sens ici.

4. D — Faux. Il y a six sous-ensembles à un élément, mais aussi des sous-ensembles de toutes les autres tailles, dont l'ensemble vide.

5. E — Vrai. Parmi les 64 sous-ensembles, un seul est vide ; retirer ce cas donne 64 − 1 = 63.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Avec Alice, on choisit deux élèves parmi les sept autres ; sans elle, on en choisit trois parmi ces sept.

2. B — Faux. Le premier coefficient vaut 21, le second 35 ; leur somme vaut 56 et non 42.

3. C — Faux. Alice occupe déjà une des trois places dans l'équipe ; il ne reste que deux partenaires à choisir parmi sept, soit C(7,2).

4. D — Vrai. L'ordre des trois représentants ne compte pas ; le coefficient binomial vaut 8 × 7 × 6/(3 × 2 × 1) = 56.

5. E — Faux. Une équipe ne peut pas à la fois contenir et ne pas contenir Alice ; les deux cas sont disjoints.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. On obtient 1 + 3 + 3 + 1 = 8, exactement comme (1 + 1)³ ; ce cas simple contrôle les coefficients.

2. B — Faux. On a C(3,1) = 3, et aussi C(3,2) = 3 ; le coefficient du terme ab² est donc 3.

3. C — Vrai. Il faut choisir la contribution b dans l'un des trois facteurs (a + b) ; les trois choix conduisent au même monôme a²b.

4. D — Vrai. Les coefficients binomiaux de rang 3 sont 1, 3, 3, 1 ; les puissances complémentaires totalisent toujours 3.

5. E — Faux. Les termes croisés 3a²b et 3ab² ne disparaissent pas en général ; par exemple a = b = 1 donne 8 et non 2.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. Avec répétition autorisée, chacun des quatre rôles aurait dix candidats indépendamment des autres, d'où 10⁴. Ici les quatre élèves doivent être différents.

2. B — Vrai. Chaque permutation des quatre personnes entre quatre fonctions distinctes change au moins une attribution ; il y en a 4! = 24.

3. C — Faux. Ce coefficient compte seulement les groupes sans fonctions ; il manque les 4! distributions des rôles à l'intérieur de chaque groupe.

4. D — Vrai. Il existe dix candidats au premier rôle, puis neuf, huit et sept ; le produit successif vaut 5 040.

5. E — Vrai. On choisit quatre personnes non ordonnées, puis les 24 permutations des fonctions ; 210 × 24 = 5 040.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Ce produit distingue Alice puis Bruno de Bruno puis Alice ; chaque binôme est donc compté deux fois.

2. B — Faux. La factorielle compterait les rangements des neuf élèves, alors qu'on ne choisit que deux partenaires sans ordre.

3. C — Vrai. On forme 9 × 8 couples ordonnés ; chaque binôme apparaît dans deux ordres, donc 72/2 = 36.

4. D — Vrai. Un binôme non ordonné est un ensemble de deux élèves. La permutation n'en crée pas un nouveau.

5. E — Vrai. Un élève fixé peut se joindre à chacun des huit autres une fois, ce qui donne exactement huit binômes le contenant.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Le compte 5! traite à tort les deux L comme distincts. Chaque chaîne est comptée deux fois, et il faut diviser par 2.

2. B — Vrai. Les quatre autres lettres sont A, L, L et E ; sur les 24 permutations formelles, chaque chaîne apparaît deux fois.

3. C — Vrai. Le bloc LL, B, A et E forme alors quatre objets distincts, soit 4! = 24 chaînes où les L sont adjacents.

4. D — Faux. Seules les deux occurrences de L sont indiscernables ; B, A et E restent différentes. Le bon diviseur est 2!.

5. E — Vrai. Les cinq places donnent 120 permutations si les deux L sont distingués ; échanger les L ne change rien, donc 120/2 = 60.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Il faut trois pas D pour la première coordonnée et deux pas H pour la seconde, soit 3 + 2 = 5 pas au total.

2. B — Faux. Elle comporte trois pas H et deux pas D, donc mène à (2,3) ; les nombres requis ont été inversés.

3. C — Vrai. Une fois les positions des deux H fixées, les trois places restantes sont obligatoirement D ; chaque choix désigne un trajet unique.

4. D — Faux. Les trois D sont identiques entre eux, comme les deux H. Il faut diviser 5! par 3! × 2!, ce qui donne 10.

5. E — Vrai. On y compte trois lettres D et deux lettres H ; chaque pas va dans la direction permise et atteint bien (3,2).

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Sans fonction ni ordre, C(5,2) = 5 × 4/2 = 10. Les deux positions d'un duo ne se distinguent pas.

2. B — Faux. Ce coefficient autorise tous les nombres possibles de filles, alors que l'énoncé impose exactement deux filles et trois garçons.

3. C — Faux. Une composition complète exige les deux groupes simultanément ; les 10 possibilités et les 35 possibilités se multiplient.

4. D — Vrai. On choisit 10 paires de filles et 35 trios de garçons ; chaque paire peut s'associer à chaque trio : 10 × 35 = 350.

5. E — Vrai. Le coefficient C(7,3) vaut 7 × 6 × 5/(3 × 2 × 1) = 35 équipes de trois garçons.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Parmi les 32 états, un seul n'a aucun interrupteur allumé : le cas où tous sont éteints. On calcule 32 − 1.

2. B — Vrai. Le choix de l'interrupteur allumé a cinq possibilités, les quatre autres étant alors obligatoirement éteints.

3. C — Faux. Il contient zéro interrupteur allumé, donc ne satisfait pas la condition « au moins un » et doit être retiré.

4. D — Faux. L'expression « au moins » comprend les états avec un, deux, trois, quatre ou cinq interrupteurs allumés.

5. E — Vrai. Chaque interrupteur a deux états possibles et leurs choix sont indépendants ; le produit de cinq facteurs 2 vaut 32.