Probabilités conditionnelles

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Le groupe sachant B contient 72 usagers, dont 24 en retard. On calcule 24/72 = 1/3.

2. B — Faux. Pour la probabilité non conditionnelle R, la population de référence est 120 élèves : P(R) = 32/120 = 4/15.

3. C — Vrai. L’événement commun regroupe 24 élèves sur la population entière de 120 : 24/120 = 1/5. Le dénominateur est 120 pour une probabilité non conditionnelle ; le remplacer par 72 ou 32 changerait l'événement mesuré.

4. D — Vrai. Le groupe sachant R contient 32 élèves, dont 24 en bus. Le rapport est 24/32 = 3/4.

5. E — Faux. Le même numérateur 24 apparaît, mais les dénominateurs sont 32 et 72. Les probabilités valent respectivement 3/4 et 1/3.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Les événements A et non A sont complémentaires : leur somme vaut 1. Ici, P(A) = 0,4 et P(non A) = 0,6.

2. B — Faux. Le sens est inversé. Parmi les réalisations de B, la part de A est P(A ∩ B)/P(B) = 0,28/0,34 = 14/17 ≈ 0,824.

3. C — Vrai. On suit le chemin A puis B : P(A) × P_A(B) = 0,4 × 0,7 = 0,28.

4. D — Vrai. Les deux chemins disjoints qui finissent par B couvrent cet événement : 0,28 + 0,06 = 0,34. Le chemin sous A contribue 0,28 et celui sous non A contribue 0,06 ; les cas sont disjoints.

5. E — Faux. La probabilité de non A vaut 0,6 ; celle de B sur cette branche vaut 0,1. La probabilité de l’intersection est donc 0,6 × 0,1 = 0,06.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Deux événements incompatibles ont une intersection de probabilité 0. Ici P(A ∩ B) = 0,2 > 0.

2. B — Vrai. De même, P_B(A) = 0,2/0,5 = 0,4, égal à P(A). Cette égalité avec P(A) confirme le même diagnostic d'indépendance obtenu en conditionnant dans l'autre sens.

3. C — Faux. Pour éviter de compter l’intersection deux fois : P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.

4. D — Vrai. On compare P(A ∩ B) = 0,2 à P(A)P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2 : ils sont égaux.

5. E — Vrai. Puisque P(A) ≠ 0, P_A(B) = 0,2/0,4 = 0,5, égal à P(B).

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Le conditionnel vaut 0,25, alors que la marge P(B) vaut 0,5. Ils diffèrent.

2. B — Faux. La condition P(A ∩ B) = P(A)P(B) n’est pas satisfaite : 0,1 ≠ 0,2.

3. C — Vrai. On multiplie les marges : 0,4 × 0,5 = 0,2, valeur à comparer avec l’intersection réelle 0,1.

4. D — Vrai. La définition donne P(A ∩ B)/P(A) = 0,1/0,4 = 0,25. Dans cette fraction, seuls les cas appartenant à A forment la population de référence au dénominateur.

5. E — Vrai. Dans l’autre sens, le dénominateur est P(B) = 0,5 ; 0,1/0,5 = 0,2.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Les deux origines forment une partition : 0,006 + 0,035 = 0,041, soit 4,1 % de défauts.

2. B — Vrai. Dans le groupe A, défaut et absence de défaut sont complémentaires : 1 − 0,02 = 0,98.

3. C — Vrai. La probabilité du chemin A puis D est 0,30 × 0,02 = 0,006, soit 0,6 % de toutes les pièces.

4. D — Vrai. La chaîne B fournit 70 % des pièces. Son chemin défectueux vaut 0,70 × 0,05 = 0,035. La pondération 0,70 est celle de la chaîne B ; multiplier seulement par 0,05 oublierait sa fréquence de production.

5. E — Faux. Les 2 % et 5 % sont conditionnels à des chaînes de tailles inégales ; les additionner sans pondérer est incorrect.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. En conditionnant parmi les tests positifs, le dénominateur est 90 + 495 = 585. La proportion de malades dans ce sous-groupe vaut 90/585.

2. B — Faux. Par définition, les 495 personnes non malades testées positives constituent 495 faux positifs.

3. C — Vrai. La sensibilité observée dans le groupe malade est 90/100 = 0,90. La base du pourcentage est le groupe des 100 malades, et non l'ensemble des personnes testées positives.

4. D — Faux. 90 % est la fréquence des positifs parmi les malades. En inversant, on obtient 90/585 ≈ 15,4 %, bien différente.

5. E — Faux. On additionne les 90 résultats positifs des malades et les 495 faux positifs des non-malades. Cela donne 585 tests positifs, pas 595.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Sachant la première verte, la remise garde deux vertes sur cinq ; P_A(B) = 2/5, pas 3/5.

2. B — Vrai. Les deux tirages étant indépendants, le chemin verte puis verte vaut (2/5)(2/5) = 4/25.

3. C — Vrai. La remise est l’hypothèse qui garde le second tirage identique au premier. On retrouve P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 4/25.

4. D — Vrai. La remise restitue les cinq boules avant le second tirage ; chacune des deux marges vaut 2/5.

5. E — Vrai. Les deux branches bleues ont chacune le poids 3/5, donc (3/5)² = 9/25. La remise conserve trois boules bleues sur cinq au second tirage, quel que soit le premier résultat.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Le second tirage est rouge avec probabilité (2/5)(1/4) + (3/5)(2/4) = 1/10 + 3/10 = 2/5.

2. B — Vrai. Si la première est rouge, il reste une rouge parmi quatre boules : la probabilité conditionnelle vaut 1/4.

3. C — Vrai. Avant le premier tirage, deux boules sur cinq sont rouges. Le premier tirage utilise encore la composition complète de l'urne ; les changements d'effectifs n'interviennent qu'au second.

4. D — Faux. P_A(B) = 1/4 diffère de P(B) = 2/5 : connaître le premier tirage change le second.

5. E — Vrai. La probabilité du chemin rouge puis rouge est (2/5)(1/4) = 2/20 = 1/10.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. 1/8 ne compte qu’un seul ordre ; les trois ordres possibles donnent 3/8. Les ordres PPF, PFP et FPP sont distincts et chacun pèse 1/8 sous l'hypothèse d'indépendance.

2. B — Vrai. Chaque chemin de trois branches vaut (1/2)³ = 1/8, et il existe 2³ = 8 suites.

3. C — Faux. L’événement contraire est la seule suite FFF, de probabilité 1/8. La probabilité d’au moins un Pile est donc 1 − 1/8 = 7/8.

4. D — Faux. Une seule suite sur les huit suites équiprobables contient trois Pile : PPP. Sa probabilité est 1/8 ; 3/8 correspond à exactement deux Pile.

5. E — Vrai. Les trois chemins PPF, PFP et FPP sont disjoints et valent chacun 1/8 ; leur somme vaut 3/8.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Les trois origines partitionnent les pièces : 0,2 × 0,1 + 0,3 × 0,2 + 0,5 × 0 = 0,02 + 0,06 = 0,08.

2. B — Faux. La fréquence de défaut sous C vaut 0, donc le chemin C puis défaut vaut 0,5 × 0 = 0.

3. C — Vrai. Parmi les défauts de probabilité 0,08, ceux provenant de A ont probabilité 0,02 ; 0,02/0,08 = 1/4.

4. D — Vrai. Le chemin B puis défaut vaut 0,3 × 0,2 = 0,06. Parmi tous les défauts, la part B vaut 0,06/0,08 = 3/4.

5. E — Vrai. Le chemin A puis défaut a le produit des deux pondérations : 0,2 × 0,1 = 0,02. La probabilité conditionnelle du défaut est attachée à A ; il faut d'abord emprunter cette branche de poids 0,2.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Leur intersection a probabilité 0,2 > 0 : ils peuvent se produire simultanément.

2. B — Vrai. L’indépendance autorise le produit des marges : 0,4 × 0,5 = 0,2. Cette multiplication n'est autorisée que par l'indépendance annoncée ; une simple coexistence des événements ne suffirait pas.

3. C — Vrai. C’est le complémentaire de A ∪ B, donc 1 − 0,7 = 0,3.

4. D — Vrai. La réunion vaut 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7 ; l’intersection ne se compte qu’une fois.

5. E — Faux. Pour des événements indépendants, P_A(B) = P(B) = 0,5, car P(A) > 0.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Le dénominateur P(A) vaut zéro ; la division 0/0 n’a pas de valeur définie par la formule. Une probabilité conditionnelle exige P(A)>0 ; aucune fréquence parmi les issues de A ne peut être évaluée quand A est impossible.

2. B — Vrai. Cette fois P(B) = 0,3 est non nul ; P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B) = 0/0,3 = 0.

3. C — Vrai. Comme A ∩ B est inclus dans A, sa probabilité est comprise entre 0 et P(A) = 0 : elle vaut donc 0.

4. D — Faux. On ne peut attribuer 0 à une probabilité conditionnelle par cette formule quand le conditionnant a probabilité nulle.

5. E — Vrai. L’événement A a une probabilité nulle et ne modifie donc pas la probabilité de B dans la réunion. Plus précisément, P(A ∪ B) = P(A)+P(B)−P(A ∩ B) = 0 + 0,3 − 0 = 0,3.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. À partir du nœud A, les branches B et non B sont complémentaires : 1 − 0,25 = 0,75.

2. B — Faux. Les deux événements disjoints reconstituent A. La somme vaut donc P(A) = 0,6, également 0,15 + 0,45.

3. C — Faux. Pour une intersection le long de la branche A puis B, on multiplie P(A) = 0,6 par P_A(B) = 0,25. Le résultat est 0,15.

4. D — Vrai. L’autre chemin démarrant par A vaut 0,6 × 0,75 = 0,45. La branche complémentaire sous A possède la probabilité 1−0,25=0,75 avant multiplication par P(A)=0,6.

5. E — Faux. On connaît seulement la part B issue de A. Pour obtenir P(B), il manque P(non A ∩ B), inconnue ici.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. La réunion vaut 1/2 + 2/5 − 3/20 = 10/20 + 8/20 − 3/20 = 15/20 = 3/4.

2. B — Vrai. Le conditionnement sachant A utilise P(A) = 1/2 : (3/20)/(1/2) = (3/20) × 2 = 3/10.

3. C — Vrai. Dans l’autre sens, le dénominateur vaut 2/5 : (3/20)/(2/5) = (3/20) × (5/2) = 3/8. Changer l'événement conditionnant de A à B change le dénominateur, même si le numérateur commun reste 3/20.

4. D — Faux. Les résultats 3/10 et 3/8 ne sont pas égaux : le même numérateur est rapporté à deux marges différentes.

5. E — Faux. Le produit des marges vaut (1/2)(2/5) = 1/5 = 4/20, différent de P(A ∩ B) = 3/20.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. Les catégories sont incompatibles et exhaustives ; numériquement 0,49 + 0,42 + 0,09 = 1. Chacun des nombres zéro, un et deux décrit un nombre de succès possible ; aucun autre cas n'existe ici.

2. B — Vrai. Sous l’hypothèse d’indépendance, les probabilités du chemin succès-succès se multiplient : 0,3 × 0,3 = 0,09.

3. C — Faux. L’indépendance fixe la probabilité du second succès à 0,3, quel que soit le résultat de la première épreuve.

4. D — Vrai. Il y a deux ordres : succès-échec et échec-succès. Chacun vaut 0,3 × 0,7 = 0,21 ; la somme vaut 0,42.

5. E — Vrai. La probabilité d’un échec vaut 1 − 0,3 = 0,7 ; deux échecs successifs donnent 0,7² = 0,49.