Géométrie repérée

Réponse attendue : B

1. A — Faux. La substitution dans 2x − y donne 2 × 1 − 1 = 1, différent de zéro ; ce point est hors de D.

2. B — Vrai. La forme 2(x − 1) − (y − 2) = 0 se réduit en 2x − y = 0.

3. C — Faux. Le membre 2 × 0 − 1 vaut −1, donc ce point ne satisfait pas l'équation. La droite cherchée vérifie 2x−y=0 ; le test du point (0 ; 1) donne −1, donc échoue.

4. D — Faux. Cette droite aurait un normal (1 ; 2) et le point A ne vérifierait pas l'équation : 1 + 4 ≠ 0.

5. E — Faux. Un vecteur normal est perpendiculaire aux directions de la droite ; il n'en est pas une direction.

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. En A, 2 × 1 − 3 × (−1) = 5 ; l'équation a bien pour normal (2 ; −3).

2. B — Faux. Toute droite du plan de direction non nulle possède une équation ax + by + c = 0.

3. C — Faux. Le point A donne le membre gauche 5, non zéro ; l'équation manquerait le point imposé.

4. D — Vrai. Le produit scalaire (2 ; −3)·(3 ; 2) vaut 6 − 6 = 0. La perpendicularité des vecteurs (2 ; −3) et (3 ; 2) valide le normal choisi avant de calculer la constante.

5. E — Faux. Le vecteur d est précisément annoncé directeur et il est non nul ; il ne peut être perpendiculaire à lui-même.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Le second membre d'une équation de cercle écrite comme somme de carrés est le carré du rayon.

2. B — Vrai. Le carré de distance à Ω est (x − 2)² + [y − (−1)]² ; il doit égaler 3².

3. C — Vrai. En remplaçant x = 2, y = −1, les deux carrés valent zéro ; le centre n'est donc pas sur le cercle de rayon 3.

4. D — Faux. Cette équation correspondrait au centre (−2 ; 1), opposé au centre imposé. Changer les signes à l'intérieur des carrés déplace le centre ; le rayon 3 reste inchangé.

5. E — Faux. Sa distance à lui-même vaut zéro, tandis que les points de C sont à distance 3 du centre.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Ils satisfont la même droite mais possèdent des coordonnées différentes, (2 ; 3) et (0 ; 5).

2. B — Vrai. Pour R, la somme vaut 0 + 5 = 5 ; le point satisfait l'équation.

3. C — Vrai. La somme des coordonnées de P vaut 2 + 3 = 5, qui est le second membre.

4. D — Faux. La somme des coordonnées de Q vaut 4 + 0 = 4, différente de 5. Pour une appartenance, il ne suffit pas de reconnaître le coefficient directeur ; les coordonnées doivent satisfaire l'équation entière.

5. E — Faux. À l'origine, x + y = 0, qui ne vaut pas 5 ; O n'appartient pas à la droite.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Le vecteur ΩP = (3 ; 0) a pour norme 3, égale au rayon.

2. B — Faux. Sa distance au centre vaut 4 ; il est donc à l'extérieur, pas dans le disque.

3. C — Vrai. La distance ΩR vaut |3 − (−1)| = 4, strictement supérieure au rayon 3.

4. D — Vrai. Le vecteur ΩQ = (0 ; 3) a également pour norme 3. Le point Q est à la même distance du centre que le rayon ; son appartenance ne dépend pas du dessin.

5. E — Faux. Leurs coordonnées diffèrent et ils se trouvent sur deux directions perpendiculaires depuis Ω.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. Diviser tous les termes de 4x − 2y = 7 par 2 non nul ne change pas les points de la droite.

2. B — Faux. Pour être égales, les constantes réduites devraient coïncider ; 1 ≠ 7/2. Après division de D₂ par 2, les coefficients de x et y coïncident mais pas les constantes.

3. C — Vrai. Elles ont la même normale (2 ; −1) mais des constantes différentes, 1 et 7/2.

4. D — Faux. Un point commun devrait satisfaire simultanément 2x − y = 1 et 2x − y = 7/2, contradiction.

5. E — Faux. Les normales (2 ; −1) et (4 ; −2) sont colinéaires, puisque la seconde vaut deux fois la première.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Quatre est la longueur entière du diamètre ; le rayon est la moitié 2. Le centre étant le milieu du segment, il est à deux unités de chacune des deux extrémités.

2. B — Vrai. Le diamètre AB mesure 4 dans ce repère orthonormé, donc le rayon vaut 4/2 = 2.

3. C — Faux. Cette équation a son centre à l'origine, pas au milieu (2 ; 0) du segment donné.

4. D — Vrai. La moyenne des abscisses 0 et 4 vaut 2 ; celle des ordonnées nulles reste zéro.

5. E — Vrai. Le carré de distance au centre (2 ; 0) doit être égal au carré du rayon 2.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Leurs normales ne sont pas colinéaires ; les directions ne sont donc pas parallèles.

2. B — Faux. En isolant y, x + 2y = 0 donne y = −x/2 ; sa pente est négative.

3. C — Vrai. Le produit des normales vaut 1 × 2 + 2 × (−1) = 0 ; leurs directions sont donc elles aussi perpendiculaires.

4. D — Vrai. L'origine satisfait les deux équations ; deux droites perpendiculaires non confondues s'y croisent. Vérifier l'origine dans chaque équation localise leur point commun, et l'orthogonalité des normales garantit l'unicité de cette intersection.

5. E — Faux. Isoler y dans 2x − y = 0 donne y = 2x, de pente positive 2.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. La substitution donne 3 × 3 + 4 × 4 = 9 + 16 = 25.

2. B — Faux. L'origine ne satisfait pas 3x + 4y = 25 ; une tangente au cercle de centre O ne passe pas par son centre.

3. C — Vrai. Pour un cercle, la tangente au point P est orthogonale au rayon qui arrive en P. Le rayon OP fournit précisément un vecteur normal de la tangente ; il faut encore imposer le passage par P.

4. D — Faux. Cette droite passe par P, mais sa normale (1 ; 1) n'est pas colinéaire au rayon (3 ; 4).

5. E — Vrai. Le normal (3 ; 4) donne 3(x − 3) + 4(y − 4) = 0, soit 3x + 4y = 25.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Pour A, le membre x + y vaut 5 et non 1 ; le point est hors de la droite.

2. B — Vrai. De A on retranche (2 ; 2) ; H vérifie 0 + 1 = 1 et AH est normal à D.

3. C — Vrai. Son produit avec le normal (1 ; 1) vaut 1 − 1 = 0 ; il est donc parallèle à la droite.

4. D — Vrai. Le vecteur AH = (−2 ; −2) a pour norme √(4 + 4) = 2√2. La distance cherche la longueur du segment perpendiculaire AH, et non celle d'un trajet oblique quelconque.

5. E — Vrai. Les coefficients de x et y dans l'équation x + y − 1 = 0 donnent ce vecteur normal.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. Le système a la solution vérifiée (3 ; 1) ; les deux normales ne sont pas proportionnelles.

2. B — Vrai. On vérifie 3 + 1 = 4 et 3 − 1 = 2, donc les deux droites le contiennent.

3. C — Faux. Ce point satisfait la première équation, mais donne 1 − 3 = −2 au lieu de 2 pour la seconde.

4. D — Faux. Le point (4 ; 0) satisfait D₁ mais pas D₂, donc les ensembles de points diffèrent. Une seule solution commune existe ici ; deux droites confondues auraient au contraire une infinité de points communs.

5. E — Vrai. Additionner donne 2x = 6, donc x = 3 ; alors 3 + y = 4 donne y = 1.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Les deux solutions distinctes y = 4 et y = −4 fournissent deux points du cercle sur la verticale.

2. B — Faux. Une tangente aurait un seul point commun ; ici la verticale coupe le cercle en deux points.

3. C — Faux. L'équation y² = 16 possède aussi la solution négative y = −4. La racine carrée de 16 possède deux signes ; négliger le signe moins supprimerait une intersection valide.

4. D — Vrai. La substitution donne 9 + y² = 25, puis y² = 16 et les deux signes y = ±4.

5. E — Vrai. Pour chacun, x² + y² = 9 + 16 = 25, donc la distance positive à O vaut 5.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. Le vecteur AH = (0 ; −4) a pour norme 4, égale à la valeur absolue de l'ordonnée de A.

2. B — Faux. Son ordonnée vaut 4 au lieu de zéro ; il est situé au-dessus de l'axe. L'appartenance à l'axe des abscisses exige une ordonnée exactement nulle, quelle que soit l'abscisse.

3. C — Faux. Cinq est la distance de A à l'origine par Pythagore ; le point le plus proche sur l'axe est H(3 ; 0).

4. D — Faux. Ce point appartient à l'axe vertical, pas à l'axe horizontal sur lequel la projection est demandée.

5. E — Vrai. Le pied est sur l'axe y = 0 et la verticale issue de A conserve x = 3.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. L'équation x² = 9 fournit deux points, situés aux extrémités du diamètre horizontal. La droite horizontale traverse le centre du cercle de rayon 3, donc elle rencontre le cercle deux fois.

2. B — Vrai. Sa distance au centre vaut 4 > 3, et la substitution donne x² = 9 − 16 < 0.

3. C — Vrai. Sa distance au centre vaut 3, le rayon ; substituer y = 3 donne x² = 0, donc un seul point.

4. D — Faux. Une tangente doit être à distance égale au rayon 3 ; y = 4 est trop éloignée du centre.

5. E — Vrai. La substitution donne x² = 9, qui possède les deux solutions distinctes x = ±3.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Deux est l'écart vertical entre A et (1 ; 1), mais la plus courte distance perpendiculaire vaut √2.

2. B — Faux. Ce point est sur D, mais AH = (0 ; −2) n'est pas orthogonal à la direction (1 ; 1).

3. C — Faux. Ses coordonnées 1 et 3 ne sont pas égales ; il est hors de la droite y = x.

4. D — Vrai. La norme de AH = (1 ; −1) est √(1² + (−1)²) = √2. La longueur se calcule après avoir trouvé le pied H ; elle n'est pas l'abscisse ou l'ordonnée seule.

5. E — Vrai. Le point (2 ; 2) vérifie y = x et AH = (1 ; −1), orthogonal à (1 ; 1).