Calcul vectoriel et produit scalaire

Réponse attendue : B

1. A — Faux. Les côtés issus de A mesurent AB = 3 et AC = 4 dans le repère orthonormé ; leurs longueurs diffèrent.

2. B — Vrai. On soustrait A aux coordonnées de B et C : (4 − 1 ; 1 − 1) et (1 − 1 ; 5 − 1).

3. C — Faux. Les vecteurs orthogonaux calculés partent de A ; c'est donc l'angle en A qui vaut 90°.

4. D — Faux. Ils sont non nuls et perpendiculaires ; leurs directions horizontale et verticale diffèrent. Un vecteur horizontal (3 ; 0) ne peut être colinéaire à un vecteur vertical (0 ; 4) non nul.

5. E — Faux. Ce résultat multiplierait des coordonnées différentes ; on additionne les produits correspondants, qui sont tous deux nuls.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. Le critère d'orthogonalité demanderait un produit scalaire nul ; ici il vaut 10. La valeur 10 exclut l'angle droit, car deux vecteurs non nuls perpendiculaires auraient un produit nul.

2. B — Faux. Le second produit vaut +12 et non −12 ; la somme correcte est −2 + 12.

3. C — Vrai. Les vecteurs sont non nuls et leur produit scalaire est positif ; leur cosinus angulaire l'est aussi.

4. D — Vrai. Le calcul donne 2 × (−1) + 3 × 4 = −2 + 12 = 10.

5. E — Faux. Il peut être positif, nul ou négatif selon l'angle ; sa valeur positive ici n'est pas une règle générale.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Deux vecteurs non nuls peuvent être orthogonaux ; ce cas concret en fournit un exemple.

2. B — Vrai. On calcule √(1² + 2²) = √5, valeur strictement positive. La longueur utilise les carrés des deux coordonnées ; les additionner sans les élever au carré donnerait 3.

3. C — Vrai. Les deux vecteurs sont non nuls et leur produit scalaire nul caractérise un angle droit.

4. D — Faux. Les deux directions sont perpendiculaires et non nulles ; elles ne peuvent être colinéaires.

5. E — Vrai. Le calcul donne 1 × 2 + 2 × (−1) = 2 − 2 = 0.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Le produit d'un vecteur par lui-même additionne les carrés des composantes, il ne multiplie pas les composantes entre elles.

2. B — Faux. Une norme est toujours positive ou nulle ; la racine de 25 retenue est +5.

3. C — Faux. Additionner 3 et 4 ne donne pas la norme euclidienne ; elle vaut √(3² + 4²).

4. D — Vrai. On calcule 3² + 4² = 9 + 16 = 25, carré de la norme de u.

5. E — Vrai. La norme est la racine positive de 25, donc 5, comme le triplet pythagoricien 3-4-5. On calcule d'abord u·u=3²+4²=25 ; une norme est une longueur positive, donc sa racine vaut 5.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Le calcul coordonné donne respectivement 1 × 0 + 0 × 1 = 0 et 1 × 1 + 0 × 1 = 1.

2. B — Faux. Additionner les ordonnées 1 et 1 donne 2 ; le vecteur somme est (1 ; 2).

3. C — Vrai. Les deux méthodes donnent la même valeur numérique, illustrant la bilinéarité du produit scalaire. La vérification numérique contrôle l'identité pour ces vecteurs, tandis que la bilinéarité l'établit en général.

4. D — Faux. Il faut additionner les deux produits scalaires, pas les multiplier ; le produit proposé vaudrait zéro.

5. E — Vrai. La somme v + w vaut (1 ; 2), dont le produit avec u = (1 ; 0) vaut 1.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Chaque produit force × déplacement porte N·m ; cette unité dérivée se nomme joule.

2. B — Vrai. Le produit vaut (3 N)(2 m) + (4 N)(−1 m) = (6 − 4) N·m = 2 J.

3. C — Vrai. Leurs produits correspondants sont (3 N)(2 m) = 6 J et (4 N)(−1 m) = −4 J.

4. D — Faux. Un produit force par longueur porte N·m et non N divisé par m. Le déplacement est une longueur en mètres ; sa multiplication par une force en newtons donne des joules.

5. E — Vrai. Un produit scalaire de deux vecteurs formant un angle obtus est négatif ; le signe positif trouvé ici n'est pas universel.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. La norme de (1 ; 1) vaut √(1² + 1²) = √2, non 2.

2. B — Faux. La valeur √2 est la norme de v ; le produit u·v vaut 1 × 1 + 0 × 1 = 1.

3. C — Vrai. Le produit scalaire vaut 1 et les normes valent 1 et √2 ; leur quotient donne 1/√2.

4. D — Faux. Un angle droit aurait un produit scalaire nul ; ici u·v = 1. Le produit positif donne un cosinus positif après division par les normes, donc l'angle est aigu.

5. E — Vrai. L'angle non orienté est dans [0 ; π] et son cosinus positif 1/√2 correspond à 45°.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. La norme vaut √[(-1)² + (√3)²] = √(1 + 3) = 2. Cette longueur sert ensuite au dénominateur de cos θ=(u·v)/(||u|| ||v||) ; omettre la racine fausserait l'angle.

2. B — Vrai. Le quotient −1/(1 × 2) vaut −1/2 ; l'angle dans [0 ; π] de cosinus −1/2 est 2π/3.

3. C — Faux. Le produit scalaire vaut −1, non zéro ; l'angle est obtus, pas droit.

4. D — Faux. Cet angle possède un cosinus positif +1/2, incompatible avec le produit scalaire négatif. Le quotient des produits donne cos θ=−1/2, alors que π/3 aurait le cosinus opposé +1/2.

5. E — Vrai. Le calcul donne 1 × (−1) + 0 × √3 = −1. Le signe négatif vient seulement des abscisses ; l'autre produit est nul parce que la seconde coordonnée de u vaut zéro.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Elle utilise justement le cosinus de cet angle pour relier les trois longueurs. Le terme −2ab cos C corrige la somme des deux carrés selon l'angle compris C.

2. B — Vrai. La formule donne (5 cm)² + (7 cm)² − 2 × 5 cm × 7 cm × 1/2 = (25 + 49 − 35) cm².

3. C — Faux. Cette somme 25 + 49 oublierait le terme angulaire −2ab cos 60° = −35 cm².

4. D — Vrai. Une longueur est positive ; on prend la racine positive du carré c² = 39 cm².

5. E — Faux. Le nombre 39 est la valeur numérique du carré en cm² ; la longueur vaut √39 cm.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. La diagonale AC mesure √(4² + 3²) = √25 = 5 unités de longueur.

2. B — Faux. Un angle droit exigerait AB·AC = 0 ; ici le produit est strictement positif.

3. C — Faux. Ce calcul croise l'abscisse de AB avec l'ordonnée de AC ; les coordonnées correspondantes doivent être multipliées.

4. D — Vrai. Les vecteurs AB = (4 ; 0) et AC = (4 ; 3) donnent 4 × 4 + 0 × 3 = 16.

5. E — Vrai. La formule donne AB·AC/(AB × AC) = 16/(4 × 5) = 4/5. La projection de AC sur AB vaut 4, alors que la longueur de AC vaut 5 ; leur quotient est 4/5.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. La composante verticale de u vaut 4 et ne disparaît que lors de la projection.

2. B — Vrai. La projection conserve l'abscisse 3 et annule la composante verticale 4. Une projection sur l'horizontale élimine le déplacement vertical sans changer le signe ni la valeur de l'abscisse.

3. C — Vrai. Le calcul coordonné donne 3 × 1 + 4 × 0 = 3, composante de u selon l'axe horizontal.

4. D — Faux. Le nombre 4 est la composante verticale ; le vecteur e₁ sélectionne l'horizontale, donc 3.

5. E — Faux. Le vecteur e₁ = (1 ; 0) est unitaire : sa norme vaut √(1² + 0²) = 1.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Les vecteurs MA = (−1 ; −√3) et MB = (3 ; −√3) donnent −3 + 3 = 0.

2. B — Faux. La longueur AB vaut 4, qui est le diamètre ; le rayon est sa moitié 2.

3. C — Vrai. La distance au milieu vaut √[(1 − 2)² + (√3)²] = √4 = 2.

4. D — Vrai. Les côtés MA et MB sont orthogonaux parce que leur produit scalaire vaut zéro. Le produit scalaire nul montre que l'angle AMB est droit ; AB joue alors le rôle d'hypoténuse.

5. E — Faux. Sa distance au centre vaut exactement le rayon 2, donc il est sur le cercle.

Réponse attendue : A, B

1. A — Vrai. On calcule 1 × 3 + 2 × (−1) = 3 − 2 = 1.

2. B — Vrai. La somme vaut (4 ; 1), dont la norme au carré est 4² + 1² = 17.

3. C — Faux. Cette égalité demanderait u·v = 0 ; ici le terme croisé ajoute 2 et donne 17.

4. D — Faux. Le produit scalaire vaut 1, non zéro ; les deux directions ne sont pas perpendiculaires.

5. E — Faux. Le nombre 17 est la norme au carré ; la norme elle-même vaut √17. Prendre la racine carrée est obligatoire pour passer d'une grandeur de longueur au carré à la longueur elle-même.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. L'orthogonalité donnée entre les deux côtés issus de A impose leur produit scalaire nul. Le produit nul résulte de l'angle droit annoncé, quelle que soit l'unité commune choisie pour les côtés.

2. B — Vrai. Le théorème de Pythagore donne (3 cm)² + (4 cm)² = (9 + 16) cm².

3. C — Faux. Pour le côté opposé à l'angle droit, il faut additionner les deux carrés, pas les soustraire.

4. D — Vrai. Comme l'angle en A est droit, BC² = AB² + AC² = 9 cm² + 16 cm² = 25 cm².

5. E — Faux. La somme 3 + 4 dépasse l'hypoténuse ; sa longueur se calcule par la racine de 3² + 4².

Réponse attendue : A, D

1. A — Vrai. Les vecteurs MA = (−2 − x ; −y) et MB = (2 − x ; −y) ont ce produit après développement.

2. B — Faux. Le milieu O n'appartient pas au lieu : en O, MA·MB = (−2 ; 0)·(2 ; 0) = −4. Le lieu est le cercle de centre O et de rayon 2.

3. C — Faux. Ces deux extrémités conviennent, mais le cercle de diamètre [AB] contient une infinité d'autres points.

4. D — Vrai. L'équation MA·MB = 0 devient x² + y² = 4, équation du cercle de centre (0 ; 0) et rayon 2.

5. E — Faux. Sur cette droite, le produit vaut y² − 4 et n'est nul qu'en deux points. En développant le produit, on obtient une équation dépendant de x et y ; tester toute une droite exige tous ses points.