Suites numériques

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Deux termes consécutifs diffèrent toujours de la raison 2 : u₄ − u₃ = 2. Le nombre 4 est ici l'indice du terme u₄ ; il ne modifie pas la raison de la suite.

2. B — Faux. Les cinq valeurs sont 3, 5, 7, 9 et 11. Leur somme est 35 ; la moyenne 7 multipliée par cinq donne le même résultat.

3. C — Faux. Quatre passages de u₀ à u₄ ajoutent chacun 2 à la valeur initiale 3. On obtient u₄ = 3 + 4 × 2 = 11.

4. D — Vrai. Il s’agit d’une suite arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de raison 2 ; le rang n est à n pas du rang zéro.

5. E — Vrai. On part du rang 0 : u₁ = u₀ + 2 = 3 + 2 = 5.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Le terme de départ est v₁ ; pour atteindre vₙ il faut n − 1 étapes de rapport 3.

2. B — Faux. La suite donnée n’est définie que pour n ≥ 1 ; aucune valeur v₀ n’est donnée. Un prolongement éventuel serait 4/3, pas 4.

3. C — Vrai. Les trois termes sont 4, 12 et 36 ; 4 + 12 + 36 = 52.

4. D — Vrai. Du rang 1 au rang 4 il y a trois multiplications par 3 : v₄ = 4 × 3³ = 108.

5. E — Vrai. On applique une fois la relation : v₂ = 3v₁ = 3 × 4 = 12. Comme le premier terme est v₁, un seul passage mène au rang 2, sans exposant supplémentaire.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Deux années donnent 200 € × 1,05² = 200 € × 1,1025 = 220,50 €.

2. B — Vrai. Ajouter 5 % d’un montant multiplie ce montant par 1 + 0,05 = 1,05.

3. C — Vrai. Chaque année multiplie par 1,05 ; après n années, ce facteur apparaît n fois depuis C₀.

4. D — Faux. La première hausse est 10 €, puis la seconde est 5 % de 210 € = 10,50 € : l’augmentation absolue n’est pas constante.

5. E — Vrai. Le rapport Cₙ₊₁/Cₙ vaut toujours 1,05, les montants étant positifs. Une hausse de 5 % multiplie chaque capital par 1,05 ; la répétition de ce même facteur définit la raison.

Réponse attendue : B

1. A — Faux. Chaque nouveau terme retranche 3 au précédent : uₙ₊₁ − uₙ = −3 < 0. La suite est donc strictement décroissante.

2. B — Vrai. Chaque passage retire 3 : au rang n, n retraits ont été appliqués au terme initial 20. Vérifier au rang 1 donne u₁=17, ce qui confirme l'écriture 20−3n plutôt qu'une addition.

3. C — Faux. La raison est −3, donc u₅ = 20 − 3 × 5 = 5. La valeur 8 correspond au terme précédent u₄.

4. D — Faux. Au rang 6, la formule donne u₆ = 20 − 3 × 6 = 2. Le premier terme négatif vient seulement au rang 7, avec u₇ = −1.

5. E — Faux. u₆ = 2 reste positif ; u₇ = 20 − 21 = −1 est le premier terme négatif.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. À partir de w₂ = 64, le terme suivant vaut 64 × 0,8 = 51,2.

2. B — Faux. Tous les produits 100 × 0,8ⁿ sont strictement positifs pour n fini, même si les termes se rapprochent intuitivement de 0.

3. C — Vrai. Deux multiplications par 0,8 donnent 100 × 0,8² = 64. Le premier passage conduit à 80, puis le second applique encore 80 % à cette nouvelle valeur.

4. D — Vrai. Multiplier par 0,8 revient à conserver 80 % de la valeur précédente et à perdre 20 %.

5. E — Faux. Le calcul donne w₃ = 51,2, encore supérieur à 50 ; le premier terme sous 50 est w₄ = 40,96.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Les différences successives valent 4, 12 et 36 ; elles ne sont pas constantes.

2. B — Vrai. On multiplie encore le quatrième terme présenté 54 par 3 : u₄ = 162.

3. C — Vrai. On vérifie 6/2 = 3, 18/6 = 3 et 54/18 = 3. Les trois quotients égaux montrent une multiplication constante ; les différences, elles, ne restent pas constantes.

4. D — Vrai. Elle donne u₀ = 2, u₁ = 6, u₂ = 18 et u₃ = 54 : la raison est 3.

5. E — Faux. Le premier terme 2 a rang 0 ; 6, 18, 54 ont rangs 1, 2, 3. Le rang 4 serait le suivant.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. On compte les entiers de 1 à 10 inclus : 10 − 1 + 1 = 10. La formule dernier rang moins premier rang plus un évite de confondre dix entiers et neuf écarts.

2. B — Faux. Cette expression donne 50 et oublie que la moyenne des extrêmes 1 et 10 vaut (1 + 10)/2 = 5,5.

3. C — Faux. La somme des dix termes vaut 55. Diviser par dix donne la moyenne 5,5 ; 10 est la dernière valeur de la liste.

4. D — Faux. La formule de somme des entiers de 1 à n donne n(n + 1)/2. Pour n = 10, il faut 10 × 11/2 = 55 ; 10 × 9/2 ne vaut que 45.

5. E — Vrai. En appariant 1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, etc., on forme cinq paires à 11 : S = 5 × 11 = 55.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. Les puissances de 2 présentes sont 2⁰, 2¹, 2², 2³ et 2⁴ : il y a cinq termes.

2. B — Vrai. On additionne explicitement 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Le terme suivant serait 32, mais il n'appartient pas à la somme explicitement arrêtée à 16.

3. C — Faux. Il faut additionner aussi les quatre termes précédents, qui totalisent 15 ; on obtient 31.

4. D — Vrai. On double le dernier terme 16 pour obtenir le terme de rang suivant 32, mais celui-ci n’est pas dans S.

5. E — Vrai. Pour cinq termes de raison 2 à partir de 1, la formule est (1 − 2⁵)/(1 − 2) = 2⁵ − 1 = 31.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Les différences valent a₁ − a₀ = 1 puis a₂ − a₁ = 3 ; elles ne sont pas constantes.

2. B — Faux. n = 2 donne a₃ en fonction de a₂. Pour obtenir a₂, on prend n = 1 et on utilise a₁.

3. C — Vrai. Avec a₂ = 5, on calcule a₃ = 5² + 1 = 26. Le carré porte sur le terme entier a₂=5 ; la règle ne se réduit pas à doubler son rang.

4. D — Vrai. On remplace a₀ par 1 dans la relation : a₁ = 1² + 1 = 2.

5. E — Vrai. On utilise le terme précédent a₁ = 2, donc a₂ = 2² + 1 = 5.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Il faut cinq passages successifs 3→4→5→6→7→8 pour atteindre le rang 8 ; l’expression concerne les sauts. Cinq sauts entre indices donnent pourtant six termes lorsqu'on inclut à la fois u₃ et u₈.

2. B — Vrai. Entre les rangs 3 et 8, il y a cinq sauts de raison 2 ; l’écart est (8 − 3) × 2 = 10.

3. C — Vrai. Les termes arithmétiques sont symétriques deux à deux ; la moyenne des extrêmes vaut (u₃ + u₈)/2, multipliée par six termes.

4. D — Vrai. Les rangs de 3 à 8 inclus sont 3, 4, 5, 6, 7, 8 : 8 − 3 + 1 = 6 termes.

5. E — Faux. Il y a cinq intervalles entre les rangs 3 et 8, mais six termes inclus ; le facteur doit être 6.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Au rang 4, u₄ = 5 + 7 × 4 = 33, encore inférieur au seuil 40.

2. B — Vrai. Résoudre 5 + 7n ≥ 40 donne n ≥ 5 ; le plus petit rang entier admissible est donc 5.

3. C — Vrai. Au rang 5, u₅ = 5 + 7 × 5 = 40 : l’égalité autorise l’arrêt.

4. D — Faux. La condition d’arrêt est uₙ ≥ 40 ; u₄ = 33 ne la satisfait pas. Il faut encore effectuer le passage du rang 4 au rang 5 avant de tester à nouveau le seuil.

5. E — Vrai. La suite est arithmétique de raison 7 à partir du rang zéro : après n pas, uₙ = 5 + 7n.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. La relation de récurrence ajoute 3 à chaque rang : bₙ₊₁ − bₙ = 3 > 0. Les termes augmentent strictement.

2. B — Vrai. La relation de récurrence donne directement bₙ₊₁ = bₙ + 3 ; en retranchant bₙ, la différence vaut 3.

3. C — Faux. À partir de b₀ = 4, dix augmentations de 3 donnent b₁₀ = 4 + 10 × 3 = 34. Le nombre 40 correspondrait à douze augmentations.

4. D — Faux. Dix augmentations apportent 30, auxquelles s’ajoute le terme initial 4 : le total est 34. La formule bₙ=b₀+3n sépare clairement les 30 gagnés de la valeur de départ 4.

5. E — Vrai. Partant de b₀ = 4, on effectue n augmentations de 3 pour atteindre le rang n.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Depuis P₀, il y a n étapes et chacune ajoute deux points : Pₙ = 3 + 2n.

2. B — Vrai. On applique P₄ = 3 + 2 × 4 = 11 points.

3. C — Vrai. Le passage d’un motif au suivant ajoute deux points au total précédent.

4. D — Vrai. L’énoncé définit explicitement le motif initial du rang 0 avec trois points. La convention du rang initial commande ensuite tous les motifs ; elle ne doit pas être décalée d'une unité.

5. E — Faux. Le rang numérote le motif ; il ne donne pas directement le nombre de points. Au rang 4, le modèle donne 11 points.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. On multiplie successivement par 1/2 : 16 → 8 → 4 → 2.

2. B — Faux. Le rapport d’un terme au précédent vaut 8/16 = 1/2 ; la valeur 2 est l’inverse de cette raison.

3. C — Vrai. Le terme suivant vaut v₃ × 1/2 = 2 × 1/2 = 1 ; la somme s’arrête explicitement à v₃.

4. D — Faux. La liste inclut les rangs 0, 1, 2 et 3, soit 3 − 0 + 1 = quatre termes.

5. E — Vrai. On additionne 16 + 8 + 4 + 2 = 30. Le premier terme vaut 16 et le quatrième vaut 2 ; la somme n'inclut ni 1 ni un cinquième terme.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Les premières différences sont 3 puis 1,5 puis 0,75 ; elles ne sont pas constantes.

2. B — Vrai. À partir de t₁ = 3, t₂ = 3/2 + 3 = 4,5.

3. C — Vrai. En remplaçant t₀ = 0, t₁ = 0/2 + 3 = 3. Ce premier calcul sert de point de départ au suivant : on réinjecte t₁ dans la récurrence pour trouver t₂.

4. D — Vrai. Si une valeur L reste inchangée par la récurrence, elle vérifie L = L/2 + 3, donc L = 6. Les premiers termes 0, 3, 4,5, 5,25 s’en rapprochent ; il s’agit ici d’une conjecture, pas d’une preuve générale.

5. E — Vrai. On substitue t₂ = 4,5 : t₃ = 4,5/2 + 3 = 2,25 + 3 = 5,25.