Second degré

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. Le produit des termes dominants x × x vaut +x². En développant : f(x) = x² + x − 6.

2. B — Vrai. On remplace x par 0 dans les deux facteurs : f(0) = (−2) × 3 = −6.

3. C — Vrai. Entre les deux racines, x + 3 est positif tandis que x − 2 est négatif ; à l’extérieur les facteurs ont le même signe.

4. D — Vrai. Un produit est nul lorsqu’un facteur est nul : x − 2 = 0 donne 2, et x + 3 = 0 donne −3.

5. E — Faux. Au-delà de 2, x − 2 > 0 et x + 3 > 0 ; leur produit est positif.

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Le coefficient du carré est 2 > 0 : le sommet est un minimum et la parabole s’ouvre vers le haut.

2. B — Faux. Dans 2(x − 1)² − 8, le carré s’annule pour x = 1 et non pour x = −1. Le sommet est (1 ; −8).

3. C — Faux. En x = 0, g(0) = 2(0 − 1)² − 8 = 2 − 8 = −6. Le minimum −8 est atteint en x = 1, pas en x = 0.

4. D — Vrai. 2(x − 1)² − 8 = 0 entraîne (x − 1)² = 4, puis x − 1 = ±2 : x = −1 ou x = 3.

5. E — Vrai. Le carré est toujours positif ou nul ; 2(x − 1)² ≥ 0, donc g(x) ≥ −8, avec égalité pour x = 1.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. À x = −2, le carré est nul : h(−2) = 12, précisément la valeur maximale.

2. B — Vrai. Comme −3(x + 2)² ≤ 0 pour tout x, h(x) ≤ 12 ; l’égalité se produit lorsque x = −2.

3. C — Vrai. La parabole s’ouvre vers le bas et coupe l’axe aux deux racines −4 et 0 ; elle est sur ou au-dessus de l’axe entre ces bornes.

4. D — Faux. x + 2 = 0 lorsque x = −2 ; c’est à cette abscisse que le carré est nul.

5. E — Vrai. L’équation −3(x + 2)² + 12 = 0 conduit à (x + 2)² = 4, puis x + 2 = ±2, donc −4 et 0.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Ce produit s’annule en 1 et −5 et se développe en x² + 4x − 5. La factorisation correcte est (x − 1)(x − 5).

2. B — Vrai. (x − 3)² = x² − 6x + 9. Il faut retrancher 4 pour retrouver le terme constant 5.

3. C — Faux. Le carré s’annule en 3 : p(3) = 0 − 4 = −4, et non +4.

4. D — Vrai. La forme canonique (x − 3)² − 4 montre que le minimum est atteint pour x = 3.

5. E — Vrai. (x − 3)² − 4 = 0 équivaut à (x − 3)² = 4 ; donc x − 3 = ±2, soit x = 1 ou x = 5.

Réponse attendue : C

1. A — Faux. Le terme en x et celui en x² s’annulent à x = 0. Il reste le terme constant 5, donc r(0) = 5 et non 3.

2. B — Faux. Le discriminant de 2x² + 3x + 5 vaut −31 et son coefficient dominant est positif. Sans racine réelle, le trinôme garde donc un signe strictement positif.

3. C — Vrai. Avec a = 2, b = 3, c = 5, Δ = b² − 4ac = 3² − 4 × 2 × 5 = 9 − 40 = −31.

4. D — Faux. Le discriminant est négatif ; l’équation du carré associé ne peut être égalée à un nombre négatif dans ℝ.

5. E — Faux. La mise en carré donne r(x) = 2(x + 3/4)² + 31/8 ; le minimum est +31/8, cohérent avec la positivité.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0 : les deux racines se confondent.

2. B — Vrai. (x − 2)² = 0 signifie que sa base x − 2 vaut 0. Il y a une seule solution réelle distincte, x = 2.

3. C — Faux. Le carré reste non négatif de part et d’autre de 2 ; la parabole touche l’axe au sommet et ne change pas de signe.

4. D — Vrai. L’identité (x − 2)² = x² − 4x + 4 redonne les trois termes de s.

5. E — Faux. Un carré est positif ou nul mais s(2) = 0 ; on ne peut écrire une inégalité stricte sur tout ℝ.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. La forme factorisée s’annule pour x + 1 = 0 ou x − 5 = 0 : x = −1 ou x = 5.

2. B — Vrai. Au sommet d’abscisse 2, u(2) = −4 + 8 + 5 = 9. Le coefficient a = −1 < 0 en fait un maximum.

3. C — Faux. La moyenne des racines −1 et 5 vaut 2 ; on obtient aussi −b/(2a) = −4/(−2) = 2.

4. D — Vrai. (x + 1)(x − 5) = x² − 4x − 5 ; son opposé est bien −x² + 4x + 5.

5. E — Vrai. Entre les racines, (x + 1) > 0 et (x − 5) < 0, donc leur produit est négatif ; le signe − extérieur le rend positif.

Réponse attendue : C, E

1. A — Faux. Le deuxième côté vaut alors 10 − 3 = 7 cm. L’aire est 3 × 7 = 21 cm² ; 25 cm² est le maximum atteint pour x = 5.

2. B — Faux. À x = 10 cm, l’autre côté serait nul et le domaine 0 < x < 10 l’exclut. Le sommet est x = 5 cm.

3. C — Vrai. En développant 25 − (x² − 10x + 25), on retrouve −x² + 10x = x(10 − x) : les deux formes sont identiques.

4. D — Faux. Sur 0 < x < 10, les deux côtés x et 10 − x sont positifs : leur produit, l’aire, est positif.

5. E — Vrai. Le carré (x − 5)² est non négatif, donc A(x) ≤ 25 cm², avec égalité pour x = 5 cm, dans le domaine permis.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. L’abscisse du sommet est −b/(2a) = −20/(2 × (−5)) = 2 s, qui appartient à la durée de vol.

2. B — Faux. Le calcul direct donne h(4 s) = −5 × 16 + 20 × 4 + 1 = 1 m, encore au-dessus du sol.

3. C — Faux. L’abscisse 2 a pour unité la seconde ; la hauteur maximale est l’ordonnée correspondante, 21 m. Il faut distinguer t et h(t).

4. D — Vrai. On évalue la fonction au temps initial : h(0 s) = −5 × 0² + 20 × 0 + 1 = 1 m.

5. E — Vrai. On remplace t par 2 s : h(2 s) = −5 × 4 + 20 × 2 + 1 = −20 + 40 + 1 = 21 m.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Le coefficient 3 est positif. Entre les racines, x > 0 mais x − 4 < 0 ; le produit est négatif.

2. B — Faux. Diviser par x suppose x ≠ 0 et ferait disparaître la solution x = 0. On applique la règle du produit nul aux deux facteurs.

3. C — Vrai. En remplaçant x par 0, les deux termes de 3x² − 12x s’annulent.

4. D — Vrai. Dans 3x(x − 4), le second facteur vaut zéro pour x = 4.

5. E — Vrai. On extrait 3x de chaque terme : 3x² − 12x = 3x(x − 4).

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Avec a = 1 : (x + 2)(x − 4) = x² − 4x + 2x − 8 = x² − 2x − 8.

2. B — Vrai. On utilise f(0) = a × 2 × (−4) = −8a. Comme f(0) = −8, il vient a = 1.

3. C — Vrai. Deux racines distinctes −2 et 4 imposent les facteurs x + 2 et x − 4 ; a fixe l’échelle verticale.

4. D — Vrai. Au sommet x = 1 : f(1) = (1 + 2)(1 − 4) = 3 × (−3) = −9 ; le coefficient dominant est positif.

5. E — Faux. L’axe est à mi-chemin des racines : (−2 + 4)/2 = 1, et non 3.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Pour x > 4, les deux facteurs sont strictement positifs ; leur produit est positif.

2. B — Faux. À x = −1, le premier facteur est nul, donc v(−1) = 0 ; 0 n’est pas strictement négatif.

3. C — Vrai. Entre −1 et 4, x + 1 > 0 et x − 4 < 0 : le produit est négatif ; les bornes sont exclues car l’inégalité est stricte.

4. D — Vrai. Pour vérifier directement ce nombre, on le remplace dans chacun des facteurs : v(0) = (0 + 1)(0 − 4) = 1 × (−4) = −4. Cette valeur est strictement négative, donc 0 vérifie l’inéquation.

5. E — Vrai. Les facteurs s’annulent respectivement pour x = −1 et x = 4 ; ce sont les seules racines.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Chaque facteur s’annule respectivement en x = 3 et x = −1 ; on lit directement les abscisses des intersections avec l’axe.

2. B — Vrai. Pour x = 0, les termes en x disparaissent et il reste le terme constant −3.

3. C — Faux. Le coefficient de x² est positif ; la parabole remonte après le sommet, donc w croît pour x > 1.

4. D — Faux. 1 est l’abscisse du sommet. La valeur minimale de la fonction est l’ordonnée −4.

5. E — Vrai. Le carré (x − 1)² s’annule pour x = 1 ; l’image correspondante est −4.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. Même pour m = 0 elles valent −3 et 3. Leur écart est toujours 6, et le discriminant 36 reste positif.

2. B — Vrai. On reconnaît x² − 2mx + m² = (x − m)² ; le terme −9 reste extérieur au carré.

3. C — Faux. L’égalité (x − m)² − 9 = 0 donne (x − m)² = 9. Les deux racines sont à distance 3 de m, soit m − 3 et m + 3.

4. D — Vrai. Le coefficient devant le carré vaut +1. Pour x = m, le carré est nul et f_m(m) = −9.

5. E — Faux. Avec a = 1, b = −2m et c = m² − 9, Δ = (−2m)² − 4(m² − 9) = 36, indépendant de m.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Le carré soustrait est au moins nul ; G(n) ≤ 16, et n = 6 appartient bien aux entiers autorisés.

2. B — Faux. 16 est la valeur du gain, pas la valeur de n ; de plus n = 16 sort du domaine {0, …, 10}. Le maximum est atteint pour n = 6.

3. C — Vrai. G(n) = −(n − 2)(n − 10) est positif entre les racines 2 et 10 ; les entiers admissibles strictement intérieurs sont 3, …, 9.

4. D — Faux. G(10) = −100 + 120 − 20 = 0 point ; le gain maximal 16 points est obtenu à n = 6.

5. E — Vrai. On complète le carré : −(n² − 12n) − 20 = −[(n − 6)² − 36] − 20 = 16 − (n − 6)².