Fonctions de référence et valeur absolue

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. Les nombres opposés ont le même carré : (−2)² = 2² = 4. La courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical.

2. B — Vrai. Le carré d’un nombre négatif est positif : f(−2) = (−2) × (−2) = 4.

3. C — Vrai. Une image se calcule en remplaçant x par l’abscisse proposée. Ici, le carré de 3 vaut 3 × 3 = 9, donc f(3) = 9.

4. D — Faux. Entre −2 et 0, le carré passe de 4 à 0 : il décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[.

5. E — Faux. La présence des parenthèses compte : f(−3) = (−3)² = 9 et non −(3²). Élever tout le nombre −3 au carré multiplie deux facteurs négatifs et produit donc +9.

Réponse attendue : B, C, D

1. A — Faux. La division par zéro est impossible ; 0 est exclu du domaine de g. Aucune valeur ne peut être attribuée à g en cette abscisse interdite.

2. B — Vrai. On calcule g(−4) = −1/4 et g(−2) = −1/2 ; −1/4 > −1/2. Sur la droite graduée, −1/4 est plus proche de zéro que −1/2.

3. C — Vrai. −2 appartient au domaine car ce nombre est non nul. Son image par la fonction inverse est 1/(−2) ; le quotient d’un positif par un négatif est négatif, d’où −1/2.

4. D — Vrai. Diviser 1 par 1/2 revient à multiplier par 2 : 1/(1/2) = 2. La moitié est un nombre non nul ; son inverse échange le numérateur 1 et le dénominateur 2.

5. E — Faux. Le numérateur 1 est positif ; le quotient 1/x a donc le signe de son dénominateur x. Pour x < 0 il est négatif, et pour x > 0 il est positif : on ne peut conclure à une positivité sur tout le domaine.

Réponse attendue : A, B, D

1. A — Vrai. Un nombre réel admet une racine carrée réelle lorsqu’il est positif ou nul. Pour x < 0, aucun carré réel ne peut égaler x.

2. B — Vrai. La racine carrée désigne le nombre non négatif dont le carré vaut 9 ; c’est 3.

3. C — Faux. −9 n’est pas dans le domaine de la racine carrée réelle ; −3 au carré vaudrait +9.

4. D — Vrai. 0,5² = 0,25 et 0,5 est non négatif, donc √0,25 = 0,5. La racine carrée désigne par convention la solution positive ou nulle de l’équation y² = 0,25.

5. E — Faux. Lorsque x augmente parmi les nombres non négatifs, √x augmente aussi : par exemple √1 = 1 < √4 = 2.

Réponse attendue : A, C

1. A — Vrai. Pour deux réels x < y, leurs cubes respectent x³ < y³. La fonction cube conserve l’ordre.

2. B — Faux. Un cube se calcule pour tout réel, y compris négatif : par exemple c(−2) = −8. La restriction aux x positifs concerne la racine carrée, pas le cube.

3. C — Vrai. Le produit de trois nombres −2 vaut (−2)³ = −8. Une puissance impaire conserve le signe négatif, contrairement au carré qui donnerait +4.

4. D — Faux. 2³ = +8. L’unique solution réelle de x³ = −8 est x = −2. Le contrôle direct donne (−2)³ = −8, contrairement au cube de 2.

5. E — Faux. On a (−x)³ = −x³ : les images de deux opposés sont opposées, sauf pour x = 0.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Pour x < 0, la distance est −x ; par exemple a(−3) = 3 alors que x = −3.

2. B — Vrai. La distance de −3 à 0 vaut trois unités ; |−3| = 3. La valeur absolue retient la longueur positive, indépendamment du signe de x.

3. C — Vrai. Une distance sur une droite graduée ne peut jamais être négative. Par définition, |x| vaut x si x ≥ 0 et −x sinon ; ces deux valeurs sont positives ou nulles.

4. D — Vrai. Deux points symétriques par rapport à 0 sont à la même distance de 0 : les deux images valent 3.

5. E — Vrai. La distance de x à 0 est nulle exactement quand les deux points coïncident. Ainsi x = 0 est l’unique solution réelle de |x| = 0.

Réponse attendue : E

1. A — Faux. La fonction carré en −9 vaut (−9)² = 81. Les antécédents réels de 9 sont 3 et −3. Le carré de −9 est neuf fois plus grand que 9, ce qui montre l’erreur de signe et de valeur.

2. B — Faux. Chercher une entrée dont l’image par f vaut 9 exige de poser f(x) = 9, donc x² = 9. Résoudre x² = 3 viserait une autre image.

3. C — Faux. Pour vérifier un antécédent proposé, on calcule son image. La fonction carré donne f(0) = 0² = 0 ; comme 0 ≠ 9, le nombre 0 ne convient pas.

4. D — Faux. L’équation x² = 9 s’écrit |x| = 3 : la distance de x à zéro vaut 3 pour deux points distincts, −3 et 3. Il existe donc deux antécédents réels.

5. E — Vrai. Être un antécédent signifie que son image est égale à 9. Or la fonction carré donne f(3) = 3² = 9 : 3 convient.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. 2² = 4, qui n’est pas strictement inférieur à 4 ; la borne 2 est exclue.

2. B — Vrai. Le carré est inférieur à 2² exactement lorsque x est compris strictement entre −2 et 2. On peut aussi écrire |x| < 2 ; cette distance à zéro impose simultanément −2 < x < 2.

3. C — Vrai. Comme x² = |x|² et |x| ≥ 0, comparer x² à 2² revient à comparer la distance |x| à 2.

4. D — Faux. (−3)² = 9 > 4 : les nombres de valeur absolue supérieure à 2 ne conviennent pas.

5. E — Vrai. Il suffit de tester le carré du nombre proposé : (−1)² = 1. Comme 1 < 4, l’abscisse −1 appartient à l’intervalle solution ]−2 ; 2[.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. Si 0 < x < 1, l’inversion d’un nombre positif inférieur à 1 donne un nombre supérieur à 1.

2. B — Vrai. L’expression 1/x n’a pas de sens lorsque le dénominateur x vaut zéro. Cette exclusion reste nécessaire avant toute multiplication éventuelle par x.

3. C — Faux. 1/1 = 1, mais l’inégalité demandée est stricte : 1 n’est pas supérieur à 1.

4. D — Faux. 1/(−1) = −1, valeur négative, donc certainement pas supérieure à 1. De manière générale, tout x négatif donne 1/x négatif et ne peut dépasser 1.

5. E — Vrai. Les x négatifs donnent un inverse négatif ; parmi les x positifs, 1/x > 1 équivaut à x < 1. On conserve 0 < x < 1.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Les deux membres sont non négatifs, donc les élever au carré préserve l’ordre : √x ≥ 2 équivaut à x ≥ 4.

2. B — Faux. Le réel 1 est bien dans le domaine de la racine carrée, mais cela ne suffit pas à atteindre le seuil demandé. Son image vaut √1 = 1, inférieure à 2.

3. C — Vrai. √4 = 2 ; l’inégalité est large, la borne est incluse. La fonction racine est croissante sur son domaine, et l’égalité se produit exactement à x = 4.

4. D — Faux. x ≥ 0 assure seulement que la racine existe ; x = 1 montre qu’elle n’atteint pas nécessairement 2.

5. E — Vrai. Tous les x supérieurs ou égaux à 4 conviennent ; le domaine x ≥ 0 est automatiquement respecté.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. La distance entre le point −6 et le centre 4 se calcule par |−6 − 4| = |−10| = 10. Elle dépasse la distance exacte demandée, 2 unités.

2. B — Vrai. Par définition, la distance entre x et 4 est |x − 4| ; « exactement 2 » impose l’égalité.

3. C — Faux. Les deux points symétriques autour de 4, d’abscisses 2 et 6, sont distincts. L’équation |x − 4| = 2 se sépare en x − 4 = 2 ou x − 4 = −2.

4. D — Vrai. |2 − 4| = |−2| = 2 : le point est deux unités à gauche de 4.

5. E — Vrai. |6 − 4| = 2 : le point est deux unités à droite de 4.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. À ces deux abscisses, x² = x ; réciproquement x² − x = x(x − 1) = 0 donne seulement 0 et 1.

2. B — Faux. Elles ne coïncident qu’aux abscisses 0 et 1, pas en x = 1/2. En effet, f(1/2) = 1/4 tandis que i(1/2) = 1/2.

3. C — Faux. L’inégalité est inversée pour 0 < x < 1 ; par exemple 1/4 < 1/2.

4. D — Vrai. Le carré de la fraction vaut (1/2)² = 1²/2² = 1/4. L’image 1/4 diffère de l’abscisse 1/2, fournissant aussi un contre-exemple à l’égalité générale.

5. E — Vrai. On écrit x − x² = x(1 − x) ; ses deux facteurs sont non négatifs entre 0 et 1, donc x − x² ≥ 0.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. 18 cm² > 9 cm² et la racine carrée croît sur [0 ; +∞[ ; √18 cm > 3 cm.

2. B — Faux. Le rapport des aires vaut 18/9 = 2 ; le rapport des côtés est sa racine carrée, √2. Doubler l’aire ne double pas le côté.

3. C — Vrai. L’aire étant 18 cm², la relation côté² = aire impose le côté positif √18 cm. On peut simplifier √18 = √(9 × 2) = 3√2, soit environ 4,24 cm.

4. D — Vrai. La longueur est non négative ; √9 = 3, donc le côté du premier carré mesure 3 cm.

5. E — Faux. Un côté de 6 cm produirait une aire de 6² = 36 cm², pas 18 cm².

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. Un point (a ; b) appartient à la courbe si b = g(a). Le nombre 2 est autorisé et g(2) = 1/2 : son ordonnée correspond bien.

2. B — Faux. 1/x = 0 impliquerait 1 = 0 × x = 0, impossible pour tout x ≠ 0.

3. C — Vrai. 0 est interdit au dénominateur : aucune ordonnée g(0) n’existe. La courbe comporte deux branches séparées par cet axe, mais ne le traverse jamais.

4. D — Vrai. Pour 0 < a < b, on calcule 1/a − 1/b = (b − a)/(ab) > 0, car numérateur et dénominateur sont positifs. Donc g(a) > g(b) : la fonction décroît sur tout ]0 ; +∞[.

5. E — Faux. L’image de −2 est −1/2 ; la valeur positive 1/2 est incompatible avec un x négatif.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Elles sont égales à 1 ; ce sont les abscisses −1 et 1 qui sont opposées. La valeur absolue efface le signe de l’abscisse ; deux abscisses opposées ont donc même image.

2. B — Faux. Une valeur absolue est une distance, donc f(x) ≥ 0 partout ; le minimum 0 est atteint en x = 0.

3. C — Vrai. Sur ce segment, elles passent successivement de 2 à 1 puis 0 ; la valeur absolue décroît vers son minimum en 0.

4. D — Vrai. Depuis x = 0, |x| = x ; les images passent de 0 à 1 puis 2.

5. E — Vrai. Chaque image est la distance de l’abscisse à 0 : |−2| = 2, |−1| = 1, |0| = 0, |1| = 1, |2| = 2.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Les valeurs calculées donnent 2 < 16 ; la fonction carré est plus grande ici.

2. B — Vrai. La valeur x = 4 appartient au domaine de la fonction carré. On la remplace dans f(x) = x² : f(4) = 4 × 4 = 16.

3. C — Vrai. La fonction inverse donne le quotient 1/4, défini car 4 ≠ 0. Il faut distinguer cette valeur 0,25 de √4 = 2 et de 4² = 16.

4. D — Faux. La fonction g donne la racine carrée de l’entrée : g(4) = √4 = 2. L’égalité proposée confond l’entrée et sa racine.

5. E — Faux. Le nombre 4 est positif et non nul. Ainsi √4 et 1/4 existent aussi : f, g et h sont toutes définies en 4.