Calcul littéral, équations et inéquations

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. À x = 0, les termes en x disparaissent et la valeur constante de 5x − 4 est −4.

2. B — Faux. Le terme constant est −6 + 2 = −4 ; obtenir −8 oublierait le signe ou l’une des deux distributions.

3. C — Vrai. La distributivité donne 3x − 6 + 2x + 2 ; regrouper les termes en x et les constantes conduit à 5x − 4.

4. D — Vrai. Résoudre 5x − 4 = 0 donne 5x = 4, puis x = 4/5 puisque 5 est non nul.

5. E — Vrai. Dans l’expression réduite, E(2) = 5 × 2 − 4 = 6 ; l’expression initiale donne aussi 3 × 0 + 2 × 3 = 6.

Réponse attendue : B, D

1. A — Faux. À x = 0, F(0) = 0² − 9 = −9, non +9. Le signe moins devant 9 subsiste après la substitution de zéro.

2. B — Vrai. Dans cet intervalle |x| < 3, donc x² < 9 et x² − 9 < 0 ; le tableau des facteurs donne le même signe.

3. C — Faux. En remplaçant x par 3, F(3) = 3² − 9 = 0. Le terme 3² vaut 9, mais il faut encore soustraire 9.

4. D — Vrai. La différence de deux carrés x² − 3² se factorise par (x − 3)(x + 3).

5. E — Faux. Le carré de −3 est +9 : F(−3) = (−3)² − 9 = 9 − 9 = 0. Oublier les parenthèses conduit à un faux signe.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. On distribue le 4 aux deux termes de x − 1 : 4(x − 1) = 4x − 4.

2. B — Vrai. À gauche 4(5 − 1) = 16 ; à droite 2 × 5 + 6 = 16 : les deux membres sont égaux.

3. C — Faux. Pour x = 4, le membre gauche vaut 4 × 3 = 12 et le droit 8 + 6 = 14 ; ils diffèrent.

4. D — Vrai. On divise 2x = 10 par 2, non nul, et obtient x = 5. Remplacer x par 5 dans l'équation initiale permet ensuite de contrôler les deux membres.

5. E — Vrai. Retrancher 2x puis ajouter 4 aux deux membres donne 4x − 2x = 6 + 4, soit 2x = 10.

Réponse attendue : B

1. A — Faux. Multiplier l’équation par x − 2, autorisé seulement si x ≠ 2, donne 3 = x − 2. Le signe devant 2 ne change pas.

2. B — Vrai. Le dénominateur x − 2 serait nul ; l’équation initiale n’a pas de sens en ce point.

3. C — Faux. L’exclusion de x = 2 empêche seulement une division par zéro. La valeur x = 5 appartient au domaine et vérifie 3/(5 − 2) = 1.

4. D — Faux. La relation correcte 3 = x − 2 conduit à x = 5. Le candidat x = 3 donnerait 3/(3 − 2) = 3, différent de 1.

5. E — Faux. À x = −1, le quotient est 3/(−3) = −1, différent du membre droit 1.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Soustraire la même valeur aux deux membres conserve le sens : −2x + 5 ≥ 1 devient −2x ≥ 1 − 5 = −4.

2. B — Vrai. Diviser −2x ≥ −4 par le nombre négatif −2 inverse le sens : x ≤ 2.

3. C — Vrai. La condition x ≤ 2 contient tous les réels à gauche de 2, y compris la borne 2.

4. D — Vrai. En remplaçant x par 2, −2 × 2 + 5 = 1, et l’égalité est admise par ≥.

5. E — Faux. La valeur −2 × 3 + 5 = −1 n’est pas ≥ 1 ; 3 se situe au-dessus de la borne 2.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. À droite de 1, les deux facteurs sont positifs et leur produit est positif. Le signe de chaque facteur se lit en comparant x à sa racine.

2. B — Faux. À x = 0, le produit vaut (−1) × 2 = −2, inférieur à zéro.

3. C — Vrai. Pour x < −2, x − 1 < 0 et x + 2 < 0 ; le produit de deux négatifs est positif.

4. D — Vrai. x − 1 = 0 donne 1 ; x + 2 = 0 donne −2 : ces valeurs découpent la droite réelle.

5. E — Vrai. Aux racines, le produit vaut 0 ; l’inégalité large ≥ 0 autorise l’égalité. L'inégalité stricte aurait au contraire retiré ces deux zéros de l'ensemble solution.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Sur cet intervalle, x − 3 < 0 tandis que x + 1 > 0 : le quotient est négatif.

2. B — Vrai. Le signe est négatif entre −1 et 3 ; −1 est interdit et 3 annule le numérateur, donc seule la borne droite est incluse.

3. C — Vrai. Le dénominateur x + 1 s’annule en −1 ; aucun quotient n’y est défini. Cette exclusion s'applique avant le tableau de signes du quotient Q.

4. D — Vrai. En x = 3 le numérateur est nul et le dénominateur vaut 4 ≠ 0, donc Q(3) = 0 ≤ 0.

5. E — Faux. Pour x = −2, numérateur et dénominateur sont négatifs, donc Q(−2) = (−5)/(−1) = 5 > 0.

Réponse attendue : A, B, E

1. A — Vrai. En retirant 5 €, on obtient 2n ≤ 20, puis en divisant par 2 positif : n ≤ 10.

2. B — Vrai. Le coût comprend les 5 € fixes et 2 € pour chaque activité ; « au plus 25 € » se traduit par ≤ 25 €.

3. C — Faux. Même si un nombre négatif pouvait satisfaire l’inégalité, n représente un nombre d’activités et doit être entier non négatif.

4. D — Faux. Son coût serait 5 € + 2 € × 11 = 27 €, supérieur au budget.

5. E — Vrai. n doit être un entier naturel ; la borne 10 est atteinte avec un coût 5 € + 2 € × 10 = 25 €.

Réponse attendue : A, E

1. A — Vrai. L’expression initiale donne (2 × 0 − 1)² = (−1)² = 1, ce qui contrôle le terme constant.

2. B — Faux. Cette expression oublie le terme croisé −4x ; par exemple en x = 1 elle donne 5 au lieu du carré (2 − 1)² = 1.

3. C — Faux. Un carré réel est au moins nul ; il s’annule seulement lorsque 2x − 1 = 0, soit x = 1/2.

4. D — Faux. L’identité (a − b)² contient le terme −2ab. Avec a = 2x et b = 1, ce terme est −2 × 2x × 1 = −4x.

5. E — Vrai. L’identité (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = 2x et b = 1 donne 4x² − 4x + 1.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. Les dénominateurs sont les constantes non nulles 2 et 3, indépendantes de x ; R est définie pour tout réel.

2. B — Vrai. Développer le numérateur donne 3x + 3 − 2x + 2 = x + 5 ; le dénominateur reste 6.

3. C — Vrai. En x = 1, l’expression initiale donne (2)/2 − 0/3 = 1 ; la forme réduite donne aussi (1 + 5)/6 = 1.

4. D — Vrai. Le dénominateur commun de 2 et 3 est 6 : le premier numérateur est multiplié par 3, le second par 2 avec le signe moins conservé.

5. E — Vrai. Avec la forme (x + 5)/6, l’équation devient x + 5 = 6 puis x = 1.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. La distributivité donne 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6. Développer permet ensuite d'annuler les termes en x des deux côtés.

2. B — Faux. À x = 0, le membre gauche vaut 6 et le droit vaut 5 ; ils ne sont pas égaux.

3. C — Vrai. Aucun réel x ne peut rendre vraie l’égalité fausse 6 = 5. Après suppression des mêmes termes 3x, l'équation devient une contradiction indépendante de x.

4. D — Faux. Une infinité de solutions exigerait une identité telle que 6 = 6, alors que l’on obtient 6 = 5.

5. E — Vrai. Les termes 3x se compensent ; il reste deux constantes différentes, ce qui est impossible.

Réponse attendue : C, D

1. A — Faux. La distributivité agit aussi sur la constante 3 : 2(x + 3) = 2x + 6, et non 2x + 3. Les deux membres sont donc identiques.

2. B — Faux. 0 convient, mais −3 aussi ; l’identité admet une infinité de solutions, pas une seule. Par exemple, x = 1 vérifie aussi 2(1 + 3) = 2 + 6.

3. C — Vrai. Même x = −3 convient : à gauche 2 × 0 = 0, à droite −6 + 6 = 0.

4. D — Vrai. L’égalité obtenue est vraie quel que soit x ; l’ensemble solution est ℝ. Après développement, les deux membres valent 2x + 6 pour chaque x.

5. E — Faux. La substitution x = −3 montre déjà une solution et l’identité prouve que toutes les valeurs conviennent.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. Le second facteur x + 1 s’annule en −1 ; le produit est nul. C'est l'autre racine obtenue par la règle du produit nul.

2. B — Vrai. La propriété du produit nul s’applique à deux réels : un produit vaut zéro si et seulement si au moins un facteur vaut zéro.

3. C — Vrai. Le facteur x − 2 est nul en 2 ; le produit vaut donc zéro.

4. D — Faux. Cette division n’est pas définie pour x = 2, qui est justement une solution ; elle ferait perdre cette racine.

5. E — Vrai. Les deux équations linéaires obtenues donnent 2 et −1, et aucune autre valeur ne peut annuler l’un des facteurs.

Réponse attendue : A, B, D, E

1. A — Vrai. La borne gauche est incluse par ≤, la droite exclue par < : on traduit par [1 ; 3[.

2. B — Vrai. La substitution donne 3 × 1 − 1 = 2 ; la borne inférieure est incluse.

3. C — Faux. 3 × 3 − 1 = 8, mais la borne supérieure exige une valeur strictement inférieure à 8.

4. D — Vrai. Ajouter 1 à chacun des trois membres conserve l’ordre et donne 2 + 1 ≤ 3x < 8 + 1.

5. E — Vrai. On divise chaque membre de 3 ≤ 3x < 9 par 3 > 0, sans changer les signes.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. Les coefficients directeurs sont respectivement 5 et 2 ; leur différence 3 explique le changement d’ordre à x = 3.

2. B — Vrai. 5x + 2 = 2x + 11 équivaut à 3x = 9 puis x = 3 ; chaque expression vaut alors 17.

3. C — Vrai. La différence A(x) − B(x) = 3x − 9 = 3(x − 3) est positive lorsque x > 3.

4. D — Faux. À x = 0, les valeurs sont A(0) = 2 et B(0) = 11 ; A est plus petit.

5. E — Faux. La différence A(x) − B(x) = 3(x − 3) est strictement positive lorsque x > 3. C’est A(x) > B(x) sur cette demi-droite.