Généralités sur les fonctions

Réponse attendue : D, E

1. A — Faux. Pour x = 1, f(1) = 2. L’équation 3x − 1 = 0 donne x = 1/3.

2. B — Faux. Il ne faut pas inverser entrée et sortie : f(5) = 15 − 1 = 14, et non 2.

3. C — Faux. Chercher un antécédent de 2 impose 3x − 1 = 2. La solution est x = 1 ; à x = 2, l’image vaut 5 et non 2.

4. D — Vrai. Un point (a ; b) est sur la courbe de f lorsque b = f(a). Ici f(2) = 5.

5. E — Vrai. On remplace l’entrée x par 2 : f(2) = 3 × 2 − 1 = 5.

Réponse attendue : A, B, C, E

1. A — Vrai. x² + 1 = 1 conduit à x² = 0, donc x = 0 uniquement. Comme seul zéro a un carré nul, aucune autre solution réelle ne peut apparaître.

2. B — Vrai. Le carré de −2 vaut 4 ; g(−2) = 4 + 1 = 5. L'entrée −2 appartient au domaine réel, et son carré positif entre dans la formule.

3. C — Vrai. x² + 1 = 5 équivaut à x² = 4, donc x = −2 ou x = 2.

4. D — Faux. Un carré est au moins nul ; g(x) = x² + 1 ≥ 1 pour tout x.

5. E — Vrai. Les entrées opposées ont le même carré : 2² + 1 = (−2)² + 1 = 5.

Réponse attendue : B, C, D, E

1. A — Faux. −3 est hors du domaine puisque x + 2 = −1 ; il n’existe pas de racine carrée réelle de −1.

2. B — Vrai. Sous une racine carrée réelle, le radicande doit être positif ou nul : x + 2 ≥ 0, soit x ≥ −2.

3. C — Vrai. Le résultat de la racine est non négatif ; √(x+2)=2 donne x+2=4 puis x=2, qui appartient bien au domaine.

4. D — Vrai. À la borne incluse −2, le radicande est 0 et √0 = 0. La racine carrée est toujours non négative ; zéro reste permis comme radicande.

5. E — Vrai. Un antécédent de 2 est une entrée dont l’image vaut 2. L’entrée x = 2 est autorisée et h(2) = √(2 + 2) = √4 = 2.

Réponse attendue : A, C, D, E

1. A — Vrai. Le dénominateur x − 3 s’annule en 3 ; la division par zéro n’est pas définie.

2. B — Faux. On ne peut calculer aucune image p(3), puisque le dénominateur y est nul. Une division par zéro n'est ni zéro ni une valeur infinie attribuée à la fonction.

3. C — Vrai. À x = 2, on divise 1 par −1 : p(2) = 1/(−1) = −1. Le signe négatif vient du dénominateur ; le numérateur 1 reste positif.

4. D — Vrai. Le dénominateur vaut 4 − 3 = 1, d’où p(4) = 1/1 = 1. Le point x = 4 diffère de la valeur interdite 3, donc ce calcul est permis.

5. E — Vrai. Un quotient de numérateur constant 1 non nul ne peut être égal à zéro pour aucun dénominateur autorisé.

Réponse attendue : A

1. A — Vrai. Le tableau associe l’entrée 0 à la valeur 3 ; c’est une lecture directe de la colonne correspondante.

2. B — Faux. Aucune donnée n’est fournie à l’entrée 3 ; on ne peut inventer son image en prolongeant le tableau.

3. C — Faux. Le tableau ne décrit que cinq entrées. D’autres antécédents hors de cette liste restent possibles.

4. D — Faux. Une fonction injective ne prend pas deux fois la même image pour deux entrées distinctes. Or −1 et 1 sont distincts et ont tous deux l’image 4.

5. E — Faux. Le tableau affiche f(−1) = 4 et f(1) = 4. La valeur 3 apparaît à l’entrée 0 parmi les entrées renseignées.

Réponse attendue : A, B, C, D

1. A — Vrai. Entre les abscisses 2 et 4, le segment est horizontal à l’ordonnée 5 ; x = 3 s’y trouve.

2. B — Vrai. La courbe monte jusqu’à 5, y demeure entre 2 et 4, puis redescend ; aucune ordonnée ne dépasse 5.

3. C — Vrai. Sur le segment de (0 ; 0) à (2 ; 5), x = 1 est au milieu ; l’ordonnée est la moitié de 5, soit 2,5.

4. D — Vrai. La courbe est annoncée sur le segment horizontal des abscisses de 0 à 6, extrémités comprises.

5. E — Faux. Le plateau horizontal relie (2 ; 5) à (4 ; 5), donc toute abscisse x ∈ [2 ; 4] donne f(x) = 5.

Réponse attendue : A, B, C

1. A — Vrai. En remplaçant x par −2 : f(−2) = 2 × (−2) + 5 = 1.

2. B — Vrai. Résoudre 2x + 5 = 1 donne 2x = −4 puis x = −2 ; on retrouve l’image calculée.

3. C — Vrai. L’ordonnée du point coïncide avec f(−2) = 1, donc le point est bien sur la courbe.

4. D — Faux. f(1) = 2 + 5 = 7 ; l’égalité f(−2) = 1 ne se renverse pas en f(1) = −2.

5. E — Faux. La formule donne une seule valeur à chaque entrée de son domaine : à −2 elle associe uniquement 1.

Réponse attendue : B, D, E

1. A — Faux. Même si la formule simplifiée donnerait 2 en 1, la fonction initiale exclut x = 1, où le quotient vaut 0/0 et n’est pas défini.

2. B — Vrai. −1 appartient au domaine ; le numérateur (−1)² − 1 vaut 0 et le dénominateur −2 n’est pas nul.

3. C — Faux. Le point (1 ; 2) manque à la courbe de r puisque 1 est exclu de son domaine, même après simplification.

4. D — Vrai. On calcule (0² − 1)/(0 − 1) = (−1)/(−1) = 1 ; la formule x + 1 confirme le résultat.

5. E — Vrai. On factorise x² − 1 = (x − 1)(x + 1), puis on simplifie le facteur x − 1 puisque x ≠ 1.

Réponse attendue : C, D, E

1. A — Faux. Les images valent f(0) = 1 et g(0) = 7 ; on a 1 < 7.

2. B — Faux. Leurs coefficients directeurs, 2 et −1, diffèrent ; elles ne prennent la même valeur qu’à l’intersection x = 2.

3. C — Vrai. Une intersection demande f(x) = g(x) : 2x + 1 = 7 − x, soit 3x = 6 et x = 2.

4. D — Vrai. À x = 2, f(2) = 5 et g(2) = 5 ; la valeur commune est l’ordonnée 5.

5. E — Vrai. f(x) − g(x) = (2x + 1) − (7 − x) = 3x − 6, positif pour x > 2.

Réponse attendue : B, C

1. A — Faux. À x = 3, le radicande vaut 4 − 9 = −5 ; il n’a pas de racine réelle, donc 3 est hors du domaine.

2. B — Vrai. Le radicande doit vérifier 4 − x² ≥ 0, soit x² ≤ 4 ; cela signifie −2 ≤ x ≤ 2.

3. C — Vrai. Au centre, le radicande vaut 4 ; sa racine carrée non négative est 2. On choisit la racine non négative : √4 = 2, et non −2.

4. D — Faux. À x = 2, le radicande vaut 4 − 2² = 0. Sa racine carrée est 0, et non 2 ; la valeur 2 est obtenue en x = 0.

5. E — Faux. À la borne −2, le radicande est 0 ; sa racine est 0, jamais −2. La racine carrée réelle ne produit jamais de valeur négative sur son domaine.

Réponse attendue : B, C, E

1. A — Faux. Le coefficient directeur négatif signifie que le volume décroît de 30 L chaque minute. Le signe du taux de variation commande ici le sens d'évolution du volume.

2. B — Vrai. À t = 5 min, l’écoulement vaut 30 L·min⁻¹ × 5 min = 150 L ; il reste 350 L.

3. C — Vrai. Après dix minutes, 30 L·min⁻¹ × 10 min = 300 L se sont écoulés ; il reste 500 L − 300 L = 200 L.

4. D — Faux. La formule est annoncée seulement pour t ∈ [0 ; 10] min ; aucune affirmation ne modélise le débit au-delà.

5. E — Vrai. Le temps initial t = 0 supprime la quantité écoulée : le réservoir part de 500 L.

Réponse attendue : B, E

1. A — Faux. x² + 4 existe pour tout réel x, y compris x = −2 dont l’image vaut 8.

2. B — Vrai. Résoudre p(x) = 3 donnerait x² = −1 ; aucun carré réel ne vaut −1.

3. C — Faux. Le carré x² est non négatif et l’addition de 4 décale toutes les images de quatre unités. Le minimum de p est 4, donc son image est [4 ; +∞[.

4. D — Faux. À x = 0, le carré s’annule mais il reste le terme constant : p(0) = 0² + 4 = 4.

5. E — Vrai. p(x) = 8 équivaut à x² = 4 ; les solutions distinctes sont x = −2 et x = 2.

Réponse attendue : A, C, E

1. A — Vrai. Le côté de 3 cm donne 3 cm × 3 cm = 9 cm². L'unité d'aire est le centimètre carré, obtenue en multipliant deux longueurs.

2. B — Faux. Si c devient 2c, la nouvelle aire vaut (2c)² = 4c² : elle est quadruplée, sauf cas nul.

3. C — Vrai. Dans le domaine c ≥ 0, résoudre c² = 16 cm² donne c = 4 cm ; la solution négative n’est pas une longueur.

4. D — Faux. Mathématiquement (−4)² = 16, mais le domaine annoncé impose c ≥ 0 cm : −4 cm n’est pas une longueur admissible.

5. E — Vrai. À la borne c = 0 cm, le carré numérique vaut 0 et l’aire correspondante est nulle.

Réponse attendue : A, C, D

1. A — Vrai. La substitution donne 2 × 0 − 1 = −1. L'opération est bien définie pour l'entrée 0 et conserve une sortie réelle.

2. B — Faux. Si 2a − 1 = 2b − 1, alors 2a = 2b puis a = b ; la fonction affine est injective.

3. C — Vrai. Résoudre y = 2x − 1 donne x = (y + 1)/2, qui est réel pour tout y réel.

4. D — Vrai. À chaque x réel, la formule 2x − 1 associe un nombre réel unique. Cette unicité de sortie pour chaque entrée est la condition qui définit une fonction.

5. E — Faux. Une fonction doit associer une seule valeur à chaque entrée de son domaine ; deux sorties distinctes pour un x violent cette définition.

Réponse attendue : A, D, E

1. A — Vrai. Les deux carrés (−2)² et 2² valent 4 ; après soustraction de 2, chaque image vaut 2.

2. B — Faux. Ces deux abscisses ont pour image 2 ; les zéros vérifient x² − 2 = 0, soit x = ±√2.

3. C — Faux. L’ordonnée réelle de la courbe à l’abscisse 2 est 2, pas −2. Substituer x = 2 donne 4 − 2 = 2 ; l'ordonnée proposée est donc incorrecte.

4. D — Vrai. Pour x = 0, f(0) = 0² − 2 = −2 ; le point (0 ; −2) appartient à la courbe.

5. E — Vrai. À x = 2, f(2) = 2² − 2 = 2 ; l’ordonnée du point coïncide.