Un carré signifie un produit par lui-même, et non le carré de chaque terme séparément : $$(x-4)^2=(x-4)(x-4)=x^2-4x-4x+16=x^2-8x+16.$$ Les deux produits croisés valent chacun $-4x$ ; leur somme fournit $-8x$. L’expression $x^2+16$ oublie précisément cette somme. Pour contrôler, prenons $x=4$ : le carré initial vaut $0$, et $16-32+16=0$, tandis que l’expression proposée donne $32$. Un seul contre-exemple suffit à réfuter cette égalité supposée vraie pour tout $x$.

Un produit de deux réels est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Nous n’avons donc pas à développer : $$(3x+2)(x-5)=0\iff 3x+2=0\quad\text{ou}\quad x-5=0.$$ Dans la première équation, soustraire $2$ puis diviser par $3\ne0$ donne $x=-\frac23$. La seconde donne $x=5$. Ainsi $S=\{-\frac23;5\}$. Pour $x=-\frac23$, le premier facteur vaut zéro ; pour $x=5$, c’est le second. Les deux valeurs satisfont bien l’équation initiale.

Le nombre $18$ est strictement positif : deux réels opposés ont ce carré. On obtient $x=\sqrt{18}$ ou $x=-\sqrt{18}$. Comme $18=9\times2$, on a $\sqrt{18}=\sqrt9\sqrt2=3\sqrt2$. L’ensemble solution est donc $S=\{-3\sqrt2;3\sqrt2\}$. Chacune des deux valeurs a pour carré $9\times2=18$. Le symbole $\sqrt{18}$ désigne seulement le nombre positif ; c’est l’équation qui possède deux solutions.

Pour déterminer où l’expression est strictement positive, résolvons l’inéquation correspondante : $$2-3x>0\iff -3x>-2\iff x<\frac23.$$ La dernière étape divise par le nombre négatif $-3$ : elle inverse le sens de l’inégalité. L’expression est donc strictement positive pour $x<\frac23$, nulle en $\frac23$ et négative au-delà. Le test $x=0$ donne $2>0$ ; le test $x=1$ donne $-1<0$. Ils permettent de repérer l’inversion commise, mais la résolution justifie les intervalles entiers.

La double distributivité donne $2x\times x+2x\times(-1)+3\times x+3\times(-1)$, soit $2x^2-2x+3x-3=2x^2+x-3$. Chaque terme du premier facteur a multiplié chaque terme du second. En $x=1$, le produit initial est nul et l’expression obtenue vaut $2+1-3=0$, ce qui fournit un contrôle.

L’identité $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$ s’applique avec $u=3x$ et $v=5$. Ainsi $9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$. Le produit nul donne $3x-5=0$ ou $3x+5=0$, donc $x=5/3$ ou $x=-5/3$. Dans les deux cas, $9x^2=9\times25/9=25$ : les deux valeurs conviennent.

Pour identifier les coefficients, nous devons d’abord obtenir une somme réduite de puissances de $x$. $$(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3,$$ $$f(x)=2(x^2-2x-3)+5=2x^2-4x-6+5=2x^2-4x-1.$$ Le coefficient de $x^2$ est $2\ne0$ : le degré est bien deux. On lit $a=2$, $b=-4$, $c=-1$. L’image de zéro est $f(0)=-1$. Contrôlons dans la forme initiale : $2(-3)(1)+5=-6+5=-1$. Ne pas oublier que le facteur $2$ multiplie également le terme constant $-3$.

Les deux carrés peuvent se compenser : réduisons avant de décider. $$g(x)=4x^2-4x+1-4x^2=-4x+1.$$ La fonction est affine, car le terme de degré deux a disparu. Dans l’écriture $ax^2+bx+c$, on aurait $a=0$, ce qui exclut le second degré. Résolvons donc l’équation affine : $-4x+1=0\iff x=\frac14$. Pour vérifier avec l’expression initiale : $(\frac12-1)^2-4(\frac14)^2=\frac14-\frac14=0$. Utiliser une formule avec un dénominateur $2a$ aurait ici conduit à une division par zéro.

Un point $(u;v)$ appartient à la courbe de $h$ si et seulement si son ordonnée vérifie $v=h(u)$. Pour $A$, calculons $$h(-1)=-2(-1)^2+3(-1)+1=-2-3+1=-4.$$ L’ordonnée trouvée est celle de $A$ : ce point appartient à la courbe. Pour $B$, $h(2)=-2\times4+6+1=-1$. Cette valeur diffère de zéro : $B$ n’appartient pas à la courbe. Le point de la courbe d’abscisse $2$ est $(2;-1)$. Il faut comparer une image et une ordonnée, et non les deux coordonnées du point entre elles.

Il faut remplacer $x$ par $-1$ dans toute l’expression : $f(-1)=a(-1)^2-3(-1)+2=a+5$. La condition donne $a+5=9$, donc $a=4$. Le coefficient dominant est non nul : $f(x)=4x^2-3x+2$ est bien du second degré. Vérification : $4+3+2=9$. L’image fournie sert à déterminer un coefficient ; elle n’est pas elle-même ce coefficient.

Le facteur constant $-3$ ne s’annule pas. Le produit est donc nul exactement lorsque $2x-1=0$ ou $x+4=0$. La première équation donne $2x=1$, soit $x=\frac12$ ; la seconde donne $x=-4$. Les racines sont $-4$ et $\frac12$. Ce ne sont pas $1$ et $-4$ : dans $2x-1$, le coefficient $2$ intervient dans la résolution. En substituant chaque valeur, on annule effectivement l’un des deux facteurs.

Deux racines distinctes imposent une forme $f(x)=a(x-2)(x-5)$ avec $a\ne0$. L’information sur le point fournit le facteur manquant : $$f(0)=20\iff a(-2)(-5)=20\iff10a=20\iff a=2.$$ La fonction est $f(x)=2(x-2)(x-5)$. Si l’on développe, on obtient $2x^2-14x+20$. Elle est bien de degré deux, vaut zéro en $2$ et $5$, et vaut $20$ en zéro. Le coefficient $a$ est unique puisque l’équation $10a=20$ possède une seule solution.

Avec les deux racines distinctes $1$ et $4$, toute fonction candidate s’écrit $f(x)=a(x-1)(x-4)$, où $a\ne0$. Passer par $(2;0)$ demanderait $f(2)=0$. Or $f(2)=a(1)(-2)=-2a$. L’égalité $-2a=0$ impose $a=0$, en contradiction avec le degré deux. Il n’existe donc aucune fonction répondant aux trois conditions. Le problème n’est pas un manque d’information : les informations se contredisent.

Les racines distinctes imposent $f(x)=a(x+2)(x-6)$ avec $a\ne0$. Pour n’importe quel tel $a$, $f(-2)=a\times0\times(-8)=0$. Le point annoncé répète donc une information déjà contenue dans les racines : il ne détermine pas $a$. Par exemple, les choix $a=1$ et $a=2$ donnent deux fonctions différentes qui satisfont toutes les conditions. Il existe une infinité de possibilités.

Une factorisation $(x-r)(x-s)$ donnerait une somme des racines $r+s=-2$ et un produit $rs=-15$. Le produit négatif demande des signes opposés. Parmi les diviseurs de $15$, les nombres $3$ et $-5$ ont bien somme $-2$. La factorisation candidate est $(x-3)(x+5)$. Développons pour la prouver : $x^2+5x-3x-15=x^2+2x-15$. Ainsi $f(x)=(x-3)(x+5)$ pour tout réel $x$, et les racines sont $3$ et $-5$. Le signe opposé devant la somme explique pourquoi on cherchait $-2$, et non $2$.

En substituant $x=1$, on obtient $3-8+5=0$ : $1$ est bien une racine. Cherchons une factorisation sous la forme $(x-1)(3x-k)$. Son développement est $3x^2-(k+3)x+k$. Le terme constant impose $k=5$ et le coefficient de $x$ devient bien $-8$. Ainsi $g(x)=(x-1)(3x-5)=3(x-1)(x-\frac53)$. L’autre racine est $\frac53$. On contrôle leur somme $1+\frac53=\frac83=-b/a$ et leur produit $\frac53=c/a$. La factorisation montre l’existence de la seconde racine ; nous ne l’avons pas simplement supposée.

Les nombres $2$ et $3$ sont bien des racines : $2\times2^2-10\times2+12=8-20+12=0$ et $2\times3^2-10\times3+12=18-30+12=0$. Mais $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$ possède un coefficient de $x^2$ égal à $1$, et non $2$. Il faut conserver le facteur dominant : $$2x^2-10x+12=2(x^2-5x+6)=2(x-2)(x-3).$$ Un contrôle en $x=0$ suffit aussi à voir le défaut de l’égalité initiale : $12$ d’un côté, $6$ de l’autre. Les racines ne déterminent pas seules l’amplitude de la parabole.

On cherche deux racines de somme $-7$ et de produit $10$. Un produit positif impose des signes identiques ; la somme négative invite à chercher deux nombres négatifs. Les nombres $-2$ et $-5$ conviennent. On propose $(x+2)(x+5)$ ; le développement $x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$ valide l’identité. Par produit nul, les racines sont $-2$ et $-5$, et non $2$ et $5$.

Le coefficient $8$ est le double de $4$. On fait donc apparaître $(x+4)^2=x^2+8x+16$. Le nombre ajouté est $16$ ; pour conserver la même expression, il faut aussi le soustraire : $$f(x)=(x^2+8x+16)-16+11=(x+4)^2-5.$$ Le développement de cette forme donne $x^2+8x+16-5=x^2+8x+11$. Dans $a(x-\alpha)^2+\beta$, on lit ici $a=1$, $\alpha=-4$, $\beta=-5$. Le signe de $\alpha$ est opposé au signe visible dans $x+4$.

Sortons $-2$ des deux premiers termes : $g(x)=-2(x^2-6x)-13$. Comme $x^2-6x=(x-3)^2-9$, on obtient $$g(x)=-2[(x-3)^2-9]-13=-2(x-3)^2+18-13=-2(x-3)^2+5.$$ Le produit $(-2)\times(-9)$ est positif. Cette étape est importante : oublier ce signe ferait perdre le bon sommet. Contrôlons en redéveloppant : $-2(x^2-6x+9)+5=-2x^2+12x-18+5$, ce qui redonne $g$.

La forme donnée contient déjà un carré isolable. Ajouter $7$ aux deux membres donne $(x-2)^2=9$. Un réel a pour carré $9$ lorsqu’il vaut $3$ ou $-3$. Ainsi $x-2=3$ ou $x-2=-3$, soit $x=5$ ou $x=-1$. L’ensemble solution est $\{-1;5\}$. Les deux solutions sont à la même distance $3$ de $2$. En remplaçant, on trouve dans les deux cas $9-7=2$, ce qui vérifie l’équation initiale. Développer puis calculer un discriminant serait possible, mais masquerait le carré déjà disponible.

Développer la proposition donne $3x^2-12x+12+3=3x^2-12x+15$ : le terme constant est incorrect. On doit compenser le $12$ produit par le carré. Ainsi $3x^2-12x+7=3(x-2)^2-5$, car $12-5=7$. Le test $x=2$ confirme : l’expression initiale vaut $12-24+7=-5$, comme la forme corrigée. Le carré était bien choisi ; seule sa compensation était fausse.

Le carré $(x+2)^2$ est positif ou nul, donc $-3(x+2)^2\le0$ et $f(x)\le12$. L’égalité est atteinte lorsque $x+2=0$, soit $x=-2$. Le maximum vaut donc $12$, atteint en $-2$ ; le sommet est $(-2;12)$ et l’axe a pour équation $x=-2$. Avant $-2$, la distance à $-2$ diminue quand $x$ augmente : son carré diminue et le produit par $-3$ augmente. Après $-2$, ce produit diminue. Ainsi $f$ est croissante sur $]-\infty;-2]$ et décroissante sur $[-2;+\infty[$. Par exemple, $f(-3)=f(-1)=9$, ce qui est cohérent avec la symétrie.

Sur $\mathbb R$, le carré s’annule en $5$, donnant un minimum égal à $2$. Mais $5$ n’appartient pas à $[0;3]$ : cette valeur ne peut pas y être atteinte. Sur cet intervalle, $5-x$ décroît de $5$ à $2$ et reste positif. Son carré décroît donc de $25$ à $4$. Par conséquent $g$ décroît sur $[0;3]$ et son minimum sur cet intervalle est $$g(3)=4+2=6.$$ Le minimum dépend du domaine autorisé : annoncer $2$ aurait oublié une condition du problème.

Pour compléter le tableau, $g(0)=(0-5)^2+2=27$ et $g(3)=6$.

L’axe est $x=3$. Le point d’abscisse $1$ est situé deux unités à gauche de cet axe ; son symétrique a pour abscisse $5$, deux unités à droite. On prévoit donc $f(5)=3$. Pour prouver que les seuls antécédents sont ceux-là, résolvons $2(x-3)^2-5=3$. Cela équivaut à $(x-3)^2=4$, puis à $x-3=-2$ ou $x-3=2$. On obtient exactement $x=1$ et $x=5$. La symétrie suggère le second antécédent ; l’équation prouve qu’il n’en existe aucun autre.

Sur $[2;4]$, $x-1$ augmente de $1$ à $3$ en restant positif. Son carré augmente ; le multiplier par $-2$ inverse l’ordre, donc $f$ décroît sur cet intervalle. Le maximum est $f(2)=-2+8=6$. Sur $\mathbb R$, le maximum vaut $8$, atteint en $x=1$. Ce sommet est exclu de $[2;4]$ : les deux maxima diffèrent parce que les domaines diffèrent.

À l’autre borne, $f(4)=-2(4-1)^2+8=-18+8=-10$.

Les coefficients sont $a=2$, $b=-4$, $c=-1$. Le discriminant vaut $\Delta=(-4)^2-4\times2\times(-1)=16+8=24>0$. Il y a donc deux racines : $$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}4=\frac{4\pm2\sqrt6}4=1\pm\frac{\sqrt6}{2}.$$ Ainsi $S=\{1-\frac{\sqrt6}{2};1+\frac{\sqrt6}{2}\}$. Pour contrôler les deux valeurs sans approximation, utilisons $2x^2-4x-1=2(x-1)^2-3$. Pour chacune, $(x-1)^2=6/4=3/2$, donc $2(x-1)^2-3=0$. Le signe moins de $c$ rend ici $-4ac$ positif.

Les coefficients $9$, $12$ et $4$ suggèrent $(3x+2)^2$, car $2\times3x\times2=12x$. Ainsi l’équation équivaut à $(3x+2)^2=0$, donc à $3x+2=0$ : l’unique solution est $-2/3$. Par discriminant, $\Delta=12^2-4\times9\times4=144-144=0$, puis $-b/(2a)=-12/18=-2/3$. Les deux démarches concordent. On parle de racine double, mais l’ensemble solution ne contient qu’un élément : $\{-2/3\}$.

Le discriminant est $\Delta=4^2-4\times1\times7=16-28=-12<0$. Il n’existe donc aucune racine réelle. Un produit de deux facteurs affines réels non constants aurait au moins une racine réelle, celle de l’un de ses facteurs ; une telle factorisation est impossible. On peut aussi écrire $x^2+4x+7=(x+2)^2+3$. Cette expression est au moins égale à $3$, donc ne vaut jamais zéro. Les deux arguments conduisent à la même conclusion, sans quitter le cadre des nombres réels.

Comme $\Delta>0$, les deux formules s’appliquent, avec $2a=-2$ et $\sqrt\Delta=2$. Elles donnent $(-6-2)/(-2)=4$ et $(-6+2)/(-2)=2$. Les racines rangées sont donc $2<4$. Le dénominateur négatif explique que la formule contenant $-\sqrt\Delta$ ait donné la plus grande. Leur somme vaut $6=-b/a$ : ce contrôle confirme le résultat.

On peut factoriser avant tout discriminant : $-2x^2+6x+8=-2(x^2-3x-4)=-2(x-4)(x+1)$. Les racines sont $-1$ et $4$. Avant $-1$, les deux facteurs affines sont négatifs ; leur produit positif devient négatif après multiplication par $-2$. Entre $-1$ et $4$, le produit est négatif, donc l’expression est positive. Après $4$, elle est négative. Elle est nulle aux racines : le signe $\ge$ les autorise. La solution est donc $[-1;4]$. Le contrôle $x=0$ donne $8\ge0$, cohérent avec l’intervalle trouvé.

Le seuil est $5$ : il faut ramener tous les termes à gauche avant d’étudier un signe. $$x^2-2x-3<5\iff x^2-2x-8<0\iff(x-4)(x+2)<0.$$ Les racines sont $-2$ et $4$. Le coefficient dominant est positif : le trinôme est négatif exactement entre ses racines. L’ensemble solution est $]-2;4[$. Les bornes sont exclues puisque l’inégalité est stricte. En effet, pour $x=-2$ comme pour $x=4$, le membre initial vaut $5$, et non un nombre strictement inférieur à $5$.

Un carré est positif ou nul, donc son produit par $-4$ est toujours négatif ou nul. Il vaut zéro seulement en $x=1$. Pour être strictement négatif, il suffit et il faut exclure cette valeur : le premier ensemble solution est $\mathbb R\setminus\{1\}=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$. L’inégalité large $\le0$ accepte aussi le zéro : le second ensemble est $\mathbb R$. Le signe ne change pas en traversant une racine double : il reste négatif de part et d’autre.

Pour tout réel $x$, $(x+1)^2\ge0$, donc $2(x+1)^2+3\ge3>0$. La première inéquation est impossible : son ensemble solution est $\varnothing$. La seconde est vraie pour tout réel : son ensemble solution est $\mathbb R$. C’est la positivité stricte de l’expression qui répond aux deux questions. Dire seulement « il n’y a pas de racine » ne préciserait pas son signe.

La forme développée donne directement $f(0)=6$ : les termes contenant $x$ s’annulent. Pour les zéros, la forme factorisée évite le discriminant : $2(x-1)(x-3)=0$ équivaut à $x=1$ ou $x=3$. Enfin, dans la forme canonique, $2(x-2)^2\ge0$ ; on a donc $f(x)\ge-2$, avec égalité exactement en $x=2$. Le minimum vaut $-2$. Ces lectures sont cohérentes : le sommet est à mi-distance des racines $1$ et $3$, et sa hauteur est négative puisque la parabole tournée vers le haut coupe l’axe horizontal en deux points.

L’écart vertical à l’abscisse $x$ est $$f(x)-g(x)=x^2-4x+1-(2x-4)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5).$$ Les intersections ont donc pour abscisses $1$ et $5$. Le produit est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Ainsi la courbe de $f$ est strictement au-dessus de celle de $g$ pour $x\in]-\infty;1[\cup]5;+\infty[$. Les bornes sont exclues car les courbes s’y rencontrent. On peut contrôler les points : à $x=1$, les deux ordonnées valent $-2$ ; à $x=5$, elles valent $6$.

Dans l’expression de $f$, on remplace l’argument $x$ par l’argument complet $x-3$ : $g(x)=((x-3)+1)^2-2=(x-2)^2-2$. Le sommet de $g$ est donc $(2;-2)$, alors que celui de $f$ est $(-1;-2)$. L’abscisse a augmenté de $3$, l’ordonnée est inchangée. Plus généralement, $g(u+3)=f(u)$ pour tout $u$ : tous les points ont été déplacés de trois unités vers la droite. Le signe moins dans l’argument ne correspond pas à une translation vers la gauche.

On ajoute $5$ à la valeur de $f$, sans modifier son argument : $g(x)=(x-2)^2-3+5=(x-2)^2+2$. Le sommet passe de $(2;-3)$ à $(2;2)$. Pour toute abscisse $u$, $g(u)=f(u)+5$ : chaque point monte de cinq unités et conserve son abscisse. Il s’agit d’une translation verticale vers le haut, contrairement à un remplacement de $x$ par $x-5$.

La comparaison porte sur deux ordonnées à la même abscisse. On étudie donc leur différence, en soustrayant toute l’expression de $g$ : $$f(x)-g(x)=x^2-2x-2-(x+2)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4).$$ Le produit nul donne $x=-1$ ou $x=4$. Il faut encore les ordonnées pour répondre en termes de points : $g(-1)=1$ et $g(4)=6$. Les intersections sont $A(-1;1)$ et $B(4;6)$.

Le coefficient dominant de la différence est positif. Son signe est positif à l’extérieur des racines, négatif entre elles et nul aux racines :

La courbe de $f$ est strictement au-dessus de celle de $g$ sur $]-\infty;-1[\cup]4;+\infty[$ et strictement au-dessous sur $]-1;4[$. Aux bornes, elles se rencontrent. L’inégalité large $f(x)\le g(x)$ accepte aussi les intersections : sa solution est $[-1;4]$.

Contrôle en zéro : $f(0)=-2<2=g(0)$, conformément à la position sur l’intervalle central. Le signe de $f$ seul n’aurait pas permis cette comparaison.

Calculons l’écart vertical : $$f(x)-g(x)=2x^2-4x+4-x^2=x^2-4x+4=(x-2)^2.$$ Il est positif ou nul pour tout réel $x$ et ne s’annule qu’en $x=2$. Comme $f(2)=g(2)=4$, les courbes possèdent exactement un point commun, $A(2;4)$.

Pour $x\ne2$, le carré est strictement positif : la courbe de $f$ reste strictement au-dessus de celle de $g$, à gauche comme à droite de $2$. Elles se rencontrent sans échanger leurs positions. La racine double de la différence ne provoque pas de changement de signe.

On peut contrôler de part et d’autre : $f(1)=2>1=g(1)$ et $f(3)=10>9=g(3)$. Ces deux tests illustrent le résultat ; l’identité $f-g=(x-2)^2$ le prouve pour tous les réels. Ainsi une intersection n’implique pas un croisement.

Deux courbes sans croisement. $f$ en bleu, $g$ en orange ; repère orthonormé. Le point commun est $A(2;4)$.

Notons $A(x)$ et $B(x)$ les mesures des aires en mètres carrés. L’aire du carré est le carré de son côté ; celle du rectangle est le produit de ses deux dimensions. Ainsi $$A(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1,\qquad B(x)=2x\times4=8x.$$ Sur le domaine $D=]0;6]$, le carré est au moins aussi grand lorsque $A(x)\ge B(x)$. La mise en inéquation donne $$A(x)-B(x)\ge0\iff x^2-6x+1\ge0.$$ Le discriminant vaut $(-6)^2-4\times1\times1=32$. Comme $\sqrt{32}=4\sqrt2$, les racines sont $$r=\frac{6-4\sqrt2}{2}=3-2\sqrt2,\qquad s=3+2\sqrt2.$$ On a $0<r<s<6$, car $0<2\sqrt2<3$. Le coefficient dominant positif donne un signe positif ou nul à l’extérieur des racines. Après intersection avec le domaine, $$S=]0;3-2\sqrt2]\cup[3+2\sqrt2;6].$$

correspond à $0<x\le0{,}1716\ldots$ m ou $5{,}8284\ldots\le x\le6$ m ; les intervalles exacts font foi. Pour les valeurs de cet ensemble, la courbe de $A$ est sur ou au-dessus de celle de $B$. Entre les deux seuils, elle est au-dessous : le rectangle a la plus grande aire. Aux seuils, les surfaces sont égales.

Contrôle : pour $x=1$ m, le carré a une aire de $4\,\mathrm{m}^2$ et le rectangle de $8\,\mathrm{m}^2$ ; pour $x=6$ m, les aires sont $49\,\mathrm{m}^2$ et $48\,\mathrm{m}^2$. Ces comparaisons concordent avec les deux régions trouvées.

Les deux profondeurs consomment $2x$ mètres de clôture. La largeur restante mesure donc $28-2x$ mètres. Les deux dimensions doivent être strictement positives : $x>0$ et $28-2x>0$, soit $0<x<14$.

Notons $A(x)$ la mesure de l’aire en mètres carrés. Comme l’aire est le produit des dimensions, $$\begin{aligned} A(x)&=x(28-2x)=-2x^2+28x\\ &=-2(x^2-14x)\\ &=-2[(x-7)^2-49]\\ &=-2(x-7)^2+98. \end{aligned}$$ Le passage au carré utilise $(x-7)^2=x^2-14x+49$. Ce carré est positif ou nul : $-2(x-7)^2\le0$, donc $A(x)\le98$. L’égalité est atteinte pour $x=7$, valeur autorisée.

La profondeur optimale est $7$ m, la largeur $28-2\times7=14$ m et l’aire maximale $98\,\mathrm{m}^2$. La vérification porte sur les deux demandes : $7+14+7=28$ m de clôture ; $7\times14=98\,\mathrm{m}^2$ d’aire.

La mesure de la recette en euros est le prix multiplié par le nombre de ventes : $R(p)=p(80-2p)$. Le seuil demandé s’écrit $$R(p)\ge750\iff -2p^2+80p-750\ge0\iff -2(p-15)(p-25)\ge0.$$ La factorisation vient de $p^2-40p+375$ : les nombres $15$ et $25$ ont somme $40$ et produit $375$. Développer $(p-15)(p-25)$ redonne ce trinôme. Le coefficient $-2$ est négatif : l’expression est positive ou nulle entre les racines $15$ et $25$, bornes comprises. Cet intervalle est inclus dans le domaine $[10;30]$. Les prix convenables sont donc de $15$ à $25$ euros, selon ce modèle. Aux bornes, les recettes valent $15\times50=750$ et $25\times30=750$ euros ; en $20$ euros, on obtient $800$ euros. Il s’agit de recette, pas de bénéfice : aucun coût n’est fourni.

Sur les réels, le maximum serait $70$, atteint en $n=4{,}5$. Mais un demi-lot n’est pas autorisé. Pour maximiser $B$, il faut minimiser la distance à $4{,}5$ parmi les entiers permis. Les plus proches sont $4$ et $5$, tous deux à distance $0{,}5$. Pour chacun, $B=70-3\times0{,}5^2=70-0{,}75=69{,}25$. Tous les autres entiers sont plus éloignés, leur carré de distance est plus grand, et le bénéfice est donc plus petit. Le maximum réellement possible est $69{,}25$ euros, avec quatre ou cinq lots.

Maximiser $B$ revient à minimiser la distance à $3{,}2$. Parmi les entiers permis, $3$ est à distance $0{,}2$, alors que $4$ est à distance $0{,}8$ ; tous les autres sont plus éloignés. L’unique optimum est donc $n=3$. Le bénéfice vaut alors $50-2\times0{,}2^2=49{,}92$ euros. Pour comparaison, $B(4)=48{,}72$ euros. Arrondir le sommet ne suffit pas à justifier : c’est la comparaison des distances qui garantit le maximum.

Prenons $f(x)=x^2-4x+3$. Ses coefficients $a=1$ et $c=3$ sont positifs, mais $f(2)=4-8+3=-1<0$. Ce seul cas réfute l’affirmation universelle. Le signe de $a$ indique une parabole tournée vers le haut ; le signe de $c=f(0)$ indique seulement que l’ordonnée à l’origine est positive. Ils ne fixent pas la hauteur du sommet. Ici $f(x)=(x-2)^2-1$, dont le minimum négatif explique le contre-exemple. Pour garantir une positivité partout, il faut étudier l’extremum ou le discriminant avec le cas du zéro.

Le paramètre $m$ est fixé pendant la résolution en $x$. Compléter le carré donne $x^2-6x+m=(x-3)^2+m-9$. L’équation équivaut donc à $(x-3)^2=9-m$. Si $m<9$, le membre de droite est positif : deux solutions distinctes existent, $3-\sqrt{9-m}$ et $3+\sqrt{9-m}$. Si $m=9$, une seule solution existe, $3$. Si $m>9$, le membre de droite est négatif et aucune solution réelle n’existe. Le contrôle par discriminant donne $36-4m=4(9-m)$, dont le signe conduit aux mêmes cas.