Le Mouvement et la Deuxième Loi de Newton
1.1 Rappel : Différence de notation de la dérivée entre mathématiques et physique
En mathématiques, la dérivée d’une fonction \( f(x) \) par rapport à \( x \) se note \( f'(x) \) ou \( \frac{df}{dx} \). En physique, lorsque nous étudions les grandeurs physiques évoluant avec le temps, la dérivée par rapport au temps est souvent notée avec un point au-dessus de la grandeur. Ainsi, si \( \vec{OM}(t) \) est la position d’un mobile à un instant \( t \), alors sa dérivée (la vitesse) se note :
\( \dot{\vec{OM}}(t) = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt} \)
Rappel
Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme. Les coordonnées d’un vecteur dépendent du repère choisi. Il existe des repères orthonormés, où les axes sont perpendiculaires et les unités sont identiques, et des repères orthonormaux, où les axes sont perpendiculaires mais les unités peuvent être différentes.
Par exemple, le vecteur \( \vec{g} \), qui représente l’accélération gravitationnelle terrestre, s’écrit différemment en fonction de l’orientation du repère choisi :
- Si le vecteur unitaire \( \vec{j} \) est dirigé vers le haut (ascendant), alors \( \vec{g} = 0 \cdot \vec{i} – 9,81 \cdot \vec{j} \).
- Si le vecteur unitaire \( \vec{j} \) est dirigé vers le bas (descendant), alors \( \vec{g} = 0 \cdot \vec{i} + 9,81 \cdot \vec{j} \).
1.2 Le vecteur position \( \vec{OM}(t) \)
Le vecteur position \( \vec{OM}(t) \) d’un point \( M \) à un instant \( t \) est défini par les coordonnées du point dans un repère donné. Si nous utilisons un repère cartésien avec les coordonnées \( (x(t), y(t)) \), alors le vecteur position s’écrit :
\( \vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} \)
Définition
Le vecteur position \( \vec{OM}(t) \) permet de définir la position d’un point \( M \) à un instant \( t \). Il est donné par les coordonnées \( x(t) \) et \( y(t) \) dans un repère cartésien.
1.3 Vecteur vitesse moyenne entre deux points
La vitesse moyenne entre deux positions successives \( M_i \) et \( M_{i+1} \) est définie par le rapport entre le déplacement \( \overrightarrow{M_iM_{i+1}} \) et la durée correspondante \( \Delta t = t_{i+1} – t_i \) :
\( \vec{v}_{moy} = \frac{\overrightarrow{M_iM_{i+1}}}{\Delta t} \)
1.4 Le vecteur vitesse instantanée \( \vec{v}(t) \)
Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
\( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt} = \frac{dx(t)}{dt}\vec{i} + \frac{dy(t)}{dt}\vec{j} \)
Relation
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
\( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt} \)
Ses composantes sont données par :
\( v_x(t) = \frac{dx(t)}{dt}, \; v_y(t) = \frac{dy(t)}{dt} \)
1.6 Le vecteur accélération \( \vec{a}(t) \)
Le vecteur accélération représente la variation de la vitesse par rapport au temps. Il est défini par la dérivée du vecteur vitesse :
\( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}(t)}{dt^2} \)
Relation
Le vecteur accélération est défini comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :
\( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \)
2. Exemples et exercices
Un objet se déplace selon les lois horaires suivantes : \( x(t) = 2t^2 \) et \( y(t) = 3t \). Détermine les vecteurs position, vitesse et accélération à l’instant \( t = 1 \text{ s} \).
Correction détaillée
1. Vecteur position: Le vecteur position \( \vec{OM}(t) \) est donné par :
\( \vec{OM}(t) = 2t^2\vec{i} + 3t\vec{j} \)
À l’instant \( t = 1 \text{ s} \), le vecteur position est \( 2\vec{i} + 3\vec{j} \).