En mathématiques, la dérivée d’une fonction $f(x)$ par rapport à $x$ se note $f'(x)$ ou $\frac{df}{dx}$. En physique, lorsque nous étudions les grandeurs physiques évoluant avec le temps, la dérivée par rapport au temps est souvent notée avec un point au-dessus de la grandeur. Ainsi, si $\vec{OM}(t)$ est la position d’un mobile à un instant $t$, alors sa dérivée (la vitesse) se note :

$\dot{\vec{OM}}(t) = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt}$

Le vecteur position $\vec{OM}(t)$ d’un point $M$ à un instant $t$ est défini par les coordonnées du point dans un repère donné. Si nous utilisons un repère cartésien avec les coordonnées $(x(t), y(t))$, alors le vecteur position s’écrit :

$\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$

La vitesse moyenne entre deux positions successives $M_i$ et $M_{i+1}$ est définie par le rapport entre le déplacement $\overrightarrow{M_iM_{i+1}}$ et la durée correspondante $\Delta t = t_{i+1} – t_i$ :

$\vec{v}_{moy} = \frac{\overrightarrow{M_iM_{i+1}}}{\Delta t}$

Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt} = \frac{dx(t)}{dt}\vec{i} + \frac{dy(t)}{dt}\vec{j}$

Le vecteur accélération représente la variation de la vitesse par rapport au temps. Il est défini par la dérivée du vecteur vitesse :

$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}(t)}{dt^2}$

Un objet se déplace selon les lois horaires suivantes : $x(t) = 2t^2$ et $y(t) = 3t$. Détermine les vecteurs position, vitesse et accélération à l’instant $t = 1 \text{ s}$.