Le plus petit commun multiple de 4 et 5 est 20. On a :

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$,

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}$

Donc,

$\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$.

Le plus petit commun multiple de 6 et 4 est 12. On a :

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$,

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

Donc,

$\frac{5}{6} – \frac{1}{4} = \frac{10}{12} – \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.

$\frac{4}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{4 \times 3}{7 \times 5} = \frac{12}{35}$.

$\frac{2}{9} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{9 \times 3} = \frac{8}{27}$.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

$3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 = 729$.

$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times 5 \times x + 5^2 = x^2 + 10x + 25$.

$2x(x + 3 – 4) = 2x^2 + 2x \times 3 – 2x \times 4 = 2x^2 + 6x – 8x = 2x^2 – 2x$.

$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$.

$4x^3 – 8x^2 = 4x^2(x – 2)$.

$3x – 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$.

$2x + 7 = 3 \implies 2x = 3 – 7 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

$2x – 3 > 1 \implies 2x > 4 \implies x > 2$.

$-3x + 4 \leq 7 \implies -3x \leq 3 \implies x \geq -1$.

$x(x – 5) = 0 \implies x = 0$ ou $x – 5 = 0 \implies x = 5$.

Donc, $x = 0$ ou $x = 5$.

Additionnons les deux équations pour éliminer $y$ :

$(2x + 3y) + (4x – 3y) = 7 + 1 \implies 6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Substituons $x = \frac{4}{3}$ dans la première équation :

$2 \times \frac{4}{3} + 3y = 7 \implies \frac{8}{3} + 3y = 7 \implies 3y = 7 – \frac{8}{3} = \frac{13}{3} \implies y = \frac{13}{9}$.

Donc, $x = \frac{4}{3}$ et $y = \frac{13}{9}$.

Étape 1 : Éliminons $z$ en combinant les équations. Additionnons l’équation 1 et 2 :

$(x + y + z) + (2x – y + 3z) = 6 + 14 \implies 3x + 4z = 20$.

Utilisons une autre combinaison pour éliminer $z$ :

$(x + y + z) – (-x + 4y – z) = 6 + 2 \implies 2x – 3y + 2z = 8$.

On obtient maintenant un système de deux équations à deux inconnues :

$\begin{cases} 3x + 4z = 20 \\ 2x – 3y + 2z = 8 \end{cases}$.

Continuons la résolution pour obtenir les valeurs de $x$, $y$ et $z$.

$f(-2) = 3 \times (-2) = -6$,

$f(0) = 3 \times 0 = 0$,

$f(5) = 3 \times 5 = 15$.

$f(-1) = 2 \times (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$,

$f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3$,

$f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.

Image : $f(3) = 5 \times 3 – 7 = 15 – 7 = 8$.

Antécédent : On cherche $x$ tel que $5x – 7 = 8$. On a :

$5x = 8 + 7 = 15 \implies x = \frac{15}{5} = 3$.

Les racines sont $x = 2$ et $x = -3$. Tableau de signes :

$\ln(2) + \ln(5) = \ln(2 \times 5) = \ln(10)$.

$e^{2\ln(3)} = (e^{\ln(3)})^2 = 3^2 = 9$.

$f'(x) = 3x^2 + 4x – 5$.

$\int (2x^3 + 5x^2) \, dx = \frac{2x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + C = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} + C$.

$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2 + 1, 3 – 1) = (3, 2)$.

$||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = 11$.

$A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$.

Pour $AB$ :

$AB = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

$\det(A) = 2 \times 4 – 3 \times 1 = 8 – 3 = 5$.

Le déterminant est $\det(A) = 5$. L’inverse est donc :

$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$.

Le système peut être réécrit sous la forme matricielle $AX = B$, où :

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix}$.

Nous avons trouvé précédemment que $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$.

La solution est donc :

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4 \times 8 – 3 \times 7}{5} \\ \frac{-1 \times 8 + 2 \times 7}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Donc, $x = 1$ et $y = 2$.

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, et $\tan(45^\circ) = 1$.

On sait que $\sin(60^\circ) = \sin(2 \times 30^\circ) = 2\sin(30^\circ)\cos(30^\circ)$.

Or, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ et $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc :

$\sin(60^\circ) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ – 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$.

Or, $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, et $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Donc :

$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}$ ou $x = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Donc, les solutions dans $[0, 2\pi]$ sont $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{5\pi}{6}$.

$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$.

$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$.

$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$.

$\int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

Une primitive de $f(x) = 2x$ est $F(x) = x^2 + C$.

Utilisons le fait que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. On a :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \times 1 = 3$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$, car plus $x$ augmente, plus $\frac{1}{x^2}$ tend vers 0.

La solution est $y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C$.

La solution est $y = \int e^x \, dx = e^x + C$.

Le facteur intégrant est $\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$. En multipliant toute l’équation par $e^{2x}$, on obtient :

$e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{3x}$.

Ce qui se réécrit $\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = e^x$.

En intégrant des deux côtés, on trouve :

$e^{2x}y = \int e^x dx = e^x + C$.

Donc, $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

La dérivée de $f(x) = 5e^{2x}$ est $f'(x) = 10e^{2x}$, car $\frac{d}{dx}(e^{kx}) = ke^{kx}$.

Prenez le logarithme des deux côtés :

$\ln(e^{2x}) = \ln(7) \implies 2x = \ln(7) \implies x = \frac{\ln(7)}{2}$.

La dérivée de $f(x) = \ln(3x)$ est :

$f'(x) = \frac{1}{3x} \times 3 = \frac{1}{x}$.

Exponentiez les deux côtés :

$e^{\ln(x)} = e^5 \implies x = e^5$.

Faisons le changement de variable $u = x^2$, donc $du = 2x \, dx$. On obtient :

$\int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$.

On peut essayer de résoudre ce système en additionnant et en soustrayant les équations, ou en cherchant des solutions sous forme exponentielle.

Ici, nous allons faire un changement de variables en diagonalisation.

Le nombre total de boules est $3 + 2 + 5 = 10$.

La probabilité de tirer une boule rouge est $P(\text{rouge}) = \frac{3}{10}$, et celle de tirer une boule bleue est $P(\text{bleue}) = \frac{2}{10}$.

Comme les événements sont disjoints (il n’y a pas de boule à la fois rouge et bleue), on a :

$P(\text{rouge} \cup \text{bleue}) = P(\text{rouge}) + P(\text{bleue}) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = 0,5$.

Le nombre total de lancers est $n = 5$, la probabilité de succès (obtenir une face) est $p = \frac{1}{2}$, et nous cherchons la probabilité d’obtenir $k = 3$ succès.

La probabilité est donnée par :

$P(X = 3) = \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^{5-3} = \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^5$.

On calcule $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10$, donc :

$P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0,3125$.

L’espérance est :

$E(X) = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{4} = 2$.

La variance est :

$\text{Var}(X) = E(X^2) – (E(X))^2$,

avec :

$E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{4} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 3^2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{2} + 9 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 2 + \frac{9}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Donc, la variance est :

$\text{Var}(X) = 5 – 2^2 = 5 – 4 = 1$.

Utilisons le théorème de Bayes :

$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$,

avec :

$P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,7$, $P(\text{réussite}|A) = 0,8$, et $P(\text{réussite}|B) = 0,6$.

La probabilité totale de réussite est :

$P(\text{réussite}) = P(\text{réussite}|A)P(A) + P(\text{réussite}|B)P(B) = 0,8 \times 0,3 + 0,6 \times 0,7 = 0,24 + 0,42 = 0,66$.

Donc, la probabilité que l’étudiant soit de la filière A sachant qu’il a réussi est :

$P(A|\text{réussite}) = \frac{0,8 \times 0,3}{0,66} = \frac{0,24}{0,66} \approx 0,364$.

Dans une loi normale centrée réduite, la probabilité que $X$ soit compris entre -1 et 1 correspond à environ 68 % de la surface sous la courbe. Donc :

$P(-1 \leq X \leq 1) \approx 0,68$.

À 95 %, $z_{\alpha/2} = 1,96$. L’intervalle de confiance est donc :

$\left[ 70 – 1,96 \times \frac{10}{\sqrt{100}}, 70 + 1,96 \times \frac{10}{\sqrt{100}} \right]$.

En simplifiant :

$\left[ 70 – 1,96, 70 + 1,96 \right] = [68,04, 71,96]$.

Le théorème central limite nous dit que, pour un échantillon suffisamment grand, la distribution de la moyenne de l’échantillon sera approximativement normale, même si la population elle-même n’est pas normalement distribuée. Cela permet de faire des estimations fiables et de construire des intervalles de confiance basés sur la loi normale.

Nous testons $H_0$ : $\mu = 10$ contre $H_1$ : $\mu \neq 10$ (test bilatéral). La statistique de test est donnée par :

$z = \frac{\bar{x} – \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{9 – 10}{\frac{2}{\sqrt{30}}} = \frac{-1}{\frac{2}{\sqrt{30}}} \approx -2,74$.

Le seuil critique pour un niveau de signification de 5 % est $z_{\alpha/2} = 1,96$. Comme $|z| = 2,74 > 1,96$, nous rejetons l’hypothèse nulle. Le médicament semble donc ne pas réduire la pression artérielle de 10 mmHg en moyenne.

Le coefficient de corrélation est donné par :

$r = \frac{n \sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 – (\sum x)^2)(n \sum y^2 – (\sum y)^2)}}$.

Les calculs donneront un coefficient $r$ proche de 1, indiquant une forte corrélation positive.

L’équation de la droite de régression $y = ax + b$ peut être déterminée à l’aide de la méthode des moindres carrés.

Le nombre de façons de choisir 3 cartes parmi 52 est donné par $\binom{52}{3}$ :

$\binom{52}{3} = \frac{52!}{3!(52-3)!} = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$.