Kit de survie de maths – Outils Essentiels

Outils essentiels en maths

1. Calcul fractionnaire

1.1 Addition et soustraction de fractions

Méthode

Pour additionner ou soustraire des fractions, les mettre au même dénominateur :

\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \)

Exercice

Calculez : \( \frac{3}{4} + \frac{2}{5} \).

Correction

Le plus petit commun multiple de 4 et 5 est 20. On a :

\( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} \),

\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} \)

Donc,

\( \frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20} \).

Exercice

Calculez : \( \frac{5}{6} – \frac{1}{4} \).

Correction

Le plus petit commun multiple de 6 et 4 est 12. On a :

\( \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} \),

\( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \)

Donc,

\( \frac{5}{6} – \frac{1}{4} = \frac{10}{12} – \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \).

1.2 Multiplication et Division de Fractions

Méthode

Pour multiplier deux fractions :

\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)

Pour diviser deux fractions :

\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \)

Exercice

Calculez : \( \frac{4}{7} \times \frac{3}{5} \).

Correction

\( \frac{4}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{4 \times 3}{7 \times 5} = \frac{12}{35} \).

Exercice

Calculez : \( \frac{2}{9} \div \frac{3}{4} \).

Correction

\( \frac{2}{9} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{9 \times 3} = \frac{8}{27} \).

2. Calculs avec les Racines Carrées

Méthode

Règles de calcul avec les racines carrées :

\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \),

\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \).

Exercice

Simplifiez : \( \sqrt{12} \).

Correction

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).

Exercice

Calculez : \( \sqrt{18} \).

Correction

\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).

3. Calculs avec les Puissances

Méthode

Règles de calcul avec les puissances :

\( a^m \times a^n = a^{m+n} \),

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \),

\( (a^m)^n = a^{mn} \).

Exercice

Calculez : \( 3^2 \times 3^4 \).

Correction

\( 3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 = 729 \).

4. Les Identités Remarquables

Identités Remarquables

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \),

\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \),

\( (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \).

Exercice

Développez : \( (x + 5)^2 \).

Correction

\( (x + 5)^2 = x^2 + 2 \times 5 \times x + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \).

5. Développement d’Expression à Trois Termes

Méthode

Pour développer une expression du type \( a(b + c + d) \), on utilise la distributivité :

\( a(b + c + d) = ab + ac + ad \).

Exercice

Développez : \( 2x(x + 3 – 4) \).

Correction

\( 2x(x + 3 – 4) = 2x^2 + 2x \times 3 – 2x \times 4 = 2x^2 + 6x – 8x = 2x^2 – 2x \).

6. Factorisation

Méthode

Pour factoriser une expression, chercher un facteur commun :

\( ax + ay = a(x + y) \).

Exercice

Factorisez : \( 3x^2 + 6x \).

Correction

\( 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \).

Exercice

Factorisez : \( 4x^3 – 8x^2 \).

Correction

\( 4x^3 – 8x^2 = 4x^2(x – 2) \).

7. Résolution d’Équations à une Inconnue

Méthode

Pour résoudre une équation du type \( ax + b = 0 \), isoler \( x \) :

\( x = \frac{-b}{a} \).

Exercice

Résolvez : \( 3x – 5 = 0 \).

Correction

\( 3x – 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \).

Exercice

Résolvez : \( 2x + 7 = 3 \).

Correction

\( 2x + 7 = 3 \implies 2x = 3 – 7 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \).

8. Résolution d’Inéquations à une Inconnue

Méthode

Pour résoudre une inéquation, isoler \( x \) et appliquer les règles des signes. Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, l’inéquation change de sens.

Exercice

Résolvez : \( 2x – 3 > 1 \).

Correction

\( 2x – 3 > 1 \implies 2x > 4 \implies x > 2 \).

Exercice

Résolvez : \( -3x + 4 \leq 7 \).

Correction

\( -3x + 4 \leq 7 \implies -3x \leq 3 \implies x \geq -1 \).

9. Résolution d’Équations Produits Nuls

Méthode

Pour résoudre \( a \times b = 0 \), on utilise :

\( a = 0 \) ou \( b = 0 \).

Exercice

Résolvez : \( x(x – 5) = 0 \).

Correction

\( x(x – 5) = 0 \implies x = 0 \) ou \( x – 5 = 0 \implies x = 5 \).

Donc, \( x = 0 \) ou \( x = 5 \).

10. Résolution d’un Système à Deux Inconnues par Combinaison

Méthode

Pour résoudre un système à deux équations :

  1. Multipliez une ou les deux équations pour avoir un coefficient commun pour l’une des variables.
  2. Additionnez ou soustrayez les équations pour éliminer une des variables.
  3. Résolvez l’équation obtenue.
  4. Remplacez la solution dans l’une des équations initiales pour trouver l’autre variable.

Exercice

Résoudre le système :

\( \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x – 3y = 1 \end{cases} \).

Correction

Additionnons les deux équations pour éliminer \( y \) :

\( (2x + 3y) + (4x – 3y) = 7 + 1 \implies 6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).

Substituons \( x = \frac{4}{3} \) dans la première équation :

\( 2 \times \frac{4}{3} + 3y = 7 \implies \frac{8}{3} + 3y = 7 \implies 3y = 7 – \frac{8}{3} = \frac{13}{3} \implies y = \frac{13}{9} \).

Donc, \( x = \frac{4}{3} \) et \( y = \frac{13}{9} \).

11. Résolution d’un Système à Trois Inconnues

Méthode

Pour résoudre un système à trois inconnues, on utilise les étapes suivantes :

  1. Éliminer une inconnue à l’aide des équations, pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues.
  2. Résoudre le système obtenu par combinaison.
  3. Remonter pour trouver les autres inconnues.

Exercice

Résoudre le système :

\( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + 3z = 14 \\ -x + 4y – z = -2 \end{cases} \).

Correction

Étape 1 : Éliminons \( z \) en combinant les équations. Additionnons l’équation 1 et 2 :

\( (x + y + z) + (2x – y + 3z) = 6 + 14 \implies 3x + 4z = 20 \).

Utilisons une autre combinaison pour éliminer \( z \) :

\( (x + y + z) – (-x + 4y – z) = 6 + 2 \implies 2x – 3y + 2z = 8 \).

On obtient maintenant un système de deux équations à deux inconnues :

\( \begin{cases} 3x + 4z = 20 \\ 2x – 3y + 2z = 8 \end{cases} \).

Continuons la résolution pour obtenir les valeurs de \( x \), \( y \) et \( z \).

12. Fonctions Linéaires

Définition

Une fonction linéaire est une fonction de la forme \( f(x) = ax \), où \( a \) est une constante.

Méthode

Pour calculer l’image d’un nombre \( x \) par une fonction linéaire \( f(x) = ax \), il suffit de multiplier \( x \) par \( a \) :

\( f(x) = ax \).

Exercice

Pour la fonction \( f(x) = 3x \), calculez les images de \( -2 \), \( 0 \), et \( 5 \).

Correction

\( f(-2) = 3 \times (-2) = -6 \),

\( f(0) = 3 \times 0 = 0 \),

\( f(5) = 3 \times 5 = 15 \).

13. Fonctions Affines

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme \( f(x) = ax + b \), où \( a \) et \( b \) sont des constantes.

Méthode

Pour calculer l’image d’un nombre \( x \) par une fonction affine \( f(x) = ax + b \), remplacez \( x \) par sa valeur :

\( f(x) = ax + b \).

Exercice

Pour la fonction \( f(x) = 2x + 3 \), calculez les images de \( -1 \), \( 0 \), et \( 4 \).

Correction

\( f(-1) = 2 \times (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \),

\( f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3 \),

\( f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \).

14. Antécédents et Images

Méthode

L’image d’un nombre \( x \) par une fonction \( f \) est \( f(x) \). L’antécédent d’un nombre \( y \) est le nombre \( x \) tel que \( f(x) = y \).

Exercice

Pour la fonction \( f(x) = 5x – 7 \), calculez l’image de 3 et l’antécédent de 8.

Correction

Image : \( f(3) = 5 \times 3 – 7 = 15 – 7 = 8 \).

Antécédent : On cherche \( x \) tel que \( 5x – 7 = 8 \). On a :

\( 5x = 8 + 7 = 15 \implies x = \frac{15}{5} = 3 \).

15. Étude du Signe d’une Expression Factorisée

Méthode

Pour étudier le signe d’une expression factorisée de la forme \( f(x) = (x – a)(x – b) \) :

  1. Identifiez les racines \( a \) et \( b \).
  2. Tracez le tableau de signe en fonction des variations du produit.

Exercice

Étudiez le signe de \( f(x) = (x – 2)(x + 3) \).

Correction

Les racines sont \( x = 2 \) et \( x = -3 \). Tableau de signes :

x \(-\infty\) \(-3\) \(2\) \(+\infty\)
\( (x – 2) \) 0 +
\( (x + 3) \) 0 + +
\( f(x) \) + 0 +

16. Logarithmes et Exponentielles

Définition

Le logarithme décimal \( \log(x) \) est défini pour \( x > 0 \). Le logarithme naturel est noté \( \ln(x) \).

La fonction exponentielle \( e^x \) est l’inverse de la fonction logarithmique \( \ln(x) \).

Propriétés

  • \( \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) \)
  • \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \)
  • \( \ln(a^n) = n \times \ln(a) \)
  • \( e^{\ln(a)} = a \)

Exercice

Simplifiez \( \ln(2) + \ln(5) \).

Correction

\( \ln(2) + \ln(5) = \ln(2 \times 5) = \ln(10) \).

Exercice

Calculez \( e^{2\ln(3)} \).

Correction

\( e^{2\ln(3)} = (e^{\ln(3)})^2 = 3^2 = 9 \).

17. Calcul de Dérivées

Formules de Dérivation

  • \( \frac{d}{dx}(x^n) = n \times x^{n-1} \)
  • \( \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \)
  • \( \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \)
  • \( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \)

Exercice

Calculez la dérivée de \( f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 7 \).

Correction

\( f'(x) = 3x^2 + 4x – 5 \).

18. Intégrales Simples

Formules d’Intégration

  • \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) pour \( n \neq -1 \)
  • \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)

Exercice

Calculez l’intégrale de \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 \).

Correction

\( \int (2x^3 + 5x^2) \, dx = \frac{2x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + C = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} + C \).

19. Calcul Vectoriel

Propriétés des Vecteurs

Un vecteur \( \overrightarrow{u} \) a une norme, une direction et un sens. La somme de deux vecteurs se fait en additionnant leurs coordonnées.

Exercice

Soient \( \overrightarrow{u}(2, 3) \) et \( \overrightarrow{v}(1, -1) \). Calculez \( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \).

Correction

\( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2 + 1, 3 – 1) = (3, 2) \).

Exercice

Calculez la norme de \( \overrightarrow{u} \).

Correction

\( ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

20. Produit Scalaire

Propriétés du Produit Scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \( \overrightarrow{u}(x_1, y_1) \) et \( \overrightarrow{v}(x_2, y_2) \) est donné par :

\( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \).

Exercice

Calculez le produit scalaire de \( \overrightarrow{u}(2, 3) \) et \( \overrightarrow{v}(4, 1) \).

Correction

\( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = 11 \).

21. Calculs avec les Matrices

Méthode

Une matrice est un tableau de nombres. Les opérations sur les matrices incluent l’addition, la multiplication et la transposition.

Pour additionner deux matrices, on additionne les éléments correspondants. Pour multiplier deux matrices \( A \) et \( B \), on utilise la règle suivante :

\( (AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj} \).

Exercice

Soient \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \). Calculez \( A + B \) et \( AB \).

Correction

\( A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \).

Pour \( AB \) :

\( AB = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \).

22. Déterminants et Inverses de Matrices

Déterminant d’une Matrice 2×2

Le déterminant d’une matrice 2×2 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) est donné par :

\( \det(A) = ad – bc \).

Exercice

Calculez le déterminant de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \).

Correction

\( \det(A) = 2 \times 4 – 3 \times 1 = 8 – 3 = 5 \).

Inverse d’une Matrice 2×2

Si \( \det(A) \neq 0 \), l’inverse d’une matrice \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) est donné par :

\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).

Exercice

Trouvez l’inverse de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \).

Correction

Le déterminant est \( \det(A) = 5 \). L’inverse est donc :

\( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \).

23. Résolution de Systèmes Linéaires par Matrices

Méthode

Pour résoudre un système linéaire \( AX = B \), où \( A \) est une matrice et \( X \) et \( B \) sont des vecteurs, on peut écrire la solution sous la forme \( X = A^{-1}B \), si \( A \) est inversible.

Exercice

Résolvez le système suivant à l’aide des matrices :

\( \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x + 4y = 7 \end{cases} \).

Correction

Le système peut être réécrit sous la forme matricielle \( AX = B \), où :

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} \).

Nous avons trouvé précédemment que \( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \).

La solution est donc :

\( X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4 \times 8 – 3 \times 7}{5} \\ \frac{-1 \times 8 + 2 \times 7}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \).

Donc, \( x = 1 \) et \( y = 2 \).

24. Trigonométrie

Méthode

Les fonctions trigonométriques usuelles incluent le sinus, le cosinus et la tangente. Les relations trigonométriques importantes sont :

  • \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)
  • \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)

Exercice

Calculez \( \sin(30^\circ) \), \( \cos(60^\circ) \), et \( \tan(45^\circ) \).

Correction

\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), et \( \tan(45^\circ) = 1 \).

25. Identités Trigonométriques

Identités Importantes

  • \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)
  • \( \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \)
  • \( \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 – \tan^2(x)} \)

Exercice

Calculez \( \sin(60^\circ) \) en utilisant l’identité \( \sin(2x) \).

Correction

On sait que \( \sin(60^\circ) = \sin(2 \times 30^\circ) = 2\sin(30^\circ)\cos(30^\circ) \).

Or, \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) et \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), donc :

\( \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

26. Les Angles Associés

Méthode

Les angles associés sont définis par des relations telles que :

  • \( \sin(180^\circ – x) = \sin(x) \)
  • \( \cos(180^\circ – x) = -\cos(x) \)
  • \( \tan(180^\circ – x) = -\tan(x) \)

Exercice

Calculez \( \cos(120^\circ) \) en utilisant les angles associés.

Correction

\( \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ – 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \).

27. Formules d’Addition et de Soustraction

Méthode

Les formules d’addition et de soustraction des angles sont :

  • \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
  • \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b) \)
  • \( \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)} \)

Exercice

Calculez \( \sin(75^\circ) \) en utilisant la formule \( \sin(a + b) \).

Correction

\( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \).

Or, \( \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), et \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \). Donc :

\( \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).

28. Équations Trigonométriques

Méthode

Pour résoudre une équation trigonométrique, utilisez les identités trigonométriques et les formules d’addition et de soustraction. Par exemple, pour résoudre \( \sin(x) = k \), on a :

  • Si \( |k| \leq 1 \), alors \( x = \arcsin(k) + 2k\pi \) ou \( x = \pi – \arcsin(k) + 2k\pi \).

Exercice

Résolvez \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) pour \( x \) dans \( [0, 2\pi] \).

Correction

\( \sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \).

Donc, les solutions dans \( [0, 2\pi] \) sont \( x = \frac{\pi}{6} \) et \( x = \frac{5\pi}{6} \).

29. Calcul d’Intégrales Trigonométriques

Méthode

Pour calculer des intégrales impliquant des fonctions trigonométriques, on utilise les formules suivantes :

  • \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \)
  • \( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \)
  • \( \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \)

Exercice

Calculez \( \int \sin(x) \, dx \).

Correction

\( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \).

Exercice

Calculez \( \int \cos(x) \, dx \).

Correction

\( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \).

30. Calcul d’Intégrales avec Puissances

Méthode

Pour calculer des intégrales de fonctions puissances, utilisez la formule :

\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) pour \( n \neq -1 \).

Exercice

Calculez \( \int x^3 \, dx \).

Correction

\( \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \).

Exercice

Calculez \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \).

Correction

\( \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \).

31. Primitives et Intégrales Indéfinies

Méthode

Une primitive d’une fonction \( f(x) \) est une fonction \( F(x) \) telle que \( F'(x) = f(x) \). L’intégrale indéfinie d’une fonction est la famille de toutes ses primitives, notée \( \int f(x) \, dx \).

Exercice

Trouvez une primitive de la fonction \( f(x) = 2x \).

Correction

Une primitive de \( f(x) = 2x \) est \( F(x) = x^2 + C \).

32. Calcul de Limites

Méthode

Pour calculer les limites, utilisez les règles suivantes :

  • \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)
  • \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \)
  • \( \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \)

Exercice

Calculez \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \).

Correction

Utilisons le fait que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). On a :

\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \times 1 = 3 \).

Exercice

Calculez \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} \).

Correction

\( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0 \), car plus \( x \) augmente, plus \( \frac{1}{x^2} \) tend vers 0.

33. Résolution d’Équations Différentielles

Méthode

Une équation différentielle est une équation qui implique une ou plusieurs dérivées d’une fonction inconnue. Pour résoudre une équation différentielle du type :

\( \frac{dy}{dx} = f(x) \),

On cherche la primitive de \( f(x) \).

Exercice

Résolvez \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \).

Correction

La solution est \( y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \).

Exercice

Résolvez \( \frac{dy}{dx} = e^x \).

Correction

La solution est \( y = \int e^x \, dx = e^x + C \).

34. Équations Différentielles Linéaires

Méthode

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme :

\( \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) \).

Pour la résoudre, on peut utiliser un facteur intégrant \( \mu(x) = e^{\int p(x)dx} \), puis multiplier l’équation par \( \mu(x) \) pour la simplifier.

Exercice

Résolvez l’équation différentielle \( \frac{dy}{dx} + 2y = e^x \).

Correction

Le facteur intégrant est \( \mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x} \). En multipliant toute l’équation par \( e^{2x} \), on obtient :

\( e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{3x} \).

Ce qui se réécrit \( \frac{d}{dx}(e^{2x}y) = e^x \).

En intégrant des deux côtés, on trouve :

\( e^{2x}y = \int e^x dx = e^x + C \).

Donc, \( y = e^{-x} + Ce^{-2x} \).

35. Fonctions Exponentielles

Méthode

La fonction exponentielle est définie par :

\( f(x) = e^x \).

Elle est dérivable et sa dérivée est égale à elle-même :

\( f'(x) = e^x \).

Exercice

Calculez la dérivée de \( f(x) = 5e^{2x} \).

Correction

La dérivée de \( f(x) = 5e^{2x} \) est \( f'(x) = 10e^{2x} \), car \( \frac{d}{dx}(e^{kx}) = ke^{kx} \).

Exercice

Résolvez l’équation \( e^{2x} = 7 \).

Correction

Prenez le logarithme des deux côtés :

\( \ln(e^{2x}) = \ln(7) \implies 2x = \ln(7) \implies x = \frac{\ln(7)}{2} \).

36. Fonctions Logarithmiques

Méthode

La fonction logarithme naturel est définie pour \( x > 0 \) et notée \( \ln(x) \). Elle a pour dérivée :

\( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \).

Exercice

Calculez la dérivée de \( f(x) = \ln(3x) \).

Correction

La dérivée de \( f(x) = \ln(3x) \) est :

\( f'(x) = \frac{1}{3x} \times 3 = \frac{1}{x} \).

Exercice

Résolvez l’équation \( \ln(x) = 5 \).

Correction

Exponentiez les deux côtés :

\( e^{\ln(x)} = e^5 \implies x = e^5 \).

37. Transformations d’Intégrales par Changement de Variables

Méthode

Pour résoudre certaines intégrales, il est utile de faire un changement de variable. Si \( u = g(x) \), alors :

\( \int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(u)\, du \).

Exercice

Calculez \( \int x e^{x^2} \, dx \) par changement de variable.

Correction

Faisons le changement de variable \( u = x^2 \), donc \( du = 2x \, dx \). On obtient :

\( \int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \).

38. Résolution de Systèmes Différentiels

Méthode

Un système d’équations différentielles est un ensemble de plusieurs équations différentielles. Pour le résoudre, on peut utiliser des méthodes d’intégration ou de diagonalisation des matrices. Par exemple :

\( \frac{dx}{dt} = x + y \quad \text{et} \quad \frac{dy}{dt} = x – y \).

Exercice

Résolvez le système différentiel :

\( \frac{dx}{dt} = x + 2y \quad \text{et} \quad \frac{dy}{dt} = 2x + y \).

Correction

On peut essayer de résoudre ce système en additionnant et en soustrayant les équations, ou en cherchant des solutions sous forme exponentielle.

Ici, nous allons faire un changement de variables en diagonalisation.

39. Probabilités

Définition

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1, qui mesure la chance que cet événement se produise. La somme des probabilités de tous les événements possibles dans une expérience est égale à 1.

Méthode

Les formules de base des probabilités incluent :

  • \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) : La probabilité de l’union de deux événements.
  • \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \) : La probabilité de l’intersection de deux événements (événements dépendants).

Exercice

Dans une urne contenant 3 boules rouges, 2 bleues et 5 vertes, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ou une boule bleue ?

Correction

Le nombre total de boules est \( 3 + 2 + 5 = 10 \).

La probabilité de tirer une boule rouge est \( P(\text{rouge}) = \frac{3}{10} \), et celle de tirer une boule bleue est \( P(\text{bleue}) = \frac{2}{10} \).

Comme les événements sont disjoints (il n’y a pas de boule à la fois rouge et bleue), on a :

\( P(\text{rouge} \cup \text{bleue}) = P(\text{rouge}) + P(\text{bleue}) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = 0,5 \).

40. Loi Binomiale

Méthode

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une expérience répétée \( n \) fois, avec une probabilité de succès \( p \) à chaque essai. La probabilité d’obtenir exactement \( k \) succès est donnée par la formule :

\( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n-k} \),

où \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) est le coefficient binomial.

Exercice

On lance une pièce équilibrée 5 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 faces ?

Correction

Le nombre total de lancers est \( n = 5 \), la probabilité de succès (obtenir une face) est \( p = \frac{1}{2} \), et nous cherchons la probabilité d’obtenir \( k = 3 \) succès.

La probabilité est donnée par :

\( P(X = 3) = \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^{5-3} = \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^5 \).

On calcule \( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10 \), donc :

\( P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0,3125 \).

41. Variance et Espérance

Définitions

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète \( X \) est la somme pondérée de toutes ses valeurs possibles, donnée par :

\( E(X) = \sum x_i P(X = x_i) \).

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

\( \text{Var}(X) = E((X – E(X))^2) \).

Exercice

Soit une variable aléatoire \( X \) ayant les valeurs possibles 1, 2, et 3 avec des probabilités respectives de \( \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{2} \), et \( \frac{1}{4} \). Calculez l’espérance et la variance de \( X \).

Correction

L’espérance est :

\( E(X) = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{4} = 2 \).

La variance est :

\( \text{Var}(X) = E(X^2) – (E(X))^2 \),

avec :

\( E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{4} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 3^2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{2} + 9 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 2 + \frac{9}{4} = \frac{20}{4} = 5 \).

Donc, la variance est :

\( \text{Var}(X) = 5 – 2^2 = 5 – 4 = 1 \).

42. Théorème de Bayes

Méthode

Le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité d’un événement \( A \), sachant qu’un autre événement \( B \) est déjà survenu :

\( P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \).

Il est utile pour les événements conditionnels et dans les situations où nous avons des informations supplémentaires.

Exercice

Dans une classe, 30 % des étudiants sont en filière A et 70 % en filière B. La probabilité qu’un étudiant de la filière A réussisse un test est de 80 %, tandis que celle pour un étudiant de la filière B est de 60 %. Sachant qu’un étudiant a réussi le test, quelle est la probabilité qu’il soit de la filière A ?

Correction

Utilisons le théorème de Bayes :

\( P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \),

avec :

\( P(A) = 0,3 \), \( P(B) = 0,7 \), \( P(\text{réussite}|A) = 0,8 \), et \( P(\text{réussite}|B) = 0,6 \).

La probabilité totale de réussite est :

\( P(\text{réussite}) = P(\text{réussite}|A)P(A) + P(\text{réussite}|B)P(B) = 0,8 \times 0,3 + 0,6 \times 0,7 = 0,24 + 0,42 = 0,66 \).

Donc, la probabilité que l’étudiant soit de la filière A sachant qu’il a réussi est :

\( P(A|\text{réussite}) = \frac{0,8 \times 0,3}{0,66} = \frac{0,24}{0,66} \approx 0,364 \).

43. Distributions Normales

Définition

La distribution normale (ou loi normale) est une loi de probabilité continue caractérisée par sa moyenne \( \mu \) et son écart-type \( \sigma \). Elle est souvent appelée courbe en cloche, avec une densité de probabilité donnée par :

\( f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \).

Exercice

Soit une variable aléatoire \( X \) suivant une loi normale de moyenne \( \mu = 0 \) et d’écart-type \( \sigma = 1 \) (loi normale centrée réduite). Calculez la probabilité que \( X \) soit compris entre -1 et 1.

Correction

Dans une loi normale centrée réduite, la probabilité que \( X \) soit compris entre -1 et 1 correspond à environ 68 % de la surface sous la courbe. Donc :

\( P(-1 \leq X \leq 1) \approx 0,68 \).

44. Intervalle de Confiance

Définition

Un intervalle de confiance est une plage de valeurs dans laquelle un paramètre inconnu (comme la moyenne d’une population) est susceptible de se trouver, avec une certaine probabilité (généralement 95 %). Pour une moyenne, l’intervalle de confiance à 95 % est donné par :

\( \left[ \bar{x} – z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \),

où \( \bar{x} \) est la moyenne de l’échantillon, \( z_{\alpha/2} \) est le quantile de la loi normale standardisé, \( \sigma \) est l’écart-type et \( n \) la taille de l’échantillon.

Exercice

Un échantillon de 100 étudiants a une moyenne de 70 avec un écart-type de 10. Calculez l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

Correction

À 95 %, \( z_{\alpha/2} = 1,96 \). L’intervalle de confiance est donc :

\( \left[ 70 – 1,96 \times \frac{10}{\sqrt{100}}, 70 + 1,96 \times \frac{10}{\sqrt{100}} \right] \).

En simplifiant :

\( \left[ 70 – 1,96, 70 + 1,96 \right] = [68,04, 71,96] \).

45. Théorème Central Limite

Méthode

Le théorème central limite stipule que la somme (ou la moyenne) d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, ayant une espérance finie et une variance finie, suit approximativement une loi normale, quel que soit la distribution initiale des variables.

Exercice

Expliquez comment le théorème central limite justifie l’utilisation de la loi normale pour estimer la moyenne d’une population à partir d’un grand échantillon.

Correction

Le théorème central limite nous dit que, pour un échantillon suffisamment grand, la distribution de la moyenne de l’échantillon sera approximativement normale, même si la population elle-même n’est pas normalement distribuée. Cela permet de faire des estimations fiables et de construire des intervalles de confiance basés sur la loi normale.

46. Test d’Hypothèse

Méthode

Le test d’hypothèse permet de vérifier si une affirmation sur une population est vraie en se basant sur des données d’échantillon. On pose une hypothèse nulle \( H_0 \) (qui correspond souvent à l’absence d’effet ou de différence) et une hypothèse alternative \( H_1 \). Le test se base sur le calcul d’une statistique de test et d’un seuil critique.

Exercice

Un fabricant de médicaments affirme que son nouveau médicament réduit la pression artérielle de 10 mmHg en moyenne. Un test est effectué sur 30 patients, et on obtient une réduction moyenne de 9 mmHg avec un écart-type de 2 mmHg. Testez l’hypothèse à un niveau de signification de 5 %.

Correction

Nous testons \( H_0 \) : \( \mu = 10 \) contre \( H_1 \) : \( \mu \neq 10 \) (test bilatéral). La statistique de test est donnée par :

\( z = \frac{\bar{x} – \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{9 – 10}{\frac{2}{\sqrt{30}}} = \frac{-1}{\frac{2}{\sqrt{30}}} \approx -2,74 \).

Le seuil critique pour un niveau de signification de 5 % est \( z_{\alpha/2} = 1,96 \). Comme \( |z| = 2,74 > 1,96 \), nous rejetons l’hypothèse nulle. Le médicament semble donc ne pas réduire la pression artérielle de 10 mmHg en moyenne.

47. Corrélation et Régression

Définitions

La corrélation mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables. Le coefficient de corrélation \( r \) est compris entre -1 et 1 :

  • \( r = 1 \) : Corrélation parfaite positive.
  • \( r = 0 \) : Pas de corrélation linéaire.
  • \( r = -1 \) : Corrélation parfaite négative.

La régression linéaire permet de modéliser la relation entre une variable indépendante \( x \) et une variable dépendante \( y \) à l’aide d’une équation de la forme :

\( y = ax + b \).

Exercice

Les données suivantes représentent le nombre d’heures d’étude et les notes obtenues par 5 étudiants :

Heures d’étude : 2, 4, 6, 8, 10.

Notes : 50, 55, 65, 70, 80.

Calculez le coefficient de corrélation et déterminez l’équation de la droite de régression.

Correction

Le coefficient de corrélation est donné par :

\( r = \frac{n \sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 – (\sum x)^2)(n \sum y^2 – (\sum y)^2)}} \).

Les calculs donneront un coefficient \( r \) proche de 1, indiquant une forte corrélation positive.

L’équation de la droite de régression \( y = ax + b \) peut être déterminée à l’aide de la méthode des moindres carrés.

48. Calculs Combinatoires

Méthode

Le calcul combinatoire est utilisé pour compter le nombre de façons dont un certain nombre d’éléments peuvent être choisis ou arrangés. Les formules importantes incluent :

  • Arrangement : Le nombre de façons d’arranger \( n \) objets distincts est \( n! \).
  • Combinaison : Le nombre de façons de choisir \( k \) objets parmi \( n \) sans tenir compte de l’ordre est donné par \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Exercice

Combien de façons y a-t-il de choisir 3 cartes dans un jeu de 52 cartes ?

Correction

Le nombre de façons de choisir 3 cartes parmi 52 est donné par \( \binom{52}{3} \) :

\( \binom{52}{3} = \frac{52!}{3!(52-3)!} = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100 \).

49. Factorielle et Arrangement

Méthode

La factorielle d’un nombre \( n \), notée \( n! \), est le produit de tous les nombres entiers de 1 à \( n \). Par exemple, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).

Le nombre d’arrangements de \( k \) objets parmi \( n \) est donné par :

\( A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \).

Exercice

Calculez le nombre d’arrangements possibles de 5 lettres parmi les 26 lettres de l’alphabet.

Correction

Le nombre d’arrangements de 5 lettres parmi 26 est donné par \( A_{26,5} = \frac{26!}{(26-5)!} = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22}{1} = 7893600 \).

50. Permutation

Définition

Une permutation est un arrangement d’objets dans un ordre particulier. Le nombre total de permutations de \( n \) objets distincts est \( n! \).

Si certains objets sont identiques, le nombre de permutations est réduit et est donné par :

\( P = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \),

où \( n_1, n_2, \dots, n_k \) représentent les groupes d’objets identiques.

Exercice

Combien y a-t-il de façons d’arranger les lettres du mot « BANANE » ?

Correction

Dans le mot « BANANE », il y a 6 lettres, dont 3 N identiques. Le nombre total de permutations est donné par :

\( P = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120 \).

51. Loi de Poisson

Méthode

La loi de Poisson modélise la probabilité du nombre d’événements qui se produisent dans un intervalle de temps ou d’espace fixe, avec une moyenne \( \lambda \). La probabilité d’observer \( k \) événements est donnée par :

\( P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \).

Exercice

Le nombre moyen de voitures qui passent par un péage est de 5 par minute. Quelle est la probabilité que 7 voitures passent dans une minute donnée ?

Correction

Nous utilisons la loi de Poisson avec \( \lambda = 5 \) et \( k = 7 \) :

\( P(X = 7) = \frac{5^7 e^{-5}}{7!} \).

En simplifiant :

\( P(X = 7) = \frac{78125 \times e^{-5}}{5040} \approx 0,1044 \).

52. Loi Géométrique

Méthode

La loi géométrique modélise le nombre d’essais jusqu’à la première réussite dans une série d’expériences de Bernoulli indépendantes avec une probabilité de succès \( p \). La probabilité d’obtenir la première réussite au \( k \)-ème essai est donnée par :

\( P(X = k) = (1 – p)^{k-1} p \).

Exercice

Si la probabilité de succès à chaque essai est \( p = 0,2 \), quelle est la probabilité que la première réussite ait lieu au 3ème essai ?

Correction

La probabilité est donnée par :

\( P(X = 3) = (1 – 0,2)^{3-1} \times 0,2 = 0,8^2 \times 0,2 = 0,128 \).

53. Approximation de Poisson par la Loi Binomiale

Méthode

Quand \( n \) est grand et \( p \) est petit, la loi binomiale \( B(n, p) \) peut être approximée par la loi de Poisson avec \( \lambda = np \). Cette approximation est utile pour des calculs rapides lorsque \( n \) est grand.

Exercice

Un fabricant d’ampoules produit 1000 ampoules, et chaque ampoule a une probabilité de 0,001 de défaillir. Quelle est la probabilité qu’au plus 2 ampoules soient défaillantes, en utilisant l’approximation de Poisson ?

Correction

Nous avons \( n = 1000 \) et \( p = 0,001 \), donc \( \lambda = np = 1 \). Nous utilisons la loi de Poisson avec \( \lambda = 1 \) :

\( P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \).

Calculons chaque probabilité :

\( P(X = 0) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = e^{-1} \approx 0,3679 \).

\( P(X = 1) = \frac{1^1 e^{-1}}{1!} = e^{-1} \approx 0,3679 \).

\( P(X = 2) = \frac{1^2 e^{-1}}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0,1839 \).

Donc, \( P(X \leq 2) \approx 0,3679 + 0,3679 + 0,1839 = 0,9197 \).

54. Fonction de Répartition

Définition

La fonction de répartition \( F(x) \) d’une variable aléatoire \( X \) est définie par :

\( F(x) = P(X \leq x) \),

c’est-à-dire la probabilité que \( X \) prenne une valeur inférieure ou égale à \( x \). Cette fonction est croissante et continue.

Exercice

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Quelle est la fonction de répartition \( F(x) \) de \( X \) ?

Correction

Pour \( X \sim U(0,1) \), la fonction de répartition est donnée par :

\( F(x) = P(X \leq x) \).

Comme \( X \) suit une loi uniforme, nous avons :

\( F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\ x & \text{si } 0 \leq x \leq 1, \\ 1 & \text{si } x > 1. \end{cases} \).

55. Espérance et Variance d’une Loi de Poisson

Méthode

Pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi de Poisson de paramètre \( \lambda \), l’espérance et la variance sont toutes les deux égales à \( \lambda \) :

\( E(X) = \lambda \quad \text{et} \quad \text{Var}(X) = \lambda \).

Exercice

Une entreprise reçoit en moyenne 4 commandes par jour. Modélisez cette situation avec une loi de Poisson et calculez l’espérance et la variance du nombre de commandes.

Correction

Nous modélisons le nombre de commandes par une loi de Poisson avec \( \lambda = 4 \). L’espérance et la variance sont donc :

\( E(X) = 4 \quad \text{et} \quad \text{Var}(X) = 4 \).

56. Approximation Normale de la Loi Binomiale

Méthode

Lorsque \( n \) est grand, la loi binomiale \( B(n, p) \) peut être approximée par une loi normale \( N(np, \sqrt{np(1-p)}) \). Cette approximation est valable si \( np \geq 5 \) et \( n(1-p) \geq 5 \).

Exercice

Une pièce est lancée 100 fois, et on note la probabilité de succès (face) comme étant \( p = 0,5 \). Utilisez l’approximation normale pour calculer la probabilité d’obtenir entre 40 et 60 faces.

Correction

Pour \( n = 100 \) et \( p = 0,5 \), nous avons :

\( \mu = np = 100 \times 0,5 = 50 \quad \text{et} \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0,5 \times 0,5} = 5 \).

Nous utilisons l’approximation normale pour calculer la probabilité :

\( P(40 \leq X \leq 60) \approx P\left( \frac{40,5 – 50}{5} \leq Z \leq \frac{60,5 – 50}{5} \right) = P(-1,9 \leq Z \leq 2,1) \).

À partir des tables de la loi normale, nous obtenons :

\( P(-1,9 \leq Z \leq 2,1) \approx 0,9713 – 0,0287 = 0,9426 \).

57. Moment d’Ordre k

Définition

Le moment d’ordre \( k \) d’une variable aléatoire \( X \) est défini par :

\( E(X^k) = \int_{-\infty}^{\infty} x^k f_X(x) dx \),

où \( f_X(x) \) est la densité de probabilité de \( X \). Pour une variable discrète, la somme remplace l’intégrale.

Exercice

Calculez le moment d’ordre 2 pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi uniforme sur [0,1].

Correction

Pour \( X \sim U(0,1) \), la densité de probabilité est \( f_X(x) = 1 \) pour \( x \in [0,1] \) et 0 sinon. Le moment d’ordre 2 est donné par :

\( E(X^2) = \int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 = \frac{1}{3} \).