Outils essentiels en maths
1. Calcul fractionnaire
1.1 Addition et soustraction de fractions
Méthode
Pour additionner ou soustraire des fractions, les mettre au même dénominateur :
\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \)
Exercice
Calculez : \( \frac{3}{4} + \frac{2}{5} \).
Correction
Le plus petit commun multiple de 4 et 5 est 20. On a :
\( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} \),
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} \)
Donc,
\( \frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20} \).
Exercice
Calculez : \( \frac{5}{6} – \frac{1}{4} \).
Correction
Le plus petit commun multiple de 6 et 4 est 12. On a :
\( \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} \),
\( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \)
Donc,
\( \frac{5}{6} – \frac{1}{4} = \frac{10}{12} – \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \).
1.2 Multiplication et Division de Fractions
Méthode
Pour multiplier deux fractions :
\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)
Pour diviser deux fractions :
\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \)
Exercice
Calculez : \( \frac{4}{7} \times \frac{3}{5} \).
Correction
\( \frac{4}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{4 \times 3}{7 \times 5} = \frac{12}{35} \).
Exercice
Calculez : \( \frac{2}{9} \div \frac{3}{4} \).
Correction
\( \frac{2}{9} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{9 \times 3} = \frac{8}{27} \).
2. Calculs avec les Racines Carrées
Méthode
Règles de calcul avec les racines carrées :
\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \),
\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \).
Exercice
Simplifiez : \( \sqrt{12} \).
Correction
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).
Exercice
Calculez : \( \sqrt{18} \).
Correction
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
3. Calculs avec les Puissances
Méthode
Règles de calcul avec les puissances :
\( a^m \times a^n = a^{m+n} \),
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \),
\( (a^m)^n = a^{mn} \).
Exercice
Calculez : \( 3^2 \times 3^4 \).
Correction
\( 3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 = 729 \).
4. Les Identités Remarquables
Identités Remarquables
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \),
\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \),
\( (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \).
Exercice
Développez : \( (x + 5)^2 \).
Correction
\( (x + 5)^2 = x^2 + 2 \times 5 \times x + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \).
5. Développement d’Expression à Trois Termes
Méthode
Pour développer une expression du type \( a(b + c + d) \), on utilise la distributivité :
\( a(b + c + d) = ab + ac + ad \).
Exercice
Développez : \( 2x(x + 3 – 4) \).
Correction
\( 2x(x + 3 – 4) = 2x^2 + 2x \times 3 – 2x \times 4 = 2x^2 + 6x – 8x = 2x^2 – 2x \).
6. Factorisation
Méthode
Pour factoriser une expression, chercher un facteur commun :
\( ax + ay = a(x + y) \).
Exercice
Factorisez : \( 3x^2 + 6x \).
Correction
\( 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \).
Exercice
Factorisez : \( 4x^3 – 8x^2 \).
Correction
\( 4x^3 – 8x^2 = 4x^2(x – 2) \).
7. Résolution d’Équations à une Inconnue
Méthode
Pour résoudre une équation du type \( ax + b = 0 \), isoler \( x \) :
\( x = \frac{-b}{a} \).
Exercice
Résolvez : \( 3x – 5 = 0 \).
Correction
\( 3x – 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \).
Exercice
Résolvez : \( 2x + 7 = 3 \).
Correction
\( 2x + 7 = 3 \implies 2x = 3 – 7 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \).
8. Résolution d’Inéquations à une Inconnue
Méthode
Pour résoudre une inéquation, isoler \( x \) et appliquer les règles des signes. Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, l’inéquation change de sens.
Exercice
Résolvez : \( 2x – 3 > 1 \).
Correction
\( 2x – 3 > 1 \implies 2x > 4 \implies x > 2 \).
Exercice
Résolvez : \( -3x + 4 \leq 7 \).
Correction
\( -3x + 4 \leq 7 \implies -3x \leq 3 \implies x \geq -1 \).
9. Résolution d’Équations Produits Nuls
Méthode
Pour résoudre \( a \times b = 0 \), on utilise :
\( a = 0 \) ou \( b = 0 \).
Exercice
Résolvez : \( x(x – 5) = 0 \).
Correction
\( x(x – 5) = 0 \implies x = 0 \) ou \( x – 5 = 0 \implies x = 5 \).
Donc, \( x = 0 \) ou \( x = 5 \).
10. Résolution d’un Système à Deux Inconnues par Combinaison
Méthode
Pour résoudre un système à deux équations :
- Multipliez une ou les deux équations pour avoir un coefficient commun pour l’une des variables.
- Additionnez ou soustrayez les équations pour éliminer une des variables.
- Résolvez l’équation obtenue.
- Remplacez la solution dans l’une des équations initiales pour trouver l’autre variable.
Exercice
Résoudre le système :
\( \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x – 3y = 1 \end{cases} \).
Correction
Additionnons les deux équations pour éliminer \( y \) :
\( (2x + 3y) + (4x – 3y) = 7 + 1 \implies 6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).
Substituons \( x = \frac{4}{3} \) dans la première équation :
\( 2 \times \frac{4}{3} + 3y = 7 \implies \frac{8}{3} + 3y = 7 \implies 3y = 7 – \frac{8}{3} = \frac{13}{3} \implies y = \frac{13}{9} \).
Donc, \( x = \frac{4}{3} \) et \( y = \frac{13}{9} \).
11. Résolution d’un Système à Trois Inconnues
Méthode
Pour résoudre un système à trois inconnues, on utilise les étapes suivantes :
- Éliminer une inconnue à l’aide des équations, pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues.
- Résoudre le système obtenu par combinaison.
- Remonter pour trouver les autres inconnues.
Exercice
Résoudre le système :
\( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + 3z = 14 \\ -x + 4y – z = -2 \end{cases} \).
Correction
Étape 1 : Éliminons \( z \) en combinant les équations. Additionnons l’équation 1 et 2 :
\( (x + y + z) + (2x – y + 3z) = 6 + 14 \implies 3x + 4z = 20 \).
Utilisons une autre combinaison pour éliminer \( z \) :
\( (x + y + z) – (-x + 4y – z) = 6 + 2 \implies 2x – 3y + 2z = 8 \).
On obtient maintenant un système de deux équations à deux inconnues :
\( \begin{cases} 3x + 4z = 20 \\ 2x – 3y + 2z = 8 \end{cases} \).
Continuons la résolution pour obtenir les valeurs de \( x \), \( y \) et \( z \).
12. Fonctions Linéaires
Définition
Une fonction linéaire est une fonction de la forme \( f(x) = ax \), où \( a \) est une constante.
Méthode
Pour calculer l’image d’un nombre \( x \) par une fonction linéaire \( f(x) = ax \), il suffit de multiplier \( x \) par \( a \) :
\( f(x) = ax \).
Exercice
Pour la fonction \( f(x) = 3x \), calculez les images de \( -2 \), \( 0 \), et \( 5 \).
Correction
\( f(-2) = 3 \times (-2) = -6 \),
\( f(0) = 3 \times 0 = 0 \),
\( f(5) = 3 \times 5 = 15 \).
13. Fonctions Affines
Définition
Une fonction affine est une fonction de la forme \( f(x) = ax + b \), où \( a \) et \( b \) sont des constantes.
Méthode
Pour calculer l’image d’un nombre \( x \) par une fonction affine \( f(x) = ax + b \), remplacez \( x \) par sa valeur :
\( f(x) = ax + b \).
Exercice
Pour la fonction \( f(x) = 2x + 3 \), calculez les images de \( -1 \), \( 0 \), et \( 4 \).
Correction
\( f(-1) = 2 \times (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \),
\( f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3 \),
\( f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \).
14. Antécédents et Images
Méthode
L’image d’un nombre \( x \) par une fonction \( f \) est \( f(x) \). L’antécédent d’un nombre \( y \) est le nombre \( x \) tel que \( f(x) = y \).
Exercice
Pour la fonction \( f(x) = 5x – 7 \), calculez l’image de 3 et l’antécédent de 8.
Correction
Image : \( f(3) = 5 \times 3 – 7 = 15 – 7 = 8 \).
Antécédent : On cherche \( x \) tel que \( 5x – 7 = 8 \). On a :
\( 5x = 8 + 7 = 15 \implies x = \frac{15}{5} = 3 \).
15. Étude du Signe d’une Expression Factorisée
Méthode
Pour étudier le signe d’une expression factorisée de la forme \( f(x) = (x – a)(x – b) \) :
- Identifiez les racines \( a \) et \( b \).
- Tracez le tableau de signe en fonction des variations du produit.
Exercice
Étudiez le signe de \( f(x) = (x – 2)(x + 3) \).
Correction
Les racines sont \( x = 2 \) et \( x = -3 \). Tableau de signes :
x | \(-\infty\) | \(-3\) | \(2\) | \(+\infty\) |
---|---|---|---|---|
\( (x – 2) \) | – | – | 0 | + |
\( (x + 3) \) | – | 0 | + | + |
\( f(x) \) | + | 0 | – | + |
16. Logarithmes et Exponentielles
Définition
Le logarithme décimal \( \log(x) \) est défini pour \( x > 0 \). Le logarithme naturel est noté \( \ln(x) \).
La fonction exponentielle \( e^x \) est l’inverse de la fonction logarithmique \( \ln(x) \).
Propriétés
- \( \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) \)
- \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \)
- \( \ln(a^n) = n \times \ln(a) \)
- \( e^{\ln(a)} = a \)
Exercice
Simplifiez \( \ln(2) + \ln(5) \).
Correction
\( \ln(2) + \ln(5) = \ln(2 \times 5) = \ln(10) \).
Exercice
Calculez \( e^{2\ln(3)} \).
Correction
\( e^{2\ln(3)} = (e^{\ln(3)})^2 = 3^2 = 9 \).
17. Calcul de Dérivées
Formules de Dérivation
- \( \frac{d}{dx}(x^n) = n \times x^{n-1} \)
- \( \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \)
- \( \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \)
- \( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \)
Exercice
Calculez la dérivée de \( f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 7 \).
Correction
\( f'(x) = 3x^2 + 4x – 5 \).
18. Intégrales Simples
Formules d’Intégration
- \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) pour \( n \neq -1 \)
- \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)
Exercice
Calculez l’intégrale de \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 \).
Correction
\( \int (2x^3 + 5x^2) \, dx = \frac{2x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + C = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} + C \).
19. Calcul Vectoriel
Propriétés des Vecteurs
Un vecteur \( \overrightarrow{u} \) a une norme, une direction et un sens. La somme de deux vecteurs se fait en additionnant leurs coordonnées.
Exercice
Soient \( \overrightarrow{u}(2, 3) \) et \( \overrightarrow{v}(1, -1) \). Calculez \( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \).
Correction
\( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2 + 1, 3 – 1) = (3, 2) \).
Exercice
Calculez la norme de \( \overrightarrow{u} \).
Correction
\( ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).
20. Produit Scalaire
Propriétés du Produit Scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs \( \overrightarrow{u}(x_1, y_1) \) et \( \overrightarrow{v}(x_2, y_2) \) est donné par :
\( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \).
Exercice
Calculez le produit scalaire de \( \overrightarrow{u}(2, 3) \) et \( \overrightarrow{v}(4, 1) \).
Correction
\( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = 11 \).
21. Calculs avec les Matrices
Méthode
Une matrice est un tableau de nombres. Les opérations sur les matrices incluent l’addition, la multiplication et la transposition.
Pour additionner deux matrices, on additionne les éléments correspondants. Pour multiplier deux matrices \( A \) et \( B \), on utilise la règle suivante :
\( (AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj} \).
Exercice
Soient \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \). Calculez \( A + B \) et \( AB \).
Correction
\( A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \).
Pour \( AB \) :
\( AB = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \).
22. Déterminants et Inverses de Matrices
Déterminant d’une Matrice 2×2
Le déterminant d’une matrice 2×2 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) est donné par :
\( \det(A) = ad – bc \).
Exercice
Calculez le déterminant de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \).
Correction
\( \det(A) = 2 \times 4 – 3 \times 1 = 8 – 3 = 5 \).
Inverse d’une Matrice 2×2
Si \( \det(A) \neq 0 \), l’inverse d’une matrice \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) est donné par :
\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).
Exercice
Trouvez l’inverse de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \).
Correction
Le déterminant est \( \det(A) = 5 \). L’inverse est donc :
\( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \).
23. Résolution de Systèmes Linéaires par Matrices
Méthode
Pour résoudre un système linéaire \( AX = B \), où \( A \) est une matrice et \( X \) et \( B \) sont des vecteurs, on peut écrire la solution sous la forme \( X = A^{-1}B \), si \( A \) est inversible.
Exercice
Résolvez le système suivant à l’aide des matrices :
\( \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x + 4y = 7 \end{cases} \).
Correction
Le système peut être réécrit sous la forme matricielle \( AX = B \), où :
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} \).
Nous avons trouvé précédemment que \( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \).
La solution est donc :
\( X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4 \times 8 – 3 \times 7}{5} \\ \frac{-1 \times 8 + 2 \times 7}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Donc, \( x = 1 \) et \( y = 2 \).
24. Trigonométrie
Méthode
Les fonctions trigonométriques usuelles incluent le sinus, le cosinus et la tangente. Les relations trigonométriques importantes sont :
- \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)
- \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
Exercice
Calculez \( \sin(30^\circ) \), \( \cos(60^\circ) \), et \( \tan(45^\circ) \).
Correction
\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), et \( \tan(45^\circ) = 1 \).
25. Identités Trigonométriques
Identités Importantes
- \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)
- \( \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \)
- \( \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 – \tan^2(x)} \)
Exercice
Calculez \( \sin(60^\circ) \) en utilisant l’identité \( \sin(2x) \).
Correction
On sait que \( \sin(60^\circ) = \sin(2 \times 30^\circ) = 2\sin(30^\circ)\cos(30^\circ) \).
Or, \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) et \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), donc :
\( \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
26. Les Angles Associés
Méthode
Les angles associés sont définis par des relations telles que :
- \( \sin(180^\circ – x) = \sin(x) \)
- \( \cos(180^\circ – x) = -\cos(x) \)
- \( \tan(180^\circ – x) = -\tan(x) \)
Exercice
Calculez \( \cos(120^\circ) \) en utilisant les angles associés.
Correction
\( \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ – 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \).
27. Formules d’Addition et de Soustraction
Méthode
Les formules d’addition et de soustraction des angles sont :
- \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
- \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b) \)
- \( \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)} \)
Exercice
Calculez \( \sin(75^\circ) \) en utilisant la formule \( \sin(a + b) \).
Correction
\( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \).
Or, \( \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), et \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \). Donc :
\( \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).
28. Équations Trigonométriques
Méthode
Pour résoudre une équation trigonométrique, utilisez les identités trigonométriques et les formules d’addition et de soustraction. Par exemple, pour résoudre \( \sin(x) = k \), on a :
- Si \( |k| \leq 1 \), alors \( x = \arcsin(k) + 2k\pi \) ou \( x = \pi – \arcsin(k) + 2k\pi \).
Exercice
Résolvez \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) pour \( x \) dans \( [0, 2\pi] \).
Correction
\( \sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \).
Donc, les solutions dans \( [0, 2\pi] \) sont \( x = \frac{\pi}{6} \) et \( x = \frac{5\pi}{6} \).
29. Calcul d’Intégrales Trigonométriques
Méthode
Pour calculer des intégrales impliquant des fonctions trigonométriques, on utilise les formules suivantes :
- \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \)
- \( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \)
- \( \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \)
Exercice
Calculez \( \int \sin(x) \, dx \).
Correction
\( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \).
Exercice
Calculez \( \int \cos(x) \, dx \).
Correction
\( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \).
30. Calcul d’Intégrales avec Puissances
Méthode
Pour calculer des intégrales de fonctions puissances, utilisez la formule :
\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) pour \( n \neq -1 \).
Exercice
Calculez \( \int x^3 \, dx \).
Correction
\( \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \).
Exercice
Calculez \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \).
Correction
\( \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \).
31. Primitives et Intégrales Indéfinies
Méthode
Une primitive d’une fonction \( f(x) \) est une fonction \( F(x) \) telle que \( F'(x) = f(x) \). L’intégrale indéfinie d’une fonction est la famille de toutes ses primitives, notée \( \int f(x) \, dx \).
Exercice
Trouvez une primitive de la fonction \( f(x) = 2x \).
Correction
Une primitive de \( f(x) = 2x \) est \( F(x) = x^2 + C \).
32. Calcul de Limites
Méthode
Pour calculer les limites, utilisez les règles suivantes :
- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \)
- \( \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \)
Exercice
Calculez \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \).
Correction
Utilisons le fait que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). On a :
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \times 1 = 3 \).
Exercice
Calculez \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} \).
Correction
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0 \), car plus \( x \) augmente, plus \( \frac{1}{x^2} \) tend vers 0.
33. Résolution d’Équations Différentielles
Méthode
Une équation différentielle est une équation qui implique une ou plusieurs dérivées d’une fonction inconnue. Pour résoudre une équation différentielle du type :
\( \frac{dy}{dx} = f(x) \),
On cherche la primitive de \( f(x) \).
Exercice
Résolvez \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \).
Correction
La solution est \( y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \).
Exercice
Résolvez \( \frac{dy}{dx} = e^x \).
Correction
La solution est \( y = \int e^x \, dx = e^x + C \).
34. Équations Différentielles Linéaires
Méthode
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme :
\( \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) \).
Pour la résoudre, on peut utiliser un facteur intégrant \( \mu(x) = e^{\int p(x)dx} \), puis multiplier l’équation par \( \mu(x) \) pour la simplifier.
Exercice
Résolvez l’équation différentielle \( \frac{dy}{dx} + 2y = e^x \).
Correction
Le facteur intégrant est \( \mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x} \). En multipliant toute l’équation par \( e^{2x} \), on obtient :
\( e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{3x} \).
Ce qui se réécrit \( \frac{d}{dx}(e^{2x}y) = e^x \).
En intégrant des deux côtés, on trouve :
\( e^{2x}y = \int e^x dx = e^x + C \).
Donc, \( y = e^{-x} + Ce^{-2x} \).
35. Fonctions Exponentielles
Méthode
La fonction exponentielle est définie par :
\( f(x) = e^x \).
Elle est dérivable et sa dérivée est égale à elle-même :
\( f'(x) = e^x \).
Exercice
Calculez la dérivée de \( f(x) = 5e^{2x} \).
Correction
La dérivée de \( f(x) = 5e^{2x} \) est \( f'(x) = 10e^{2x} \), car \( \frac{d}{dx}(e^{kx}) = ke^{kx} \).
Exercice
Résolvez l’équation \( e^{2x} = 7 \).
Correction
Prenez le logarithme des deux côtés :
\( \ln(e^{2x}) = \ln(7) \implies 2x = \ln(7) \implies x = \frac{\ln(7)}{2} \).
36. Fonctions Logarithmiques
Méthode
La fonction logarithme naturel est définie pour \( x > 0 \) et notée \( \ln(x) \). Elle a pour dérivée :
\( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \).
Exercice
Calculez la dérivée de \( f(x) = \ln(3x) \).
Correction
La dérivée de \( f(x) = \ln(3x) \) est :
\( f'(x) = \frac{1}{3x} \times 3 = \frac{1}{x} \).
Exercice
Résolvez l’équation \( \ln(x) = 5 \).
Correction
Exponentiez les deux côtés :
\( e^{\ln(x)} = e^5 \implies x = e^5 \).
37. Transformations d’Intégrales par Changement de Variables
Méthode
Pour résoudre certaines intégrales, il est utile de faire un changement de variable. Si \( u = g(x) \), alors :
\( \int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(u)\, du \).
Exercice
Calculez \( \int x e^{x^2} \, dx \) par changement de variable.
Correction
Faisons le changement de variable \( u = x^2 \), donc \( du = 2x \, dx \). On obtient :
\( \int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \).
38. Résolution de Systèmes Différentiels
Méthode
Un système d’équations différentielles est un ensemble de plusieurs équations différentielles. Pour le résoudre, on peut utiliser des méthodes d’intégration ou de diagonalisation des matrices. Par exemple :
\( \frac{dx}{dt} = x + y \quad \text{et} \quad \frac{dy}{dt} = x – y \).
Exercice
Résolvez le système différentiel :
\( \frac{dx}{dt} = x + 2y \quad \text{et} \quad \frac{dy}{dt} = 2x + y \).
Correction
On peut essayer de résoudre ce système en additionnant et en soustrayant les équations, ou en cherchant des solutions sous forme exponentielle.
Ici, nous allons faire un changement de variables en diagonalisation.
39. Probabilités
Définition
La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1, qui mesure la chance que cet événement se produise. La somme des probabilités de tous les événements possibles dans une expérience est égale à 1.
Méthode
Les formules de base des probabilités incluent :
- \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) : La probabilité de l’union de deux événements.
- \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \) : La probabilité de l’intersection de deux événements (événements dépendants).
Exercice
Dans une urne contenant 3 boules rouges, 2 bleues et 5 vertes, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ou une boule bleue ?
Correction
Le nombre total de boules est \( 3 + 2 + 5 = 10 \).
La probabilité de tirer une boule rouge est \( P(\text{rouge}) = \frac{3}{10} \), et celle de tirer une boule bleue est \( P(\text{bleue}) = \frac{2}{10} \).
Comme les événements sont disjoints (il n’y a pas de boule à la fois rouge et bleue), on a :
\( P(\text{rouge} \cup \text{bleue}) = P(\text{rouge}) + P(\text{bleue}) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = 0,5 \).
40. Loi Binomiale
Méthode
La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une expérience répétée \( n \) fois, avec une probabilité de succès \( p \) à chaque essai. La probabilité d’obtenir exactement \( k \) succès est donnée par la formule :
\( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n-k} \),
où \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) est le coefficient binomial.
Exercice
On lance une pièce équilibrée 5 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 faces ?
Correction
Le nombre total de lancers est \( n = 5 \), la probabilité de succès (obtenir une face) est \( p = \frac{1}{2} \), et nous cherchons la probabilité d’obtenir \( k = 3 \) succès.
La probabilité est donnée par :
\( P(X = 3) = \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^{5-3} = \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^5 \).
On calcule \( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10 \), donc :
\( P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0,3125 \).
41. Variance et Espérance
Définitions
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète \( X \) est la somme pondérée de toutes ses valeurs possibles, donnée par :
\( E(X) = \sum x_i P(X = x_i) \).
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :
\( \text{Var}(X) = E((X – E(X))^2) \).
Exercice
Soit une variable aléatoire \( X \) ayant les valeurs possibles 1, 2, et 3 avec des probabilités respectives de \( \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{2} \), et \( \frac{1}{4} \). Calculez l’espérance et la variance de \( X \).
Correction
L’espérance est :
\( E(X) = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{4} = 2 \).
La variance est :
\( \text{Var}(X) = E(X^2) – (E(X))^2 \),
avec :
\( E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{4} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 3^2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{2} + 9 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 2 + \frac{9}{4} = \frac{20}{4} = 5 \).
Donc, la variance est :
\( \text{Var}(X) = 5 – 2^2 = 5 – 4 = 1 \).
42. Théorème de Bayes
Méthode
Le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité d’un événement \( A \), sachant qu’un autre événement \( B \) est déjà survenu :
\( P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \).
Il est utile pour les événements conditionnels et dans les situations où nous avons des informations supplémentaires.
Exercice
Dans une classe, 30 % des étudiants sont en filière A et 70 % en filière B. La probabilité qu’un étudiant de la filière A réussisse un test est de 80 %, tandis que celle pour un étudiant de la filière B est de 60 %. Sachant qu’un étudiant a réussi le test, quelle est la probabilité qu’il soit de la filière A ?
Correction
Utilisons le théorème de Bayes :
\( P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \),
avec :
\( P(A) = 0,3 \), \( P(B) = 0,7 \), \( P(\text{réussite}|A) = 0,8 \), et \( P(\text{réussite}|B) = 0,6 \).
La probabilité totale de réussite est :
\( P(\text{réussite}) = P(\text{réussite}|A)P(A) + P(\text{réussite}|B)P(B) = 0,8 \times 0,3 + 0,6 \times 0,7 = 0,24 + 0,42 = 0,66 \).
Donc, la probabilité que l’étudiant soit de la filière A sachant qu’il a réussi est :
\( P(A|\text{réussite}) = \frac{0,8 \times 0,3}{0,66} = \frac{0,24}{0,66} \approx 0,364 \).
43. Distributions Normales
Définition
La distribution normale (ou loi normale) est une loi de probabilité continue caractérisée par sa moyenne \( \mu \) et son écart-type \( \sigma \). Elle est souvent appelée courbe en cloche, avec une densité de probabilité donnée par :
\( f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \).
Exercice
Soit une variable aléatoire \( X \) suivant une loi normale de moyenne \( \mu = 0 \) et d’écart-type \( \sigma = 1 \) (loi normale centrée réduite). Calculez la probabilité que \( X \) soit compris entre -1 et 1.
Correction
Dans une loi normale centrée réduite, la probabilité que \( X \) soit compris entre -1 et 1 correspond à environ 68 % de la surface sous la courbe. Donc :
\( P(-1 \leq X \leq 1) \approx 0,68 \).
44. Intervalle de Confiance
Définition
Un intervalle de confiance est une plage de valeurs dans laquelle un paramètre inconnu (comme la moyenne d’une population) est susceptible de se trouver, avec une certaine probabilité (généralement 95 %). Pour une moyenne, l’intervalle de confiance à 95 % est donné par :
\( \left[ \bar{x} – z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \),
où \( \bar{x} \) est la moyenne de l’échantillon, \( z_{\alpha/2} \) est le quantile de la loi normale standardisé, \( \sigma \) est l’écart-type et \( n \) la taille de l’échantillon.
Exercice
Un échantillon de 100 étudiants a une moyenne de 70 avec un écart-type de 10. Calculez l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
Correction
À 95 %, \( z_{\alpha/2} = 1,96 \). L’intervalle de confiance est donc :
\( \left[ 70 – 1,96 \times \frac{10}{\sqrt{100}}, 70 + 1,96 \times \frac{10}{\sqrt{100}} \right] \).
En simplifiant :
\( \left[ 70 – 1,96, 70 + 1,96 \right] = [68,04, 71,96] \).
45. Théorème Central Limite
Méthode
Le théorème central limite stipule que la somme (ou la moyenne) d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, ayant une espérance finie et une variance finie, suit approximativement une loi normale, quel que soit la distribution initiale des variables.
Exercice
Expliquez comment le théorème central limite justifie l’utilisation de la loi normale pour estimer la moyenne d’une population à partir d’un grand échantillon.
Correction
Le théorème central limite nous dit que, pour un échantillon suffisamment grand, la distribution de la moyenne de l’échantillon sera approximativement normale, même si la population elle-même n’est pas normalement distribuée. Cela permet de faire des estimations fiables et de construire des intervalles de confiance basés sur la loi normale.
46. Test d’Hypothèse
Méthode
Le test d’hypothèse permet de vérifier si une affirmation sur une population est vraie en se basant sur des données d’échantillon. On pose une hypothèse nulle \( H_0 \) (qui correspond souvent à l’absence d’effet ou de différence) et une hypothèse alternative \( H_1 \). Le test se base sur le calcul d’une statistique de test et d’un seuil critique.
Exercice
Un fabricant de médicaments affirme que son nouveau médicament réduit la pression artérielle de 10 mmHg en moyenne. Un test est effectué sur 30 patients, et on obtient une réduction moyenne de 9 mmHg avec un écart-type de 2 mmHg. Testez l’hypothèse à un niveau de signification de 5 %.
Correction
Nous testons \( H_0 \) : \( \mu = 10 \) contre \( H_1 \) : \( \mu \neq 10 \) (test bilatéral). La statistique de test est donnée par :
\( z = \frac{\bar{x} – \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{9 – 10}{\frac{2}{\sqrt{30}}} = \frac{-1}{\frac{2}{\sqrt{30}}} \approx -2,74 \).
Le seuil critique pour un niveau de signification de 5 % est \( z_{\alpha/2} = 1,96 \). Comme \( |z| = 2,74 > 1,96 \), nous rejetons l’hypothèse nulle. Le médicament semble donc ne pas réduire la pression artérielle de 10 mmHg en moyenne.
47. Corrélation et Régression
Définitions
La corrélation mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables. Le coefficient de corrélation \( r \) est compris entre -1 et 1 :
- \( r = 1 \) : Corrélation parfaite positive.
- \( r = 0 \) : Pas de corrélation linéaire.
- \( r = -1 \) : Corrélation parfaite négative.
La régression linéaire permet de modéliser la relation entre une variable indépendante \( x \) et une variable dépendante \( y \) à l’aide d’une équation de la forme :
\( y = ax + b \).
Exercice
Les données suivantes représentent le nombre d’heures d’étude et les notes obtenues par 5 étudiants :
Heures d’étude : 2, 4, 6, 8, 10.
Notes : 50, 55, 65, 70, 80.
Calculez le coefficient de corrélation et déterminez l’équation de la droite de régression.
Correction
Le coefficient de corrélation est donné par :
\( r = \frac{n \sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 – (\sum x)^2)(n \sum y^2 – (\sum y)^2)}} \).
Les calculs donneront un coefficient \( r \) proche de 1, indiquant une forte corrélation positive.
L’équation de la droite de régression \( y = ax + b \) peut être déterminée à l’aide de la méthode des moindres carrés.
48. Calculs Combinatoires
Méthode
Le calcul combinatoire est utilisé pour compter le nombre de façons dont un certain nombre d’éléments peuvent être choisis ou arrangés. Les formules importantes incluent :
- Arrangement : Le nombre de façons d’arranger \( n \) objets distincts est \( n! \).
- Combinaison : Le nombre de façons de choisir \( k \) objets parmi \( n \) sans tenir compte de l’ordre est donné par \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Exercice
Combien de façons y a-t-il de choisir 3 cartes dans un jeu de 52 cartes ?
Correction
Le nombre de façons de choisir 3 cartes parmi 52 est donné par \( \binom{52}{3} \) :
\( \binom{52}{3} = \frac{52!}{3!(52-3)!} = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100 \).
49. Factorielle et Arrangement
Méthode
La factorielle d’un nombre \( n \), notée \( n! \), est le produit de tous les nombres entiers de 1 à \( n \). Par exemple, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).
Le nombre d’arrangements de \( k \) objets parmi \( n \) est donné par :
\( A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \).
Exercice
Calculez le nombre d’arrangements possibles de 5 lettres parmi les 26 lettres de l’alphabet.
Correction
Le nombre d’arrangements de 5 lettres parmi 26 est donné par \( A_{26,5} = \frac{26!}{(26-5)!} = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22}{1} = 7893600 \).
50. Permutation
Définition
Une permutation est un arrangement d’objets dans un ordre particulier. Le nombre total de permutations de \( n \) objets distincts est \( n! \).
Si certains objets sont identiques, le nombre de permutations est réduit et est donné par :
\( P = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \),
où \( n_1, n_2, \dots, n_k \) représentent les groupes d’objets identiques.
Exercice
Combien y a-t-il de façons d’arranger les lettres du mot « BANANE » ?
Correction
Dans le mot « BANANE », il y a 6 lettres, dont 3 N identiques. Le nombre total de permutations est donné par :
\( P = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120 \).
51. Loi de Poisson
Méthode
La loi de Poisson modélise la probabilité du nombre d’événements qui se produisent dans un intervalle de temps ou d’espace fixe, avec une moyenne \( \lambda \). La probabilité d’observer \( k \) événements est donnée par :
\( P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \).
Exercice
Le nombre moyen de voitures qui passent par un péage est de 5 par minute. Quelle est la probabilité que 7 voitures passent dans une minute donnée ?
Correction
Nous utilisons la loi de Poisson avec \( \lambda = 5 \) et \( k = 7 \) :
\( P(X = 7) = \frac{5^7 e^{-5}}{7!} \).
En simplifiant :
\( P(X = 7) = \frac{78125 \times e^{-5}}{5040} \approx 0,1044 \).
52. Loi Géométrique
Méthode
La loi géométrique modélise le nombre d’essais jusqu’à la première réussite dans une série d’expériences de Bernoulli indépendantes avec une probabilité de succès \( p \). La probabilité d’obtenir la première réussite au \( k \)-ème essai est donnée par :
\( P(X = k) = (1 – p)^{k-1} p \).
Exercice
Si la probabilité de succès à chaque essai est \( p = 0,2 \), quelle est la probabilité que la première réussite ait lieu au 3ème essai ?
Correction
La probabilité est donnée par :
\( P(X = 3) = (1 – 0,2)^{3-1} \times 0,2 = 0,8^2 \times 0,2 = 0,128 \).
53. Approximation de Poisson par la Loi Binomiale
Méthode
Quand \( n \) est grand et \( p \) est petit, la loi binomiale \( B(n, p) \) peut être approximée par la loi de Poisson avec \( \lambda = np \). Cette approximation est utile pour des calculs rapides lorsque \( n \) est grand.
Exercice
Un fabricant d’ampoules produit 1000 ampoules, et chaque ampoule a une probabilité de 0,001 de défaillir. Quelle est la probabilité qu’au plus 2 ampoules soient défaillantes, en utilisant l’approximation de Poisson ?
Correction
Nous avons \( n = 1000 \) et \( p = 0,001 \), donc \( \lambda = np = 1 \). Nous utilisons la loi de Poisson avec \( \lambda = 1 \) :
\( P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \).
Calculons chaque probabilité :
\( P(X = 0) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = e^{-1} \approx 0,3679 \).
\( P(X = 1) = \frac{1^1 e^{-1}}{1!} = e^{-1} \approx 0,3679 \).
\( P(X = 2) = \frac{1^2 e^{-1}}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0,1839 \).
Donc, \( P(X \leq 2) \approx 0,3679 + 0,3679 + 0,1839 = 0,9197 \).
54. Fonction de Répartition
Définition
La fonction de répartition \( F(x) \) d’une variable aléatoire \( X \) est définie par :
\( F(x) = P(X \leq x) \),
c’est-à-dire la probabilité que \( X \) prenne une valeur inférieure ou égale à \( x \). Cette fonction est croissante et continue.
Exercice
Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Quelle est la fonction de répartition \( F(x) \) de \( X \) ?
Correction
Pour \( X \sim U(0,1) \), la fonction de répartition est donnée par :
\( F(x) = P(X \leq x) \).
Comme \( X \) suit une loi uniforme, nous avons :
\( F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\ x & \text{si } 0 \leq x \leq 1, \\ 1 & \text{si } x > 1. \end{cases} \).
55. Espérance et Variance d’une Loi de Poisson
Méthode
Pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi de Poisson de paramètre \( \lambda \), l’espérance et la variance sont toutes les deux égales à \( \lambda \) :
\( E(X) = \lambda \quad \text{et} \quad \text{Var}(X) = \lambda \).
Exercice
Une entreprise reçoit en moyenne 4 commandes par jour. Modélisez cette situation avec une loi de Poisson et calculez l’espérance et la variance du nombre de commandes.
Correction
Nous modélisons le nombre de commandes par une loi de Poisson avec \( \lambda = 4 \). L’espérance et la variance sont donc :
\( E(X) = 4 \quad \text{et} \quad \text{Var}(X) = 4 \).
56. Approximation Normale de la Loi Binomiale
Méthode
Lorsque \( n \) est grand, la loi binomiale \( B(n, p) \) peut être approximée par une loi normale \( N(np, \sqrt{np(1-p)}) \). Cette approximation est valable si \( np \geq 5 \) et \( n(1-p) \geq 5 \).
Exercice
Une pièce est lancée 100 fois, et on note la probabilité de succès (face) comme étant \( p = 0,5 \). Utilisez l’approximation normale pour calculer la probabilité d’obtenir entre 40 et 60 faces.
Correction
Pour \( n = 100 \) et \( p = 0,5 \), nous avons :
\( \mu = np = 100 \times 0,5 = 50 \quad \text{et} \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0,5 \times 0,5} = 5 \).
Nous utilisons l’approximation normale pour calculer la probabilité :
\( P(40 \leq X \leq 60) \approx P\left( \frac{40,5 – 50}{5} \leq Z \leq \frac{60,5 – 50}{5} \right) = P(-1,9 \leq Z \leq 2,1) \).
À partir des tables de la loi normale, nous obtenons :
\( P(-1,9 \leq Z \leq 2,1) \approx 0,9713 – 0,0287 = 0,9426 \).
57. Moment d’Ordre k
Définition
Le moment d’ordre \( k \) d’une variable aléatoire \( X \) est défini par :
\( E(X^k) = \int_{-\infty}^{\infty} x^k f_X(x) dx \),
où \( f_X(x) \) est la densité de probabilité de \( X \). Pour une variable discrète, la somme remplace l’intégrale.
Exercice
Calculez le moment d’ordre 2 pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi uniforme sur [0,1].
Correction
Pour \( X \sim U(0,1) \), la densité de probabilité est \( f_X(x) = 1 \) pour \( x \in [0,1] \) et 0 sinon. Le moment d’ordre 2 est donné par :
\( E(X^2) = \int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 = \frac{1}{3} \).