Le Mouvement et la Deuxième Loi de Newton

1.1 Rappel : Différence de notation de la dérivée entre mathématiques et physique

En mathématiques, la dérivée d’une fonction \( f(x) \) par rapport à \( x \) se note \( f'(x) \) ou \( \frac{df}{dx} \). En physique, lorsque nous étudions les grandeurs physiques évoluant avec le temps, la dérivée par rapport au temps est souvent notée avec un point au-dessus de la grandeur. Ainsi, si \( \vec{OM}(t) \) est la position d’un mobile à un instant \( t \), alors sa dérivée (la vitesse) se note :

\( \dot{\vec{OM}}(t) = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt} \)

1.2 Le vecteur position \( \vec{OM}(t) \)

Le vecteur position \( \vec{OM}(t) \) d’un point \( M \) à un instant \( t \) est défini par les coordonnées du point dans un repère donné. Si nous utilisons un repère cartésien avec les coordonnées \( (x(t), y(t)) \), alors le vecteur position s’écrit :

\( \vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} \)

1.3 Vecteur vitesse moyenne entre deux points

La vitesse moyenne entre deux positions successives \( M_i \) et \( M_{i+1} \) est définie par le rapport entre le déplacement \( \overrightarrow{M_iM_{i+1}} \) et la durée correspondante \( \Delta t = t_{i+1} – t_i \) :

\( \vec{v}_{moy} = \frac{\overrightarrow{M_iM_{i+1}}}{\Delta t} \)

1.4 Le vecteur vitesse instantanée \( \vec{v}(t) \)

Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

\( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt} = \frac{dx(t)}{dt}\vec{i} + \frac{dy(t)}{dt}\vec{j} \)

1.6 Le vecteur accélération \( \vec{a}(t) \)

Le vecteur accélération représente la variation de la vitesse par rapport au temps. Il est défini par la dérivée du vecteur vitesse :

\( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}(t)}{dt^2} \)

2. Exemples et exercices

Un objet se déplace selon les lois horaires suivantes : \( x(t) = 2t^2 \) et \( y(t) = 3t \). Détermine les vecteurs position, vitesse et accélération à l’instant \( t = 1 \text{ s} \).