Outils essentiels en maths

Méthode

Pour additionner ou soustraire des fractions, les mettre au même dénominateur :

\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \)

Méthode

Pour multiplier deux fractions :

\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)

Pour diviser deux fractions :

\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \)

Méthode

Règles de calcul avec les racines carrées :

\( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \),

\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \).

Méthode

Règles de calcul avec les puissances :

\( a^m \times a^n = a^{m+n} \),

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \),

\( (a^m)^n = a^{mn} \).

Identités Remarquables

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \),

\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \),

\( (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \).

Méthode

Pour développer une expression du type \( a(b + c + d) \), on utilise la distributivité :

\( a(b + c + d) = ab + ac + ad \).

Méthode

Pour factoriser une expression, chercher un facteur commun :

\( ax + ay = a(x + y) \).

Méthode

Pour résoudre une équation du type \( ax + b = 0 \), isoler \( x \) :

\( x = \frac{-b}{a} \).

Méthode

Pour résoudre une inéquation, isoler \( x \) et appliquer les règles des signes. Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, l’inéquation change de sens.

Méthode

Pour résoudre \( a \times b = 0 \), on utilise :

\( a = 0 \) ou \( b = 0 \).

Méthode

Pour résoudre un système à deux équations :

1. Multipliez une ou les deux équations pour avoir un coefficient commun pour l’une des variables.
2. Additionnez ou soustrayez les équations pour éliminer une des variables.
3. Résolvez l’équation obtenue.
4. Remplacez la solution dans l’une des équations initiales pour trouver l’autre variable.

Méthode

Pour résoudre un système à trois inconnues, on utilise les étapes suivantes :

1. Éliminer une inconnue à l’aide des équations, pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues.
2. Résoudre le système obtenu par combinaison.
3. Remonter pour trouver les autres inconnues.

Méthode

Pour calculer l’image d’un nombre \( x \) par une fonction linéaire \( f(x) = ax \), il suffit de multiplier \( x \) par \( a \) :

\( f(x) = ax \).

Méthode

Pour calculer l’image d’un nombre \( x \) par une fonction affine \( f(x) = ax + b \), remplacez \( x \) par sa valeur :

\( f(x) = ax + b \).

Méthode

L’image d’un nombre \( x \) par une fonction \( f \) est \( f(x) \). L’antécédent d’un nombre \( y \) est le nombre \( x \) tel que \( f(x) = y \).

Méthode

Pour étudier le signe d’une expression factorisée de la forme \( f(x) = (x – a)(x – b) \) :

1. Identifiez les racines \( a \) et \( b \).
2. Tracez le tableau de signe en fonction des variations du produit.

Propriétés

• \( \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) \)
• \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \)
• \( \ln(a^n) = n \times \ln(a) \)
• \( e^{\ln(a)} = a \)

Formules de Dérivation

• \( \frac{d}{dx}(x^n) = n \times x^{n-1} \)
• \( \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \)
• \( \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \)
• \( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \)

Formules d’Intégration

• \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) pour \( n \neq -1 \)
• \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)

Propriétés des Vecteurs

Un vecteur \( \overrightarrow{u} \) a une norme, une direction et un sens. La somme de deux vecteurs se fait en additionnant leurs coordonnées.

Propriétés du Produit Scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \( \overrightarrow{u}(x_1, y_1) \) et \( \overrightarrow{v}(x_2, y_2) \) est donné par :

\( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \).

Méthode

Une matrice est un tableau de nombres. Les opérations sur les matrices incluent l’addition, la multiplication et la transposition.

Pour additionner deux matrices, on additionne les éléments correspondants. Pour multiplier deux matrices \( A \) et \( B \), on utilise la règle suivante :

\( (AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj} \).

Déterminant d’une Matrice 2×2

Le déterminant d’une matrice 2×2 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) est donné par :

\( \det(A) = ad – bc \).

Inverse d’une Matrice 2×2

Si \( \det(A) \neq 0 \), l’inverse d’une matrice \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) est donné par :

\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).

Méthode

Pour résoudre un système linéaire \( AX = B \), où \( A \) est une matrice et \( X \) et \( B \) sont des vecteurs, on peut écrire la solution sous la forme \( X = A^{-1}B \), si \( A \) est inversible.

Méthode

Les fonctions trigonométriques usuelles incluent le sinus, le cosinus et la tangente. Les relations trigonométriques importantes sont :

• \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)
• \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)

Identités Importantes

• \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)
• \( \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \)
• \( \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 – \tan^2(x)} \)

Méthode

Les angles associés sont définis par des relations telles que :

• \( \sin(180^\circ – x) = \sin(x) \)
• \( \cos(180^\circ – x) = -\cos(x) \)
• \( \tan(180^\circ – x) = -\tan(x) \)

Méthode

Les formules d’addition et de soustraction des angles sont :

• \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
• \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b) \)
• \( \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)} \)

Méthode

Pour résoudre une équation trigonométrique, utilisez les identités trigonométriques et les formules d’addition et de soustraction. Par exemple, pour résoudre \( \sin(x) = k \), on a :

• Si \( |k| \leq 1 \), alors \( x = \arcsin(k) + 2k\pi \) ou \( x = \pi – \arcsin(k) + 2k\pi \).

Méthode

Pour calculer des intégrales impliquant des fonctions trigonométriques, on utilise les formules suivantes :

• \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \)
• \( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \)
• \( \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \)

Méthode

Pour calculer des intégrales de fonctions puissances, utilisez la formule :

\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) pour \( n \neq -1 \).

Méthode

Une primitive d’une fonction \( f(x) \) est une fonction \( F(x) \) telle que \( F'(x) = f(x) \). L’intégrale indéfinie d’une fonction est la famille de toutes ses primitives, notée \( \int f(x) \, dx \).

Méthode

Pour calculer les limites, utilisez les règles suivantes :

• \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)
• \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \)
• \( \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \)

Méthode

Une équation différentielle est une équation qui implique une ou plusieurs dérivées d’une fonction inconnue. Pour résoudre une équation différentielle du type :

\( \frac{dy}{dx} = f(x) \),

On cherche la primitive de \( f(x) \).

Méthode

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme :

\( \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) \).

Pour la résoudre, on peut utiliser un facteur intégrant \( \mu(x) = e^{\int p(x)dx} \), puis multiplier l’équation par \( \mu(x) \) pour la simplifier.

Méthode

La fonction exponentielle est définie par :

\( f(x) = e^x \).

Elle est dérivable et sa dérivée est égale à elle-même :

\( f'(x) = e^x \).

Méthode

La fonction logarithme naturel est définie pour \( x > 0 \) et notée \( \ln(x) \). Elle a pour dérivée :

\( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \).

Méthode

Pour résoudre certaines intégrales, il est utile de faire un changement de variable. Si \( u = g(x) \), alors :

\( \int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(u)\, du \).

Méthode

Un système d’équations différentielles est un ensemble de plusieurs équations différentielles. Pour le résoudre, on peut utiliser des méthodes d’intégration ou de diagonalisation des matrices. Par exemple :

\( \frac{dx}{dt} = x + y \quad \text{et} \quad \frac{dy}{dt} = x – y \).

Définition

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1, qui mesure la chance que cet événement se produise. La somme des probabilités de tous les événements possibles dans une expérience est égale à 1.

Méthode

Les formules de base des probabilités incluent :

• \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) : La probabilité de l’union de deux événements.
• \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \) : La probabilité de l’intersection de deux événements (événements dépendants).

Méthode

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une expérience répétée \( n \) fois, avec une probabilité de succès \( p \) à chaque essai. La probabilité d’obtenir exactement \( k \) succès est donnée par la formule :

\( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n-k} \),

où \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) est le coefficient binomial.

Définitions

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète \( X \) est la somme pondérée de toutes ses valeurs possibles, donnée par :

\( E(X) = \sum x_i P(X = x_i) \).

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

\( \text{Var}(X) = E((X – E(X))^2) \).

Méthode

Le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité d’un événement \( A \), sachant qu’un autre événement \( B \) est déjà survenu :

\( P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \).

Il est utile pour les événements conditionnels et dans les situations où nous avons des informations supplémentaires.

Définition

La distribution normale (ou loi normale) est une loi de probabilité continue caractérisée par sa moyenne \( \mu \) et son écart-type \( \sigma \). Elle est souvent appelée courbe en cloche, avec une densité de probabilité donnée par :

\( f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \).

Définition

Un intervalle de confiance est une plage de valeurs dans laquelle un paramètre inconnu (comme la moyenne d’une population) est susceptible de se trouver, avec une certaine probabilité (généralement 95 %). Pour une moyenne, l’intervalle de confiance à 95 % est donné par :

\( \left[ \bar{x} – z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \),

où \( \bar{x} \) est la moyenne de l’échantillon, \( z_{\alpha/2} \) est le quantile de la loi normale standardisé, \( \sigma \) est l’écart-type et \( n \) la taille de l’échantillon.

Méthode

Le théorème central limite stipule que la somme (ou la moyenne) d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, ayant une espérance finie et une variance finie, suit approximativement une loi normale, quel que soit la distribution initiale des variables.

Méthode

Le test d’hypothèse permet de vérifier si une affirmation sur une population est vraie en se basant sur des données d’échantillon. On pose une hypothèse nulle \( H_0 \) (qui correspond souvent à l’absence d’effet ou de différence) et une hypothèse alternative \( H_1 \). Le test se base sur le calcul d’une statistique de test et d’un seuil critique.

Définitions

La corrélation mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables. Le coefficient de corrélation \( r \) est compris entre -1 et 1 :

• \( r = 1 \) : Corrélation parfaite positive.
• \( r = 0 \) : Pas de corrélation linéaire.
• \( r = -1 \) : Corrélation parfaite négative.

La régression linéaire permet de modéliser la relation entre une variable indépendante \( x \) et une variable dépendante \( y \) à l’aide d’une équation de la forme :

\( y = ax + b \).

Méthode

Le calcul combinatoire est utilisé pour compter le nombre de façons dont un certain nombre d’éléments peuvent être choisis ou arrangés. Les formules importantes incluent :

• Arrangement : Le nombre de façons d’arranger \( n \) objets distincts est \( n! \).
• Combinaison : Le nombre de façons de choisir \( k \) objets parmi \( n \) sans tenir compte de l’ordre est donné par \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Méthode

La factorielle d’un nombre \( n \), notée \( n! \), est le produit de tous les nombres entiers de 1 à \( n \). Par exemple, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).

Le nombre d’arrangements de \( k \) objets parmi \( n \) est donné par :

\( A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \).

Définition

Une permutation est un arrangement d’objets dans un ordre particulier. Le nombre total de permutations de \( n \) objets distincts est \( n! \).

Si certains objets sont identiques, le nombre de permutations est réduit et est donné par :

\( P = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \),

où \( n_1, n_2, \dots, n_k \) représentent les groupes d’objets identiques.

Méthode

La loi de Poisson modélise la probabilité du nombre d’événements qui se produisent dans un intervalle de temps ou d’espace fixe, avec une moyenne \( \lambda \). La probabilité d’observer \( k \) événements est donnée par :

\( P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \).

Méthode

La loi géométrique modélise le nombre d’essais jusqu’à la première réussite dans une série d’expériences de Bernoulli indépendantes avec une probabilité de succès \( p \). La probabilité d’obtenir la première réussite au \( k \)-ème essai est donnée par :

\( P(X = k) = (1 – p)^{k-1} p \).

Méthode

Quand \( n \) est grand et \( p \) est petit, la loi binomiale \( B(n, p) \) peut être approximée par la loi de Poisson avec \( \lambda = np \). Cette approximation est utile pour des calculs rapides lorsque \( n \) est grand.

Définition

La fonction de répartition \( F(x) \) d’une variable aléatoire \( X \) est définie par :

\( F(x) = P(X \leq x) \),

c’est-à-dire la probabilité que \( X \) prenne une valeur inférieure ou égale à \( x \). Cette fonction est croissante et continue.

Méthode

Pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi de Poisson de paramètre \( \lambda \), l’espérance et la variance sont toutes les deux égales à \( \lambda \) :

\( E(X) = \lambda \quad \text{et} \quad \text{Var}(X) = \lambda \).

Méthode

Lorsque \( n \) est grand, la loi binomiale \( B(n, p) \) peut être approximée par une loi normale \( N(np, \sqrt{np(1-p)}) \). Cette approximation est valable si \( np \geq 5 \) et \( n(1-p) \geq 5 \).

Définition

Le moment d’ordre \( k \) d’une variable aléatoire \( X \) est défini par :

\( E(X^k) = \int_{-\infty}^{\infty} x^k f_X(x) dx \),

où \( f_X(x) \) est la densité de probabilité de \( X \). Pour une variable discrète, la somme remplace l’intégrale.